Panal (geometría)

Teselación del espacio euclidiano o hiperbólico de tres o más dimensiones

Panal cúbico

En geometría , un panal es un relleno de espacio o empaquetamiento compacto de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general o teselación en cualquier número de dimensiones. Su dimensión se puede aclarar como n -panal para un panal de espacio n -dimensional.

Los panales de abejas se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"). También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales hiperbólicos. Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abejas uniforme en el espacio esférico.

Es posible rellenar el plano con polígonos que no se encuentren en sus esquinas, por ejemplo, utilizando rectángulos , como en un patrón de pared de ladrillos : esto no es un mosaico adecuado porque las esquinas se encuentran en la mitad del borde de un polígono vecino. De manera similar, en un panal adecuado, no debe haber bordes o vértices que se encuentren en la mitad de la cara de una celda vecina. Interpretar cada cara de ladrillo como un hexágono con dos ángulos interiores de 180 grados permite que el patrón se considere como un mosaico adecuado. Sin embargo, no todos los geómetras aceptan tales hexágonos.

Clasificación

Existen infinidad de panales que sólo han sido clasificados parcialmente. Los más regulares son los que han suscitado mayor interés, mientras que se sigue descubriendo una rica y variada gama de otros.

Los panales más sencillos de construir se forman a partir de capas o losas apiladas de prismas basados ​​en algunas teselaciones del plano. En particular, para cada paralelepípedo , las copias pueden llenar el espacio, siendo el panal cúbico especial porque es el único panal regular en el espacio ordinario (euclidiano). Otra familia interesante son los tetraedros de Hill y sus generalizaciones, que también pueden teselar el espacio.

Uniforme de 3 panales

Un panal uniforme tridimensional es un panal en el espacio tridimensional compuesto por celdas poliédricas uniformes y que tiene todos los vértices iguales (es decir, el grupo de [isometrías del espacio tridimensional que preservan el teselado] es transitivo en los vértices ). Hay 28 ejemplos convexos en el espacio tridimensional euclidiano, ^[1] también llamados panales de Arquímedes .

Un panal se denomina regular si el grupo de isometrías que preserva la teselación actúa transitivamente sobre las banderas, donde una bandera es un vértice que se encuentra sobre una arista que se encuentra sobre una cara que se encuentra sobre una celda. Todo panal regular es automáticamente uniforme. Sin embargo, solo hay un panal regular en el espacio tridimensional euclidiano, el panal cúbico . Dos son cuasirregulares (formados por dos tipos de celdas regulares):

Los panales tetraédricos-octaédricos y los panales tetraédricos-octaédricos giratorios se generan mediante la colocación de 3 o 2 capas de celdas en losas, cada una de las cuales alterna tetraedros y octaedros. Se puede crear una cantidad infinita de panales únicos mediante un orden superior de patrones de repetición de estas capas de losas.

Poliedros que llenan el espacio

Se dice que un panal que tiene todas las celdas idénticas dentro de sus simetrías es transitivo en cuanto a celdas o isocórico . En el espacio euclidiano tridimensional, se dice que una celda de dicho panal es un poliedro que llena el espacio . ^[2] Una condición necesaria para que un poliedro sea un poliedro que llena el espacio es que su invariante de Dehn debe ser cero, ^{[3] [4]} descartando cualquiera de los sólidos platónicos distintos del cubo.

Cinco poliedros convexos que ocupan todo el espacio pueden teselar el espacio euclidiano tridimensional utilizando únicamente traslaciones. Se denominan paralelohedros :

1. Panal cúbico (o variaciones: cuboide , hexaedro rómbico o paralelepípedo )
2. Panal prismático hexagonal ^[5]
3. Panal de abejas rombico dodecaédrico
4. Panal de abejas dodecaédrico alargado ^[6]
5. Panal cúbico bitruncado u octaedros truncados ^[7]

Otros ejemplos conocidos de poliedros que llenan el espacio incluyen:

• El panal prismático triangular
• El panal prismático triangular girado
• Panal tetraédrico truncado triakis . Las celdas de Voronoi de los átomos de carbono en el diamante tienen esta forma. ^[8]
• El panal dodecaédrico trapezoidal-rómbico ^[9]
• Teselación isoédrica ^[10]

Otros panales con dos o más poliedros

A veces, dos ^[11] o más poliedros diferentes pueden combinarse para llenar el espacio. Además de muchos de los panales uniformes, otro ejemplo bien conocido es la estructura de Weaire-Phelan , adoptada de la estructura de los cristales de hidrato de clatrato ^[12]

3 panales no convexos

Los ejemplos documentados son escasos. Se pueden distinguir dos clases:

• Células no convexas que se empaquetan sin superponerse, de forma análoga a los mosaicos de polígonos cóncavos. Entre ellas se encuentra un empaquetamiento del pequeño dodecaedro rómbico estrellado , como en el cubo de Yoshimoto .
• Superposición de células cuyas densidades positivas y negativas se "cancelan" para formar un continuo uniformemente denso, análogo a las teselaciones superpuestas del plano.

