Descomposición polar

Representación de matrices invertibles como operador unitario multiplicando un operador hermitiano

En matemáticas , la descomposición polar de una matriz cuadrada real o compleja es una factorización de la forma , donde es una matriz unitaria y es una matriz hermitiana semidefinida positiva ( es una matriz ortogonal y es una matriz simétrica semidefinida positiva en el caso real ), ambos cuadrados y del mismo tamaño. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$

Intuitivamente, si una matriz real se interpreta como una transformación lineal del espacio -dimensional , la descomposición polar la separa en una rotación o reflexión de y un escalamiento del espacio a lo largo de un conjunto de ejes ortogonales. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

La descomposición polar de una matriz cuadrada siempre existe. Si es invertible , la descomposición es única y el factor será positivo-definido . En ese caso, se puede escribir de forma única en la forma , donde es unitario y es el logaritmo autoadjunto único de la matriz . ^[2] Esta descomposición es útil para calcular el grupo fundamental de grupos de Lie (matriz) . ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=Ue^{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

La descomposición polar también se puede definir como donde hay una matriz simétrica definida positiva con los mismos valores propios pero diferentes vectores propios. ${\displaystyle A=P'U}$ ${\displaystyle P'=UPU^{-1}}$ ${\displaystyle P}$

La descomposición polar de una matriz puede verse como la matriz análoga de la forma polar de un número complejo como , donde es su valor absoluto (un número real no negativo ), y es un número complejo con norma unitaria (un elemento de la grupo circular ). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=ur}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u}$

La definición puede ampliarse a matrices rectangulares exigiendo que sea una matriz semiunitaria y una matriz hermitiana semidefinida positiva. La descomposición siempre existe y siempre es única. La matriz es única si y sólo si tiene rango completo. ^[4] ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle P\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$

Interpretación intuitiva

Una matriz cuadrada real se puede interpretar como la transformación lineal de que lleva un vector columna a . Entonces, en la descomposición polar , el factor es una matriz ortonormal real. Entonces, se puede considerar que la descomposición polar expresa la transformación lineal definida por en una escala del espacio a lo largo de cada vector propio de por un factor de escala (la acción de ), seguida de una rotación de (la acción de ). ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle A=RP}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle R}$

Alternativamente, la descomposición expresa la transformación definida por como una rotación ( ) seguida de una escala ( ) a lo largo de ciertas direcciones ortogonales. Los factores de escala son los mismos, pero las direcciones son diferentes. ${\displaystyle A=PR}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$

Propiedades

La descomposición polar del conjugado complejo de viene dada por Tenga en cuenta que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.}$

$${\displaystyle \det A=\det U\det P=e^{i\theta }r}$$

determinanteA ${\displaystyle \det U=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \det P=r=\left|\det A\right|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$

La matriz semidefinida positiva P es siempre única, incluso si A es singular , y se denota como

$${\displaystyle P=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},}$$

transpuesta conjugadaPraíz cuadrada^[5]APU ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

$${\displaystyle U=AP^{-1}.}$$

Relación con la SVD

En términos de la descomposición en valores singulares (SVD) de , se tiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=W\Sigma V^{*}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$

También se puede descomponer en la forma ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=P'U}$$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P'}$

$${\displaystyle P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{\frac {1}{2}}=W\Sigma W^{*}.}$$

La descomposición polar de una matriz real cuadrada invertible es de la forma ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=|A|R}$$

matriz definida positiva ${\displaystyle |A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle R=|A|^{-1}A}$

Relación con matrices normales

La matriz con descomposición polar es normal si y sólo si y conmutan :, o equivalentemente, son simultáneamente diagonalizables . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle UP=PU}$

Construcción y pruebas de existencia.

La idea central detrás de la construcción de la descomposición polar es similar a la utilizada para calcular la descomposición en valores singulares .

