En geometría , un poliedro uniforme tiene polígonos regulares como caras y es transitivo por vértices (existe una isometría que proyecta cualquier vértice sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes . Los poliedros uniformes pueden ser regulares (si también son transitivos por caras y aristas ), cuasiregulares (si también son transitivos por aristas pero no por caras) o semirregulares (si no son transitivos por aristas ni por caras). Las caras y los vértices no necesitan ser convexos , por lo que muchos de los poliedros uniformes también son poliedros estrella .
Existen dos clases infinitas de poliedros uniformes, junto con otros 75 poliedros. Son 2 clases infinitas de prismas y antiprismas , los poliedros convexos como en 5 sólidos platónicos y 13 sólidos arquimedianos —2 cuasirregulares y 11 semirregulares— los poliedros estrella no convexos como en 4 poliedros de Kepler-Poinsot y 53 poliedros estrella uniformes —14 cuasirregulares y 39 semirregulares—. También hay muchos poliedros uniformes degenerados con pares de aristas que coinciden, incluyendo uno encontrado por John Skilling llamado el gran dirhombidodecaedro desprovisto , la figura de Skilling. [1]
Los poliedros duales y uniformes son de cara transitiva (isoédricos) y tienen figuras de vértice regulares , y generalmente se clasifican en paralelo con su poliedro dual (uniforme). El dual de un poliedro regular es regular, mientras que el dual de un sólido arquimediano es un sólido catalán .
El concepto de poliedro uniforme es un caso especial del concepto de politopo uniforme , que también se aplica a formas en el espacio de mayor dimensión (o menor dimensión).
El pecado original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, y a través de Kepler, Poinsot, Cauchy y muchos otros sigue afectando a todos los trabajos sobre este tema (incluido el del autor). Surge del hecho de que el uso tradicional del término "poliedros regulares" era, y es, contrario a la sintaxis y a la lógica: las palabras parecen implicar que estamos tratando, entre los objetos que llamamos "poliedros", con aquellos especiales que merecen ser llamados "regulares". Pero en cada etapa -Euclides, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner, ...- los escritores no lograron definir cuáles son los "poliedros" entre los cuales están encontrando los "regulares".
(Branko Grünbaum 1994)
Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954) definen los poliedros uniformes como poliedros transitivos de vértice con caras regulares. Definen un poliedro como un conjunto finito de polígonos de modo que cada lado de un polígono es un lado de solo otro polígono, de modo que ningún subconjunto propio no vacío de los polígonos tiene la misma propiedad. Por polígono se refieren implícitamente a un polígono en el espacio euclidiano tridimensional; se permite que estos no sean convexos y se intersequen entre sí. [2]
Existen algunas generalizaciones del concepto de poliedro uniforme. Si se descarta el supuesto de conectividad, se obtienen compuestos uniformes, que pueden dividirse como una unión de poliedros, como el compuesto de 5 cubos. Si descartamos la condición de que la realización del poliedro no sea degenerada, se obtienen los llamados poliedros uniformes degenerados. Estos requieren una definición más general de poliedro. Grünbaum (1994) dio una definición bastante complicada de poliedro, mientras que McMullen y Schulte (2002) dieron una definición más simple y general de poliedro: en su terminología, un poliedro es un politopo abstracto bidimensional con una realización tridimensional no degenerada. Aquí, un politopo abstracto es un conjunto de sus "caras" que satisfacen varias condiciones, una realización es una función desde sus vértices hasta algún espacio y la realización se denomina no degenerada si dos caras distintas del politopo abstracto tienen realizaciones distintas. Algunas de las formas en que pueden degenerarse son las siguientes:
Las 57 formas no prismáticas no convexas, con excepción del gran dirrombicosidodecaedro , están compiladas por construcciones de Wythoff dentro de los triángulos de Schwarz .
Los poliedros uniformes convexos pueden nombrarse mediante operaciones de construcción de Wythoff sobre la forma regular.
Con más detalle se muestran a continuación los poliedros uniformes convexos según su construcción Wythoff dentro de cada grupo de simetría.
