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En geometría , el dodecadodecaedro es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U 36 . [1] Es la rectificación del gran dodecaedro (y la de su dual, el pequeño dodecaedro estrellado ). Fue descubierto independientemente por Hess (1878), Badoureau (1881) y Pitsch (1882).
Las aristas de este modelo forman 10 hexágonos centrales , que, proyectados sobre una esfera , se convierten en 10 círculos máximos . Estos 10, junto con los círculos máximos de las proyecciones de otros dos poliedros, forman los 31 círculos máximos del icosaedro esférico utilizado en la construcción de cúpulas geodésicas .
Tiene cuatro construcciones de Wythoff entre cuatro familias de triángulos de Schwarz : 2 | 5 5/2 , 2 | 5 5/3 , 2 | 5/2 5/4 , 2 | 5/3 5/4 , pero representan resultados idénticos. De manera similar, se le pueden dar cuatro símbolos de Schläfli extendidos : r{5/2,5}, r{5/3,5}, r{5/2,5/4} y r{5/3,5/4} o como diagramas de Coxeter-Dynkin :
,
,
, y.
Se puede construir una forma con la misma apariencia exterior que el dodecadodecaedro doblando estas redes:
Se necesitan 12 pentagramas y 20 conjuntos rómbicos . Sin embargo, esta construcción reemplaza las caras pentagonales que se cruzan del dodecadodecaedro por conjuntos de rombos que no se cruzan, por lo que no produce la misma estructura interna.
Su envoltura convexa es el icosidodecaedro . También comparte su disposición de aristas con el pequeño dodecahemicosaedro (que tiene en común las caras pentagrámicas) y con el gran dodecahemicosaedro (que tiene en común las caras pentagonales).
Este poliedro puede considerarse un gran dodecaedro rectificado . Es el centro de una secuencia de truncamiento entre un pequeño dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro :
El pequeño dodecaedro estrellado truncado parece un dodecaedro en la superficie, pero tiene 24 caras: 12 pentágonos desde los vértices truncados y 12 superpuestos (pentagramas truncados). El truncamiento del dodecadodecaedro en sí no es uniforme y el intento de hacerlo uniforme da como resultado un poliedro degenerado (que parece un pequeño rombidodecaedro con {10/2} polígonos que llenan el conjunto de agujeros del dodecaedro), pero tiene un cuasitruncamiento uniforme, el dodecadodecaedro truncado .
Es topológicamente equivalente a un espacio cociente de teselación pentagonal de orden hiperbólico 4 , al distorsionar los pentagramas para convertirlos en pentágonos regulares . Como tal, es topológicamente un poliedro regular de índice dos: [2] [3]
El triacontaedro rómbico medial es el dual del dodecadodecaedro. Tiene 30 caras rómbicas que se intersecan.
Es topológicamente equivalente a un espacio cociente de orden hiperbólico 5 de teselación cuadrada , al distorsionar los rombos en cuadrados . Como tal, es topológicamente un poliedro regular de índice dos: [4]
Nótese que el teselado cuadrado de orden 5 es dual del teselado pentagonal de orden 4 , y un espacio cociente del teselado pentagonal de orden 4 es topológicamente equivalente al dual del triacontaedro rómbico medial, el dodecadodecaedro.