Derivación para matrices normales

Si es normal , entonces es unitariamente equivalente a una matriz diagonal: para alguna matriz unitaria y alguna matriz diagonal . Esto hace que la derivación de su descomposición polar sea particularmente sencilla, ya que luego podemos escribir ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=V\Lambda V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},}$$

fases ${\displaystyle \Phi _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|}$ ${\displaystyle \Lambda _{ii}\neq 0}$ ${\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}=0}$ ${\displaystyle \Lambda _{ii}=0}$

La descomposición polar es , por tanto, con y diagonal en la base propia de y teniendo valores propios iguales a las fases y valores absolutos de los de , respectivamente. ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Derivación para matrices invertibles

A partir de la descomposición en valores singulares , se puede demostrar que una matriz es invertible si y sólo si (equivalentemente, ) lo es. Además, esto es cierto si y sólo si los valores propios de no son cero. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle AA^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

En este caso, la descomposición polar se obtiene directamente escribiendo

$${\displaystyle A=A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},}$$

${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}}$

En esta expresión, es unitario porque lo es. Para demostrar que también es unitario, podemos usar el SVD para escribir , de modo que ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle AVD^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}}$

$${\displaystyle AVD^{-{\frac {1}{2}}}=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}VD^{-{\frac {1}{2}}}=W,}$$

${\displaystyle W}$

Otra forma más de mostrar directamente la unitaridad de es observar que, escribiendo el SVD de en términos de matrices de rango 1 como , donde están los valores singulares de , tenemos ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},}$$

${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Observe cómo, de la construcción anterior, se deduce que la matriz unitaria en la descomposición polar de una matriz invertible está definida de forma única .

Derivación general

El SVD de una matriz cuadrada se lee , con matrices unitarias y una matriz semidefinida positiva diagonal. Simplemente insertando un par adicional de s o s, obtenemos las dos formas de descomposición polar de : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}}$ ${\displaystyle W,V}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{\frac {1}{2}}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{*}\right)} _{P'}.}$$

isometría parcial ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n\times r}$ ${\displaystyle m\times r}$ ${\displaystyle r\equiv \operatorname {rank} (A)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle A=PU=UP'}$ ${\displaystyle U\equiv WV^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U^{*}U=VV^{*}}$ ${\displaystyle UU^{*}=WW^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

Como ejemplo explícito de este caso más general, considere el SVD de la siguiente matriz:

$${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.}$$

$${\displaystyle WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

Operadores acotados en el espacio de Hilbert

La descomposición polar de cualquier operador lineal acotado A entre espacios de Hilbert complejos es una factorización canónica como producto de una isometría parcial y un operador no negativo.

La descomposición polar para matrices se generaliza de la siguiente manera: si A es un operador lineal acotado, entonces existe una factorización única de A como producto A = UP donde U es una isometría parcial, P es un operador autoadjunto no negativo y el operador inicial el espacio de U es el cierre del rango de P .

El operador U debe debilitarse a una isometría parcial, en lugar de unitaria, debido a las siguientes cuestiones. Si A es el desplazamiento unilateral en l ² ( N ), entonces | Un | = { A ^* A } ^1/2 = Yo . Entonces si A = U | A |, U debe ser A , que no es unitario.

La existencia de una descomposición polar es consecuencia del lema de Douglas :

Lema  :  si A , B son operadores acotados en un espacio de Hilbert H y A ^* A ≤ B ^* B , entonces existe una contracción C tal que A = CB . Además, C es único si Ker ( B ^* ) ⊂ Ker ( C ).

El operador C puede definirse por C ( Bh ) := Ah para todo h en H , extendido por continuidad hasta el cierre de Ran ( B ) y por cero en el complemento ortogonal a todo H . El lema se sigue entonces ya que A ^* A ≤ B ^* B implica Ker ( B ) ⊂ Ker ( A ).

