En geometría diferencial , una estructura G en una variedad n M , para un grupo de estructuras dado [ 1] G , es un subpaquete G principal del paquete de marco tangente FM (o GL( M ) ) de M.
La noción de estructuras G incluye varias estructuras clásicas que pueden definirse en variedades, que en algunos casos son campos tensoriales . Por ejemplo, para el grupo ortogonal , una estructura O( n ), define una métrica de Riemann , y para el grupo lineal especial una estructura SL( n , R ) es lo mismo que una forma de volumen . Para el grupo trivial , una estructura { e } consiste en un paralelismo absoluto de la variedad.
Generalizando esta idea a paquetes principales arbitrarios en espacios topológicos, uno puede preguntarse si un paquete principal sobre un grupo "proviene de" un subgrupo de . Esto se llama reducción del grupo estructural (a ).
Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja , una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son estructuras G con una condición de integrabilidad adicional .
Uno puede preguntarse si un paquete principal sobre un grupo "proviene de" un subgrupo de . Esto se llama reducción del grupo de estructuras (a ) y tiene sentido para cualquier mapa , que no necesita ser un mapa de inclusión (a pesar de la terminología).
En lo sucesivo, seamos un espacio topológico , grupos topológicos y un homomorfismo de grupo .
Dado un paquete principal sobre , una reducción del grupo de estructuras (de a ) es un paquete y un isomorfismo del paquete asociado al paquete original.
Dado un mapa , donde está el espacio de clasificación para paquetes, una reducción del grupo de estructuras es un mapa y una homotopía .
No siempre existen reducciones del grupo estructural. Si existen, normalmente no son esencialmente únicos, ya que el isomorfismo es una parte importante de los datos.
Como ejemplo concreto, todo espacio vectorial real de dimensión par es isomorfo al espacio real subyacente de un espacio vectorial complejo: admite una estructura lineal compleja . Un paquete de vectores real admite una estructura casi compleja si y sólo si es isomorfo al paquete real subyacente de un paquete de vectores complejo. Esto es entonces una reducción a lo largo de la inclusión GL ( n , C ) → GL (2 n , R )
En términos de mapas de transición , un paquete G se puede reducir si y sólo si se puede considerar que los mapas de transición tienen valores en H. Tenga en cuenta que el término reducción es engañoso: sugiere que H es un subgrupo de G , lo cual suele ser el caso, pero no tiene por qué serlo (por ejemplo, para estructuras de espín ): se llama propiamente elevación .
De manera más abstracta, " G -paquetes sobre X " es un functor [2] en G : dado un homomorfismo de grupo de Lie H → G , se obtiene un mapa de H -paquetes a G -paquetes induciendo (como arriba). La reducción del grupo estructural de un paquete G B es elegir un paquete H cuya imagen es B.
El mapa inductor de H -haces a G -haces en general no es ni uno a uno, por lo que el grupo de estructuras no siempre se puede reducir y, cuando se puede, esta reducción no tiene por qué ser única. Por ejemplo, no todas las variedades son orientables , y las que lo son admiten exactamente dos orientaciones.
Si H es un subgrupo cerrado de G , entonces existe una correspondencia natural uno a uno entre las reducciones de un haz de G B a H y las secciones globales del haz de fibras B / H obtenidas al cociente B por la acción correcta de H. . Específicamente, la fibración B → B / H es un paquete H principal sobre B / H. Si σ : X → B / H es una sección, entonces el paquete de retroceso B H = σ −1 B es una reducción de B . [3]
Cada paquete de vectores de dimensión tiene un paquete canónico, el paquete de marcos . En particular, cada variedad suave tiene un paquete de vectores canónico, el paquete tangente . Para un grupo de Lie y un homomorfismo de grupo , una estructura es una reducción del grupo de estructura del paquete de marcos a .
Los siguientes ejemplos se definen para paquetes de vectores reales , particularmente el paquete tangente de una variedad suave .
