En geometría , una figura de vértice , en términos generales, es la figura que queda expuesta cuando se corta una esquina de un poliedro o politopo .
Tome una esquina o vértice de un poliedro . Marque un punto en algún lugar a lo largo de cada borde conectado. Dibuje líneas a través de las caras conectadas, uniendo los puntos adyacentes alrededor de la cara. Cuando haya terminado, estas líneas formarán un circuito completo, es decir, un polígono, alrededor del vértice. Este polígono es la figura del vértice.
Las definiciones formales más precisas pueden variar bastante, según las circunstancias. Por ejemplo, Coxeter (p. ej., 1948, 1954) varía su definición según convenga al área de discusión actual. La mayoría de las siguientes definiciones de una figura de vértice se aplican igualmente bien a teselados infinitos o, por extensión, a teselaciones que llenan el espacio con celdas de politopo y otros politopos de dimensiones superiores .
Realizar un corte a través de la esquina del poliedro, cortando todas las aristas conectadas al vértice. La superficie de corte es la figura del vértice. Este es quizás el enfoque más común y el más fácil de entender. Diferentes autores realizan el corte en diferentes lugares. Wenninger (2003) corta cada arista a una distancia unitaria del vértice, al igual que Coxeter (1948). Para poliedros uniformes, la construcción de Dorman Luke corta cada arista conectada en su punto medio. Otros autores realizan el corte a través del vértice en el otro extremo de cada arista. [1] [2]
En el caso de un poliedro irregular, cortar todas las aristas incidentes a un vértice dado a distancias iguales del vértice puede producir una figura que no se encuentra en un plano. Un enfoque más general, válido para poliedros convexos arbitrarios, es hacer el corte a lo largo de cualquier plano que separe el vértice dado de todos los demás vértices, pero que por lo demás es arbitrario. Esta construcción determina la estructura combinatoria de la figura del vértice, similar a un conjunto de vértices conectados (ver más abajo), pero no su geometría precisa; puede generalizarse a politopos convexos en cualquier dimensión. Sin embargo, para poliedros no convexos, puede que no exista un plano cerca del vértice que corte todas las caras incidentes al vértice.
Cromwell (1999) forma la figura del vértice intersectando el poliedro con una esfera centrada en el vértice, lo suficientemente pequeña como para que intersecte solo las aristas y caras incidentes al vértice. Esto se puede visualizar como la realización de un corte esférico o una pala, centrada en el vértice. La superficie de corte o figura del vértice es, por tanto, un polígono esférico marcado en esta esfera. Una ventaja de este método es que la forma de la figura del vértice es fija (hasta la escala de la esfera), mientras que el método de intersección con un plano puede producir formas diferentes según el ángulo del plano. Además, este método funciona para poliedros no convexos.
Muchos enfoques combinatorios y computacionales (por ejemplo, Skilling, 1975) tratan una figura de vértice como el conjunto ordenado (o parcialmente ordenado) de puntos de todos los vértices vecinos (conectados a través de un borde) al vértice dado.
En la teoría de politopos abstractos , la figura de vértice en un vértice dado V comprende todos los elementos que inciden en el vértice; aristas, caras, etc. Más formalmente es la ( n −1)-sección F n / V , donde F n es la cara más grande.
Este conjunto de elementos se conoce en otros lugares como estrella de vértice . La figura geométrica de vértice y la estrella de vértice pueden entenderse como realizaciones distintas de la misma sección abstracta.
Una figura de vértice de un n -politopo es un ( n −1)-politopo. Por ejemplo, una figura de vértice de un poliedro es un polígono , y la figura de vértice de un 4-politopo es un poliedro.
En general, una figura de vértice no necesita ser plana.
En el caso de los poliedros no convexos, la figura del vértice también puede ser no convexa. Los politopos uniformes, por ejemplo, pueden tener polígonos estrellados como caras y/o como figuras del vértice.
Las figuras de vértice son especialmente significativas para los politopos uniformes y otros politopos isogonales (transitivos de vértice) porque una figura de vértice puede definir el politopo entero.
En el caso de poliedros con caras regulares, una figura de vértice se puede representar en notación de configuración de vértices , enumerando las caras en secuencia alrededor del vértice. Por ejemplo, 3.4.4.4 es un vértice con un triángulo y tres cuadrados, y define el rombicuboctaedro uniforme .
Si el politopo es isogonal, la figura del vértice existirá en una superficie hiperplana del espacio n .
Considerando la conectividad de estos vértices vecinos, se puede construir una figura de vértice para cada vértice de un politopo:
Para un poliedro uniforme, la cara del poliedro dual se puede encontrar a partir de la figura del vértice del poliedro original utilizando la construcción " Dorman Luke ".
Si un politopo es regular, se puede representar mediante un símbolo de Schläfli y tanto la celda como la figura del vértice se pueden extraer trivialmente de esta notación.
En general, un politopo regular con símbolo de Schläfli { a , b , c ,..., y , z } tiene celdas como { a , b , c ,..., y }, y figuras de vértice como { b , c ,..., y , z }.
Dado que el politopo dual de un politopo regular también es regular y se representa mediante los índices del símbolo de Schläfli invertidos, es fácil ver que el dual de la figura del vértice es la celda del politopo dual. Para los poliedros regulares, este es un caso especial de la construcción de Dorman Luke .
La figura del vértice de un panal cúbico truncado es una pirámide cuadrada no uniforme. Un octaedro y cuatro cubos truncados se encuentran en cada vértice y forman un teselado que llena el espacio .
En relación con la figura de vértice , una figura de arista es la figura de vértice de una figura de vértice . [3] Las figuras de arista son útiles para expresar relaciones entre los elementos dentro de politopos regulares y uniformes.
Una figura de arista será un politopo ( n −2), que representa la disposición de las facetas alrededor de una arista dada. Los politopos uniformes de diagrama de Coxeter de anillo único y regulares tendrán un único tipo de arista. En general, un politopo uniforme puede tener tantos tipos de arista como espejos activos en la construcción, ya que cada espejo activo produce una arista en el dominio fundamental.
Los politopos regulares (y los panales) tienen una única figura de arista que también es regular. Para un politopo regular { p , q , r , s ,..., z }, la figura de arista es { r , s ,..., z }.
En cuatro dimensiones, la figura de borde de un politopo de 4 dimensiones o de un panal de 3 dimensiones es un polígono que representa la disposición de un conjunto de facetas alrededor de un borde. Por ejemplo, la figura de borde de un panal cúbico regular {4,3,4} es un cuadrado y, para un politopo de 4 dimensiones { p , q , r }, es el polígono { r }.
De manera menos trivial, el panal cúbico truncado t 0,1 {4,3,4}, tiene una figura de vértice de pirámide cuadrada , con celdas de cubo y octaedro truncadas . Aquí hay dos tipos de figuras de arista . Una es una figura de arista cuadrada en el vértice de la pirámide. Esta representa los cuatro cubos truncados alrededor de una arista. Las otras cuatro figuras de arista son triángulos isósceles en los vértices de la base de la pirámide. Estas representan la disposición de dos cubos truncados y un octaedro alrededor de las otras aristas.