En particular. Si A ^* A = B ^* B , entonces C es una isometría parcial, que es única si Ker ( B ^* ) ⊂ Ker ( C ). En general, para cualquier operador acotado A ,

$${\displaystyle A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},}$$

A ^* A^1/2A ^* A dada por el cálculo funcional

$${\displaystyle A=U\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}}$$

UKerA ^*KerUPA ^* A^1/2AUPA = P'U 'P'U '

Cuando H es de dimensión finita, U puede extenderse a un operador unitario; esto no es cierto en general (ver ejemplo arriba). Alternativamente, la descomposición polar se puede mostrar utilizando la versión del operador de descomposición en valores singulares .

Por propiedad del cálculo funcional continuo , | Un | está en el C*-álgebra generada por A . Una afirmación similar pero más débil es válida para la isometría parcial: U está en el álgebra de von Neumann generada por A. Si A es invertible, la parte polar U también estará en el álgebra C* .

Operadores ilimitados

Si A es un operador cerrado, densamente definido e ilimitado entre espacios de Hilbert complejos, entonces todavía tiene una descomposición polar (única)

$${\displaystyle A=U|A|}$$

UnAURanA

La prueba utiliza el mismo lema anterior, que se aplica a los operadores ilimitados en general. Si Dom ( A ^* A ) = Dom ( B ^* B ) y A ^* Ah = B ^* Bh para todo h ∈ Dom ( A ^* A ), entonces existe una isometría parcial U tal que A = UB . U es único si Ran ( B ) ^⊥ ⊂ Ker ( U ). El hecho de que el operador A sea cerrado y densamente definido garantiza que el operador A ^* A sea autoadjunto (con dominio denso) y, por lo tanto, permita definir ( A ^* A ) ^1/2 . La aplicación del lema da descomposición polar.

Si un operador ilimitado A está afiliado a un álgebra de von Neumann M , y A = UP es su descomposición polar, entonces U está en M y también lo está la proyección espectral de P , 1 _B ( P ), para cualquier conjunto de Borel B en [ 0, ∞) .

Descomposición polar del cuaternión

La descomposición polar de los cuaterniones H depende de la esfera unitaria bidimensional de raíces cuadradas de menos uno , conocida como "cuaterniones puros". Dado cualquier r en esta esfera y un ángulo −π < a ≤ π, el versor está en la unidad de 3 esferas de H . Para a = 0 y a = π, el versor es 1 o −1 independientemente de qué r se seleccione. La norma t de un cuaternión q es la distancia euclidiana desde el origen hasta q . Cuando un cuaternión no es sólo un número real, entonces se produce una descomposición polar única . Aquí r , a , t están todos determinados de manera única de modo que r es un cuaternión puro (es decir, r ² = -1), a satisface 0 < a < π y t > 0. ${\displaystyle \lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace }$ ${\displaystyle e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)}$ ${\displaystyle q=te^{ar}}$

Descomposiciones planas alternativas

En el plano cartesiano , surgen descomposiciones anulares planas alternativas de la siguiente manera:

• Si x ≠ 0 , z = x (1 + ε( y / x )) es una descomposición polar de un número dual z = x + yε , donde ε ² = 0 ; es decir, ε es nilpotente . En esta descomposición polar, el círculo unitario ha sido reemplazado por la recta x = 1 , el ángulo polar por la pendiente y / x y el radio x es negativo en el semiplano izquierdo.
• Si x ² ≠ y ² , entonces la hipérbola unitaria x ² − y ² = 1 y su conjugado x ² − y ² = −1 se pueden usar para formar una descomposición polar basada en la rama de la hipérbola unitaria que pasa por (1, 0 ) . Esta rama está parametrizada por el ángulo hiperbólico a y se escribe
  $${\displaystyle \cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}}$$
  donde j ² = +1 y se utiliza la aritmética ^[7] de números complejos divididos . La rama a través de (−1, 0) se traza por − e ^aj . Dado que la operación de multiplicar por j refleja un punto a través de la línea y = x , la segunda hipérbola tiene ramas trazadas por je ^aj o − je ^aj . Por tanto, un punto en uno de los cuadrantes tiene una descomposición polar en una de las formas:
  $${\displaystyle re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0}$$
  El conjunto { 1, −1, j, −j } tiene productos que lo hacen isomorfo al grupo de cuatro de Klein . Evidentemente, la descomposición polar en este caso involucra un elemento de ese grupo.

