Dominio estelar

Propiedad de los conjuntos de puntos en espacios euclidianos

Un dominio estelar (equivalentemente, un conjunto convexo en estrella o con forma de estrella) no es necesariamente convexo en el sentido ordinario.

Un anillo no es un dominio estelar.

En geometría , un conjunto en el espacio euclidiano se denomina dominio estrellado (o conjunto estrella-convexo , conjunto en forma de estrella ^[1] o conjunto radialmente convexo ) si existe un conjunto tal que para todo el segmento de línea de a se encuentra en Esta definición es inmediatamente generalizable a cualquier espacio vectorial real o complejo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$

Intuitivamente, si pensamos en una región rodeada por una pared, es un dominio estelar si podemos encontrar un punto de observación desde el cual cualquier punto de esté dentro de la línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de conjunto radial . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Definición

Dados dos puntos y en un espacio vectorial (como el espacio euclidiano ), la envoltura convexa de se llama intervalo cerrado con extremos y y se denota por donde para cada vector ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],}$$ ${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$ ${\displaystyle z.}$

Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial tiene forma de estrella en si para cada intervalo cerrado Un conjunto tiene forma de estrella y se denomina dominio estrella si existe algún punto tal que tiene forma de estrella en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}.}$

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto estrella . ^[2] Estos conjuntos están estrechamente relacionados con los funcionales de Minkowski .

Ejemplos

• Cualquier línea o plano en es un dominio estelar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Una línea o un plano con un solo punto eliminado no es un dominio estelar.
• Si es un conjunto en el conjunto obtenido al conectar todos los puntos en el origen es un dominio en estrella. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle A}$
• Una figura en forma de cruz es un dominio estrellado pero no es convexo.
• Un polígono en forma de estrella es un dominio estelar cuyo límite es una secuencia de segmentos de línea conectados.

Propiedades

• Convexidad : cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio en estrella. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio en estrella con respecto a cada punto de ese conjunto.
• Cierre e interior: El cierre de un dominio estrella es un dominio estrella, pero el interior de un dominio estrella no es necesariamente un dominio estrella.
• Contracción : Todo dominio estelar es un conjunto contráctil , mediante una homotopía lineal . En particular, cualquier dominio estelar es un conjunto simplemente conexo .
• Contracción : Cada dominio estelar, y sólo un dominio estelar, puede "encogerse en sí mismo"; es decir, para cada razón de dilatación, el dominio estelar puede dilatarse en una razón tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original. ^[3] ${\displaystyle r<1,}$ ${\displaystyle r}$
• Unión e intersección : La unión o intersección de dos dominios estelares no es necesariamente un dominio estelar.
• Equilibrio : Dado el conjunto (donde abarca todos los escalares de longitud unitaria ) es un conjunto equilibrado siempre que tenga forma de estrella en el origen (lo que significa que y para todos y ). ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W}$
• Difeomorfismo : Un dominio estelar abierto no vacío es difeomorfo a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Operadores binarios: Si A y B son dominios en estrella, entonces también lo es el producto cartesiano AxB, y la suma A+B. ^[1]
• Transformaciones lineales : Si es un dominio estelar, entonces también lo es cada transformación lineal de A. ^[1]

Véase también

• Conjunto absolutamente convexo  – Conjunto convexo y equilibrado
• Conjunto absorbente  – Conjunto que se puede “inflar” para alcanzar cualquier punto
• Problema de la galería de arte  – Problema matemático
• Conjunto equilibrado  : construcción en análisis funcional
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : En geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Conjunto radial
• Polígono estrellado  : Polígono regular no convexo
• Conjunto simétrico  – Propiedad de los subconjuntos de un grupo (matemáticas)
• Preferencias en forma de estrella

Referencias

1. Braga de Freitas, Sinval; Orrillo, Jaime; Sosa, Wilfredo (01-11-2020). "De la condición de Arrow-Debreu a las preferencias de forma de estrella". Optimización . 69 (11): 2405–2419. doi :10.1080/02331934.2019.1576664. ISSN  0233-1934.
2. Schechter 1996, pág. 303.
3. Drummond-Cole, Gabriel C. "¿Qué polígonos pueden encogerse en sí mismos?". Math Overflow . Consultado el 2 de octubre de 2014 .

• Ian Stewart, David Tall, Análisis complejo . Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4 , MR 0698076 
• CR Smith, Una caracterización de conjuntos en forma de estrella , American Mathematical Monthly , vol. 75, núm. 4 (abril de 1968), pág. 386, MR 0227724, JSTOR  2313423
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .

Enlaces externos

• Humphreys, Alexis. "Estrella convexa". MathWorld .