Algunas estructuras se definen en términos de otras: dada una métrica de Riemann en una variedad orientada, una estructura para la cubierta doble es una estructura de espín . (Tenga en cuenta que el homomorfismo de grupo aquí no es una inclusión).
Aunque la teoría de los fibrados principales juega un papel importante en el estudio de las estructuras G , las dos nociones son diferentes. Una estructura G es un subconjunto principal del paquete de marcos tangentes , pero el hecho de que el paquete de estructuras G consista en marcos tangentes se considera parte de los datos. Por ejemplo, considere dos métricas de Riemann en R n . Las estructuras O ( n ) asociadas son isomorfas si y solo si las métricas son isométricas. Pero, dado que R n es contráctil, los paquetes O ( n ) subyacentes siempre serán isomórficos como paquetes principales porque los únicos paquetes sobre espacios contráctiles son paquetes triviales.
Esta diferencia fundamental entre las dos teorías se puede captar proporcionando un dato adicional sobre el paquete G subyacente de una estructura G : la forma de soldadura . La forma de soldadura es lo que une el paquete principal subyacente de la estructura G con la geometría local de la variedad misma al especificar un isomorfismo canónico del paquete tangente de M a un paquete de vectores asociado . Aunque la forma de soldadura no es una forma de conexión , a veces puede considerarse como un precursor de una.
En detalle, supongamos que Q es el paquete principal de una estructura G. Si Q se realiza como una reducción del haz de marcos de M , entonces la forma de soldadura viene dada por el retroceso de la forma tautológica del haz de marcos a lo largo de la inclusión. De manera abstracta, si se considera Q como un paquete principal independientemente de su realización como una reducción del paquete de marco, entonces la forma de soldadura consiste en una representación ρ de G en R n y un isomorfismo de paquetes θ : TM → Q × ρ R n .
Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja, una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son estructuras G (y por lo tanto pueden ser obstruidas), pero necesitan satisfacer una condición de integrabilidad adicional . Sin la correspondiente condición de integrabilidad, la estructura se denomina estructura "casi", como en el caso de una estructura casi compleja , una estructura casi simpléctica o una estructura casi de Kähler .
Específicamente, una estructura múltiple simpléctica es un concepto más fuerte que una estructura G para el grupo simpléctico . Una estructura simpléctica en una variedad es una ω de 2 formas en M que no es degenerada (que es una estructura -, o estructura casi simpléctica), junto con la condición adicional de que d ω = 0; esto último se llama condición de integrabilidad .
De manera similar, las foliaciones corresponden a estructuras G provenientes de matrices de bloques , junto con condiciones de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .
Una estructura G plana es una estructura G P que tiene una sección global ( V 1 ,..., V n ) que consta de campos vectoriales conmutantes . Una estructura G es integrable (o localmente plana ) si es localmente isomorfa a una estructura G plana .
El conjunto de difeomorfismos de M que preservan una estructura G se denomina grupo de automorfismos de esa estructura. Para una estructura O( n ), son el grupo de isometrías de la métrica de Riemann y para una estructura SL( n , R ), mapas que preservan el volumen.
Sea P una estructura G en una variedad M y Q una estructura G en una variedad N. Entonces, un isomorfismo de las estructuras G es un difeomorfismo f : M → N tal que el avance de marcos lineales f * : FM → FN se restringe para dar un mapeo de P en Q . (Obsérvese que es suficiente que Q esté contenido dentro de la imagen de f * .) Las estructuras G P y Q son localmente isomorfas si M admite una cobertura por conjuntos abiertos U y una familia de difeomorfismos f U : U → f ( U ) ⊂ N tal que f U induce un isomorfismo de P | U → Q | f ( U ) .
Un automorfismo de una estructura G es un isomorfismo de una estructura G P consigo misma. Los automorfismos surgen con frecuencia [6] en el estudio de grupos de transformación de estructuras geométricas, ya que muchas de las estructuras geométricas importantes en una variedad se pueden realizar como estructuras G.