Panales hiperbólicos

En el espacio hiperbólico tridimensional , el ángulo diedro de un poliedro depende de su tamaño. Los panales hiperbólicos regulares incluyen dos con cuatro o cinco dodecaedros que se encuentran en cada borde; sus ángulos diedros son, por tanto, π/2 y 2π/5, ambos menores que los de un dodecaedro euclidiano. Aparte de este efecto, los panales hiperbólicos obedecen a las mismas restricciones topológicas que los panales euclidianos y los policoros.

Se han enumerado los 4 panales hiperbólicos regulares compactos y 11 paracompactos y muchos panales hiperbólicos uniformes compactos y paracompactos .

Dualidad de 3 panales

Por cada panal existe un panal dual, que puede obtenerse intercambiando:

celdas para vértices.

caras para los bordes.

Éstas son sólo las reglas para dualizar 4-politopos de cuatro dimensiones , excepto que el método finito habitual de reciprocidad alrededor de una hiperesfera concéntrica puede tener problemas.

Los panales más regulares se dualizan claramente:

• El panal cúbico es autodual.
• La de los octaedros y tetraedros es dual a la de los dodecaedros rómbicos.
• Los panales de losa derivados de teselados planos uniformes son duales entre sí de la misma manera que lo son los teselados.
• Los duales de los panales de Arquímedes restantes son todos transitivos en términos de células y han sido descritos por Inchbald. ^[13]

Panales autoduales

Los panales también pueden ser autoduales . Todos los panales hipercúbicos n -dimensionales con símbolos de Schläfli {4,3 ^{n −2} ,4} son autoduales.

Véase también

• Lista de teselados uniformes
• Panales regulares
• Poliedro oblicuo infinito
• Plesioedro

Referencias

1. Grünbaum (1994). "Teselación uniforme del espacio tridimensional". Geombinatorics 4(2)
2. Weisstein, Eric W. "Poliedro que llena el espacio". MathWorld .
3. Debrunner, Hans E. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (en alemán), 35 (6): 583–587, doi :10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
4. Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), "Polítopos que rellenan y cortan congruencia", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR  1318797 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
5. [1] Relleno uniforme del espacio utilizando prismas triangulares, cuadrados y hexagonales
6. [2] Relleno uniforme del espacio utilizando únicamente dodecaedros rombohexagonales
7. [3] Relleno uniforme del espacio utilizando únicamente octaedros truncados
8. John Conway (22 de diciembre de 2003). "Poliedro de Voronoi. Geometría. Acertijos". Grupo de noticias : geometría.acertijos. Usenet:  [e-mail].
9. X. Qian, D. Strahs y T. Schlick, J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)
10. [4] O. Delgado-Friedrichs y M. O'Keeffe. Teselación isoédrica simple: binódica y por teselas con <16 caras. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
11. [5] Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine. Gabbrielli, Ruggero. Un poliedro de trece lados que llena el espacio con su copia quiral.
12. Pauling, Linus. La naturaleza del enlace químico. Cornell University Press, 1960
13. Inchbald, Guy (julio de 1997), "Los duales de panal de Arquímedes", The Mathematical Gazette , 81 (491): 213–219, doi :10.2307/3619198, JSTOR  3619198.

Lectura adicional

• Coxeter, HSM : Politopos regulares .
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc., págs. 164-199. ISBN 0-486-23729-X.Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y llenado del espacio
• Critchlow, K.: Orden en el espacio .
• Pearce, P.: La estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño .
• Goldberg, Michael Tres familias infinitas de rellenos espaciales tetraédricos Journal of Combinatorial Theory A, 16, págs. 348–354, 1974.
• Goldberg, Michael (1972). "Los pentaedros que llenan el espacio". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 13 (3): 437–443. doi :10.1016/0097-3165(72)90077-5.
• Goldberg, Michael Los pentaedros que llenan el espacio II , Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375–378.
• Goldberg, Michael (1977). "Sobre los hexaedros que llenan el espacio". Geometriae Dedicata . 6 . doi :10.1007/BF00181585. S2CID  189889869.
• Goldberg, Michael (1978). "Sobre los heptaedros que llenan el espacio". Geometriae Dedicata . 7 (2): 175–184. doi :10.1007/BF00181630. S2CID  120562040.
• Goldberg, Michael. Rellenos poliédricos convexos de más de doce caras. Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
• Goldberg, Michael (1981). "Sobre los octaedros que llenan el espacio". Geometriae Dedicata . 10 (1–4): 323–335. doi :10.1007/BF01447431. S2CID  189876836.
• Goldberg, Michael (1982). "Sobre los decaedros que llenan el espacio". Topología estructural (7): 39–44. hdl :2099/990.
• Goldberg, Michael (1982). "Sobre los eneaedros que llenan el espacio". Geometriae Dedicata . 12 (3). doi :10.1007/BF00147314. S2CID  120914105.

Enlaces externos

• Olshevsky, George. "Honeycomb". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Cinco poliedros que llenan el espacio, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , noviembre de 1996, págs. 466-475.
• Raumfueller (Poliedros que llenan el espacio) de TE Dorozinski
• Weisstein, Eric W. "Poliedro que llena el espacio". MathWorld .