Dentro de la construcción de Wythoff, hay repeticiones creadas por formas de simetría inferior. El cubo es un poliedro regular y un prisma cuadrado. El octaedro es un poliedro regular y un antiprisma triangular. El octaedro también es un tetraedro rectificado . Muchos poliedros se repiten a partir de diferentes fuentes de construcción y tienen colores diferentes.
La construcción de Wythoff se aplica por igual a poliedros uniformes y teselas uniformes sobre la superficie de una esfera , por lo que se dan imágenes de ambos. Las teselas esféricas incluyen el conjunto de hosoedros y diedros, que son poliedros degenerados.
Estos grupos de simetría se forman a partir de los grupos de puntos de reflexión en tres dimensiones , cada uno representado por un triángulo fundamental ( p q r ), donde p > 1, q > 1, r > 1 y 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1 .
Las formas no reflectantes restantes se construyen mediante operaciones de alternancia aplicadas a los poliedros con un número par de lados.
Junto con los prismas y su simetría diedral , el proceso de construcción esférica de Wythoff añade dos clases regulares que se degeneran en poliedros: los diedros y los hosoedros , los primeros con sólo dos caras y los segundos con sólo dos vértices. El truncamiento de los hosoedros regulares crea los prismas.
Debajo de los poliedros uniformes convexos se encuentran los índices 1–18 para las formas no prismáticas tal como se presentan en las tablas por forma de simetría.
Para el conjunto infinito de formas prismáticas, éstas se indexan en cuatro familias:
Y una muestra de simetrías diedras:
(La esfera no se corta, sólo se corta el revestimiento.) (En una esfera, una arista es el arco del círculo máximo, el camino más corto, entre sus dos vértices. Por lo tanto, un dígono cuyos vértices no son polos opuestos es plano: parece una arista.)
La simetría tetraédrica de la esfera genera cinco poliedros uniformes y una sexta forma mediante una operación de roce.
La simetría tetraédrica se representa mediante un triángulo fundamental con un vértice con dos espejos y dos vértices con tres espejos, representados por el símbolo (3 3 2). También se puede representar mediante el grupo de Coxeter A 2 o [3,3], así como mediante un diagrama de Coxeter :
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Hay 24 triángulos, visibles en las caras del tetrakis hexaedro y en los triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
La simetría octaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes y otros 7 por alternancia. Seis de estas formas se repiten de la tabla de simetría tetraédrica anterior.
La simetría octaédrica se representa mediante un triángulo fundamental (4 3 2) contando los espejos en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter B 2 o [4,3], así como mediante un diagrama de Coxeter :
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Hay 48 triángulos, visibles en las caras del dodecaedro disdyakis y en los triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
La simetría icosaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes y uno más por alternancia. Solo se repite uno de la tabla de simetría tetraédrica y octaédrica anterior.
La simetría icosaédrica se representa mediante un triángulo fundamental (5 3 2) contando los espejos en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter G 2 o [5,3], así como mediante un diagrama de Coxeter :
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Hay 120 triángulos, visibles en las caras del triacontaedro de Disdyakis y en los triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
La simetría diedro de la esfera genera dos conjuntos infinitos de poliedros uniformes, prismas y antiprismas, y dos conjuntos infinitos más de poliedros degenerados, los hosoedros y diedros, que existen como teselaciones en la esfera.
La simetría diedral se representa mediante un triángulo fundamental (p 2 2) contando los espejos en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter I 2 (p) o [n,2], así como mediante un diagrama prismático de Coxeter :
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A continuación se muestran las primeras cinco simetrías diedras: D 2 ... D 6 . La simetría diedral D p tiene orden 4n , representada por las caras de una bipirámide , y en la esfera como una línea ecuatorial en la longitud n líneas de longitud igualmente espaciadas.
Hay 8 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide cuadrada (octaedro) y triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
Hay 12 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide hexagonal y triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
Hay 16 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide octogonal y triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
Hay 20 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide decagonal y triángulos coloreados alternativamente en una esfera:
Hay 24 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide dodecagonal y triángulos coloreados alternativamente en una esfera.
