En geometría , un apeiroedro oblicuo regular es un poliedro oblicuo regular infinito . Tienen caras oblicuas regulares o figuras de vértices oblicuos regulares .
En 1926, John Flinders Petrie tomó el concepto de polígonos oblicuos regulares , polígonos cuyos vértices no están todos en el mismo plano, y lo extendió a los poliedros. Si bien los apeiroedros suelen requerirse para cubrir el plano bidimensional, Petrie consideró casos en los que las caras aún eran convexas pero no se requería que estuvieran planas en el plano, podrían tener una figura de vértice de polígono oblicuo .
Petrie descubrió dos apeiroedros oblicuos regulares, el mucubo y el muoctaedro. [1] Harold Scott MacDonald Coxeter derivó un tercero, el mutetraedro, y demostró que estos tres eran completos. Según la definición de Coxeter y Petrie, que requería caras convexas y permitía una figura de vértice oblicuo, los tres no solo eran los únicos apeiroedros oblicuos en el espacio euclidiano tridimensional, sino que eran los únicos poliedros oblicuos en el espacio tridimensional, ya que allí Coxeter demostró que no había casos finitos.
En 1967 [2] Garner investigó los apeiroedros oblicuos regulares en el espacio tridimensional hiperbólico con la definición de Petrie y Coxeter, descubriendo 31 [nota 1] apeiroedros oblicuos regulares con simetría compacta o paracompacta.
En 1977 [3] [1] Grünbaum generalizó los poliedros oblicuos para permitir también caras oblicuas. Grünbaum descubrió 23 [nota 2] apeiroedros oblicuos adicionales en el espacio euclidiano tridimensional y 3 en el espacio bidimensional que son oblicuos en virtud de sus caras. 12 de los poliedros de Grünbaum se formaron utilizando la operación de mezcla en apeiroedros bidimensionales, y los otros 11 eran puros, es decir , no se podían formar mediante una mezcla no trivial. Grünbaum conjeturó que esta nueva lista estaba completa para los parámetros considerados.
En 1985 [4] [1] Dress encontró un apeiroedro oblicuo regular puro adicional en el espacio tridimensional y demostró que con este apeiroedro oblicuo adicional la lista estaba completa.
Las tres soluciones euclidianas en el espacio tridimensional son {4,6|4}, {6,4|4} y {6,6|3}. John Conway las denominó mucubo, muoctaedro y mutetraedro respectivamente, en lugar de cubo, octaedro y tetraedro múltiples. [5]
Coxeter da estos apeiroedros oblicuos regulares {2q,2r|p} con simetría quiral extendida [[( p , q , p , r )] + ] que dice es isomorfo a su grupo abstracto (2 q ,2 r |2, p ). El panal relacionado tiene la simetría extendida [[( p , q , p , r )]]. [6]
Existen 3 apeiroedros oblicuos regulares de rango completo, también llamados panales oblicuos regulares , es decir, apeiroedros oblicuos en 2 dimensiones. Al igual que con los poliedros oblicuos finitos de rango completo, los tres pueden obtenerse aplicando el dual de Petrie a politopos planos, en este caso las tres teselas regulares. [7] [8] [9]
Alternativamente, se pueden construir utilizando la operación apeir sobre polígonos regulares. [10] Si bien Petrial se utiliza en la construcción clásica, no se generaliza bien a rangos superiores. Por el contrario, la operación apeir se utiliza para construir panales oblicuos de rango superior. [11]
La operación apeir toma los espejos generadores del polígono, ρ 0 y ρ 1 , y los usa como espejos para la figura de vértice de un poliedro, el nuevo espejo de vértice w es entonces un punto ubicado donde el vértice inicial del polígono (o en cualquier parte del espejo ρ 1 excepto su intersección con ρ 0 ). El nuevo vértice inicial se coloca en la intersección de los espejos ρ 0 y ρ 1 . Por lo tanto, el poliedro apeir es generado por ⟨w, ρ 0 , ρ 0 ⟩ . [12]
Para dos politopos regulares cualesquiera, P y Q , se puede crear un nuevo politopo mediante el siguiente proceso:
En el caso de los politopos regulares , el último paso garantiza un resultado único. Este nuevo politopo se denomina combinación de P y Q y se representa como P # Q.
De manera equivalente, la mezcla se puede obtener posicionando P y Q en espacios ortogonales y tomando como pares sus espejos generadores.
Los poliedros combinados en el espacio tridimensional se pueden formar combinando poliedros bidimensionales con politopos unidimensionales. Los únicos poliedros bidimensionales son los 6 panales (3 teselas euclidianas y 3 panales oblicuos):
Los únicos politopos unidimensionales son:
Cada par entre estos produce un apeiroedro oblicuo regular válido y distinto en el espacio euclidiano tridimensional, para un total de 12 [nota 2] apeiroedros oblicuos combinados.
Dado que el esqueleto del mosaico cuadrado es bipartito , dos de estas mezclas, {4, 4}#{} y {4, 4} π #{} , son combinatoriamente equivalentes a sus contrapartes no mezcladas.
Un politopo se considera puro si no puede expresarse como una mezcla no trivial de dos politopos. Una mezcla se considera trivial si contiene el resultado como uno de los componentes. Alternativamente, un politopo puro es aquel cuyo grupo de simetría no contiene ninguna subrepresentación no trivial . [13]
Existen 12 apeiroedros puros regulares en 3 dimensiones. Tres de ellos son los poliedros de Petrie-Coxeter :
Se obtienen tres más como petriales de los poliedros de Petrie-Coxeter:
Se pueden formar tres apeiroedros puros adicionales con polígonos oblicuos finitos como caras:
Estos 3 están cerrados bajo las operaciones de Wilson , lo que significa que cada uno puede construirse a partir de cualquier otro mediante alguna combinación de las operaciones duales y de Petrial. {6,6} 4 es autodual y {6,4} 6 es autopetrial.
En 1967, CWL Garner identificó 31 apeiroedros hiperbólicos oblicuo con figuras de vértices de polígonos oblicuo regulares , obtenidos extendiendo los poliedros de Petrie-Coxeter al espacio hiperbólico. [14]
Estos representan 14 poliedros regulares oblicuos compactos y 17 [nota 1] paracompactos en el espacio hiperbólico, construidos a partir de la simetría de un subconjunto de grafos de grupos de Coxeter lineales y cíclicos de la forma [[( p , q , p , r )]], Estos definen poliedros regulares oblicuos {2 q ,2 r | p } y duales {2 r ,2 q | p }. Para el caso especial de grupos de grafos lineales r = 2, esto representa el grupo de Coxeter [ p , q , p ]. Genera oblicuos regulares {2 q , 4 | p } y {4,2 q | p }. Todos estos existen como un subconjunto de caras de los panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico .
El apeiroedro oblicuo comparte la misma figura de vértice del antiprisma con el panal, pero solo se realizan las caras de los bordes en zigzag de la figura del vértice, mientras que las otras caras forman agujeros.