Se puede formular una amplia clase de problemas de equivalencia en el lenguaje de estructuras G. Por ejemplo, un par de variedades de Riemann son (localmente) equivalentes si y sólo si sus paquetes de marcos ortonormales son estructuras G (localmente) isomorfas . Desde este punto de vista, el procedimiento general para resolver un problema de equivalencia es construir un sistema de invariantes para la estructura G que luego sean suficientes para determinar si un par de estructuras G son localmente isomorfas o no.
Sea Q una estructura G en M . Una conexión principal en el fibrado principal Q induce una conexión en cualquier fibrado vectorial asociado: en particular en el fibrado tangente. Se dice que una conexión lineal ∇ en TM que surge de esta manera es compatible con Q. Las conexiones compatibles con Q también se denominan conexiones adaptadas .
En concreto, las conexiones adaptadas pueden entenderse en términos de un marco móvil . [7] Supongamos que Vi es una base de secciones locales de TM (es decir, un marco en M ) que define una sección de Q. Cualquier conexión ∇ determina un sistema de 1 formas ω dependientes de la base a través de
donde, como matriz de 1 formas, ω ∈ Ω 1 (M)⊗ gl ( n ). Una conexión adaptada es aquella para la cual ω toma sus valores en el álgebra de Lie g de G .
Asociada a cualquier estructura G hay una noción de torsión, relacionada con la torsión de una conexión. Tenga en cuenta que una estructura G dada puede admitir muchas conexiones compatibles diferentes que a su vez pueden tener diferentes torsiones, pero a pesar de esto es posible dar una noción independiente de torsión de la estructura G de la siguiente manera. [8]
La diferencia de dos conexiones adaptadas es una forma 1 en M con valores en el paquete adjunto Ad Q. Es decir, el espacio A Q de conexiones adaptadas es un espacio afín para Ω 1 (Ad Q ).
La torsión de una conexión adaptada define un mapa.
a 2 formas con coeficientes en TM . Este mapa es lineal; su linealización
se llama mapa de torsión algebraico . Dadas dos conexiones adaptadas ∇ y ∇′, sus tensores de torsión T ∇ , T ∇′ difieren en τ(∇−∇′). Por tanto, la imagen de T ∇ en coker(τ) es independiente de la elección de ∇.
La imagen de T ∇ en coker(τ) para cualquier conexión adaptada ∇ se llama torsión de la estructura G. Se dice que una estructura G está libre de torsión si su torsión desaparece. Esto sucede precisamente cuando Q admite una conexión adaptada sin torsión.
Un ejemplo de estructura G es una estructura casi compleja , es decir, una reducción de un grupo estructural de una variedad de dimensiones pares a GL( n , C ). Tal reducción está determinada únicamente por un endomorfismo lineal C ∞ J ∈ End( TM ) tal que J 2 = −1. En esta situación, la torsión se puede calcular explícitamente de la siguiente manera.
Un sencillo recuento de dimensiones muestra que
donde Ω 2,0 ( TM ) es un espacio de formas B ∈ Ω 2 ( TM ) que satisfacen
Por tanto, la torsión de una estructura casi compleja puede considerarse como un elemento en Ω 2,0 ( TM ). Es fácil comprobar que la torsión de una estructura casi compleja es igual a su tensor de Nijenhuis .
La imposición de condiciones de integrabilidad a una estructura G particular (por ejemplo, en el caso de una forma simpléctica) se puede abordar mediante el proceso de prolongación . En tales casos, la estructura G prolongada no puede identificarse con un subhaz G del haz de marcos lineales. Sin embargo, en muchos casos la prolongación es un paquete principal por derecho propio y su grupo estructural puede identificarse con un subgrupo de un grupo de chorros de orden superior . En cuyo caso, se denomina estructura G de orden superior [Kobayashi]. En general, el método de equivalencia de Cartan se aplica a tales casos.
