En geometría esférica , una luna esférica (o biángulo ) es un área en una esfera limitada por dos semicírculos máximos que se encuentran en puntos antípodas . [1] Es un ejemplo de un digon , {2} θ , con ángulo diedro θ. [2] La palabra "luna" deriva de luna , la palabra latina para luna.
Los círculos máximos son los círculos (circunferencias) más grandes posibles de una esfera ; cada uno divide la superficie de la esfera en dos mitades iguales. Dos círculos máximos siempre se cortan en dos puntos opuestos.
Ejemplos comunes de grandes círculos son las líneas de longitud ( meridianos ) de una esfera, que se encuentran en los polos norte y sur.
Una luna esférica tiene dos planos de simetría. Puede dividirse en dos lunas de la mitad del ángulo, o puede dividirse en dos triángulos esféricos rectángulos mediante una línea ecuatorial .
El área de la superficie de una luna esférica es 2θ R 2 , donde R es el radio de la esfera y θ es el ángulo diedro en radianes entre los dos semicírculos máximos.
Cuando este ángulo es igual a 2π radianes (360°), es decir, cuando el segundo semicírculo máximo se ha movido un círculo completo y la luna intermedia cubre la esfera como un monógono esférico , la fórmula del área para la luna esférica da 4π R 2 , el área de la superficie de la esfera .
Un hosoedro es una teselación de la esfera por luna. Un hosoedro regular n-gonal, {2,n} tiene n lunas iguales de π/ n radianes. Un n -hosoedro tiene simetría diedral D n h , [ n ,2], (*22 n ) de orden 4 n . Cada luna individualmente tiene simetría cíclica C 2v , [2], (*22) de orden 4.
Cada hosoedro puede dividirse por una bisectriz ecuatorial en dos triángulos esféricos iguales .
La parte de la Luna visiblemente iluminada que se ve desde la Tierra es una luna esférica. El primero de los dos grandes círculos que se cruzan es el terminador entre la mitad iluminada de la Luna y la mitad oscura. El segundo gran círculo es un terminador terrestre que separa la mitad visible desde la Tierra de la mitad invisible. La luna esférica es una forma de medialuna iluminada vista desde la Tierra.
Las lunas también pueden definirse en esferas de dimensiones superiores.
En 4 dimensiones, una esfera tridimensional es una esfera generalizada. Puede contener ángulos diédricos regulares como {2} θ,φ , donde θ y φ son dos ángulos diedros.
Por ejemplo, un hosótopo regular {2,p,q} tiene caras digonas, {2} 2π/p,2π/q , donde su figura de vértice es un sólido platónico esférico , {p,q}. Cada vértice de {p,q} define una arista en el hosótopo y los pares adyacentes de esas aristas definen caras lunales. O más específicamente, el hosótopo regular {2,4,3}, tiene 2 vértices, 8 aristas de arco de 180° en un cubo , {4,3}, figura de vértice entre los dos vértices, 12 caras lunales, {2} π/4,π/3 , entre pares de aristas adyacentes, y 6 celdas hosódricas, {2,p} π/3 .