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Dodecadodecaedro truncado

Modelo 3D de un dodecadodecaedro truncado

En geometría , el dodecadodecaedro truncado (o dodecadodecaedro estelar truncado ) es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U 59. Se le da un símbolo de Schläfli t 0,1,2 { 5 ⁄ 3 ,5}. Tiene 54 caras (30 cuadrados , 12 decágonos y 12 decagramos ), 180 aristas y 120 vértices. [1] La región central del poliedro está conectada al exterior a través de 20 pequeños agujeros triangulares.

El nombre dodecadodecaedro truncado es un tanto engañoso: el truncamiento del dodecadodecaedro produciría caras rectangulares en lugar de cuadrados, y las caras de pentagrama del dodecadodecaedro se convertirían en pentagramas truncados en lugar de decagramos. Sin embargo, es la cuasitruncación del dodecadodecaedro, tal como lo definieron Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954). [2] Por esta razón, también se lo conoce como dodecadodecaedro cuasitruncado . [3] Coxeter et al. atribuyen su descubrimiento a un artículo publicado en 1881 por el matemático austríaco Johann Pitsch. [4]

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecadodecaedro truncado son todos los triples de números obtenidos por desplazamientos circulares y cambios de signo desde los siguientes puntos (donde es la proporción áurea ):

Cada uno de estos cinco puntos tiene ocho patrones de signos posibles y tres posibles cambios circulares, lo que da un total de 120 puntos diferentes.

Como un gráfico de Cayley

El dodecadodecaedro truncado forma un grafo de Cayley para el grupo simétrico de cinco elementos, generado por dos miembros del grupo: uno que intercambia los dos primeros elementos de una quíntuple y otro que realiza una operación de desplazamiento circular sobre los últimos cuatro elementos. Es decir, los 120 vértices del poliedro pueden colocarse en correspondencia biunívoca con las 5! permutaciones de cinco elementos, de tal manera que los tres vecinos de cada vértice sean las tres permutaciones formadas a partir de él intercambiando los dos primeros elementos o desplazando circularmente (en cualquier dirección) los últimos cuatro elementos. [5]

Poliedros relacionados

Triacontaedro disdyakis medial

Modelo 3D de un triacontaedro disdyakis medial

El triacontaedro disdyakis medial es un poliedro isoédrico no convexo . Es el dual del dodecadodecaedro truncado uniforme .

Véase también

Referencias

  1. ^ Maeder, Roman. «59: dodecadodecaedro truncado». MathConsult .
  2. ^ Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Ciencias matemáticas y físicas , 246 (916): 401–450, Bibcode :1954RSPTA.246..401C, doi :10.1098/rsta.1954.0003, JSTOR  91532, MR  0062446. Véase especialmente la descripción como cuasitruncamiento en la pág. 411 y la fotografía de un modelo de su esqueleto en la Fig. 114, Lámina IV.
  3. ^ Wenninger escribe "dodecaedro cuasitruncado", pero esto parece ser un error. Wenninger, Magnus J. (1971), "98 Quasitruncated dodecahedron", Polyhedron Models , Cambridge University Press, pp. 152-153.
  4. ^ Pitsch, Johann (1881), "Über halbreguläre Sternpolyeder", Zeitschrift für das Realschulwesen , 6 : 9–24, 72–89, 216Según Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954), el dodecadodecaedro truncado aparece como n.º XII en la pág. 86.
  5. ^ Eppstein, David (2009), "La topología del dibujo de grafos ortogonales tridimensionales sin curvaturas", en Tollis, Ioannis G.; Patrignani, Marizio (eds.), Dibujo de grafos , Lecture Notes in Computer Science, vol. 5417, Heraklion, Creta: Springer-Verlag, pp. 78–89, arXiv : 0709.4087 , doi :10.1007/978-3-642-00219-9_9, ISBN 978-3-642-00218-2.

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