Determinación numérica de la descomposición polar de la matriz.

Para calcular una aproximación de la descomposición polar A = UP , normalmente se aproxima el factor unitario U. ^{[8] [9]} La iteración se basa en el método de Heron para la raíz cuadrada de 1 y calcula, a partir de , la secuencia ${\displaystyle U_{0}=A}$

$${\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$$

La combinación de inversión y conjugación de Hermite se elige de modo que en la descomposición de valores singulares, los factores unitarios sigan siendo los mismos y la iteración se reduzca al método de Heron sobre los valores singulares.

Esta iteración básica se puede perfeccionar para acelerar el proceso:

• En cada paso o en intervalos regulares, se estima el rango de los valores singulares de y luego se reescala la matriz para centrar los valores singulares alrededor de 1 . El factor de escala se calcula utilizando las normas matriciales de la matriz y su inversa. Ejemplos de tales estimaciones de escala son: ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}U_{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$
  $${\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}}$$
  utilizando las normas matriciales de suma de filas y suma de columnas o
  $${\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}}$$
  utilizando la norma de Frobenius . Incluyendo el factor de escala, la iteración ahora es
  $${\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$$
• La descomposición QR se puede utilizar en un paso de preparación para reducir una matriz singular A a una matriz regular más pequeña, y dentro de cada paso para acelerar el cálculo de la inversa.
• El método de Heron para calcular las raíces de puede reemplazarse por métodos de orden superior, por ejemplo basados ​​en el método de tercer orden de Halley , lo que da como resultado ${\displaystyle x^{2}-1=0}$
  $${\displaystyle U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$$
  Esta iteración se puede combinar nuevamente con un cambio de escala. Esta fórmula particular tiene la ventaja de que también es aplicable a matrices A singulares o rectangulares .

Ver también

• Descomposición de Cartan
• Descomposición polar algebraica
• Descomposición polar de una medida compleja.
• Descomposición del grupo de mentiras.

Referencias

1. Salón 2015 Sección 2.5
2. Teorema 2.17 de Hall 2015
3. Salón 2015 Sección 13.3
4. Higham, Nicolás J.; Schreiber, Robert S. (1990). "Rápida descomposición polar de una matriz arbitraria". SIAM J. Ciencias. Estadística. Computación . 11 (4). Filadelfia, PA, EE. UU.: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas: 648–655. CiteSeerX 10.1.1.111.9239 . doi :10.1137/0911038. ISSN  0196-5204. S2CID  14268409. 
5. Salón 2015 Lema 2.18
6. Observe cómo esto implica, por la positividad de , que los valores propios son todos reales y estrictamente positivos. ${\displaystyle A^{*}A}$
7. Sobczyk, G. (1995) "Plano numérico hiperbólico", College Mathematics Journal 26:268–80
8. Higham, Nicolás J. (1986). "Cálculo de la descomposición polar con aplicaciones". SIAM J. Ciencias. Estadística. Computación . 7 (4). Filadelfia, PA, EE. UU.: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas: 1160–1174. CiteSeerX 10.1.1.137.7354 . doi :10.1137/0907079. ISSN  0196-5204. 
9. Byers, Ralph; Hong Guo Xu (2008). "Una nueva escala para la iteración de Newton para la descomposición polar y su estabilidad hacia atrás". SIAM J. Matriz anal. Aplica . 30 (2). Filadelfia, PA, EE. UU.: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas: 822–843. CiteSeerX 10.1.1.378.6737 . doi : 10.1137/070699895. ISSN  0895-4798. 

• Conway, JB : Un curso de análisis funcional. Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer 1990
• Douglas, RG : Sobre mayorización, factorización e inclusión de rango de operadores en el espacio de Hilbert. Proc. América. Matemáticas. Soc. 17 , 413-415 (1966)
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7