En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de 24 celdas , o panal icositetracórico , es una teselación regular que llena el espacio (o panal ) del espacio euclidiano de cuatro dimensiones formada por 24 celdas regulares . Puede representarse mediante el símbolo de Schläfli {3,4,3,3}.
La teselación dual mediante panal regular de 16 celdas tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Junto con el panal teseractico (o panal cúbico de 4 celdas), estas son las únicas teselaciones regulares del 4-espacio euclidiano.
El panal de 24 celdas se puede construir como la teselación de Voronoi de la red de raíces D 4 o F 4 . Cada 24 celdas se centra entonces en un punto de la red D 4 , es decir, uno de
Estos puntos también pueden describirse como cuaterniones de Hurwitz con norma cuadrada par.
Los vértices del panal se encuentran en los agujeros profundos de la red D 4. Éstos son los cuaterniones de Hurwitz con norma cuadrada impar.
Se puede construir como un panal teseractico birectificado, tomando un panal teseractico y colocando vértices en los centros de todas las caras cuadradas. Las facetas de 24 celdas existen entre estos vértices como 16 celdas rectificadas . Si las coordenadas del panal teseractico son números enteros (i, j, k, l), los vértices del panal teseractico birectificado se pueden colocar en todas las permutaciones de desplazamientos de media unidad en dos de las cuatro dimensiones, por lo tanto: (i+ 1/2 ,j+ 1/2 ,k,l), (i+ 1/2 ,j,k+ 1/2 ,l), (i+ 1/2 ,j,k,l+ 1/2 ), (i,j+ 1/2 ,k+ 1/2 ,l), (i,j+ 1/2 ,k,l+ 1/2 ), (i,j,k+ 1/2 ,l+ 1/2 ).
Cada celda de 24 en el panal de 24 celdas tiene 24 celdas vecinas de 24 celdas. Con cada celda vecina comparte exactamente una celda octaédrica.
Tiene 24 vecinos más tales que con cada uno de ellos comparte un único vértice.
No tiene vecinos con los que comparta sólo un borde o sólo una cara.
La figura del vértice del panal de 24 celdas es un teseracto (cubo de 4 dimensiones). Por lo tanto, hay 16 aristas, 32 triángulos, 24 octaedros y 8 celdas de 24 que se unen en cada vértice. La figura de la arista es un tetraedro , por lo que hay 4 triángulos, 6 octaedros y 4 celdas de 24 que rodean cada arista. Finalmente, la figura de la cara es un triángulo, por lo que hay 3 octaedros y 3 celdas de 24 que se unen en cada cara.
Una forma de visualizar una figura de 4 dimensiones es considerar varias secciones transversales tridimensionales . Es decir, la intersección de varios hiperplanos con la figura en cuestión. Al aplicar esta técnica al panal de 24 celdas se obtienen varios panales tridimensionales con distintos grados de regularidad.
Una sección transversal de vértice primero usa algún hiperplano ortogonal a una línea que une vértices opuestos de una de las 24 celdas. Por ejemplo, uno podría tomar cualquiera de los hiperplanos de coordenadas en el sistema de coordenadas dado arriba (es decir, los planos determinados por x i = 0). La sección transversal de {3,4,3,3} por uno de estos hiperplanos da un panal dodecaédrico rómbico . Cada uno de los dodecaedros rómbicos corresponde a una sección transversal máxima de una de las 24 celdas que intersecan el hiperplano (el centro de cada una de esas 24 celdas (de 4 dimensiones) se encuentra en el hiperplano). En consecuencia, el panal dodecaédrico rómbico es la teselación de Voronoi de la red de raíces D 3 (una red cúbica centrada en las caras ). Desplazar este hiperplano a la mitad de camino hacia uno de los vértices (por ejemplo, x i = 1/2 ) da lugar a un panal cúbico regular . En este caso, el centro de cada 24 celdas se encuentra fuera del hiperplano. Al desplazarse nuevamente, de modo que el hiperplano interseca el vértice, se obtiene otro panal dodecaédrico rómbico pero con nuevas 24 celdas (las anteriores se han encogido a puntos). En general, para cualquier entero n , la sección transversal a través de x i = n es un panal dodecaédrico rómbico, y la sección transversal a través de x i = n + 1/2 es un panal cúbico. A medida que el hiperplano se mueve a través del espacio cuaternario, la sección transversal se transforma entre los dos periódicamente.
Una sección transversal de celda-primera utiliza algún hiperplano paralelo a una de las celdas octaédricas de un conjunto de 24 celdas. Considere, por ejemplo, algún hiperplano ortogonal al vector (1,1,0,0). La sección transversal de {3,4,3,3} por este hiperplano es un panal cúbico rectificado . Cada cuboctaedro en este panal es una sección transversal máxima de un conjunto de 24 celdas cuyo centro se encuentra en el plano. Mientras tanto, cada octaedro es una celda límite de un conjunto de 24 celdas (de 4 dimensiones) cuyo centro se encuentra fuera del plano. Al desplazar este hiperplano hasta que se encuentre a medio camino entre el centro de un conjunto de 24 celdas y el límite, se obtiene un panal cúbico bitruncado . Los cuboctaedros se han encogido y los octaedros han crecido hasta que ambos son octaedros truncados . Al desplazarse nuevamente, de modo que el hiperplano intersecta el límite de las 24 celdas centrales, se obtiene nuevamente un panal cúbico rectificado, en el que los cuboctaedros y octaedros han intercambiado sus posiciones. A medida que el hiperplano recorre el espacio de 4 celdas, la sección transversal se transforma periódicamente entre estos dos panales.
Si se inscribe una 3-esfera en cada hipercelda de esta teselación, la disposición resultante es el empaquetamiento de esferas regulares más denso conocido [nota 1] en cuatro dimensiones, con el número de besos 24. La densidad de empaquetamiento de esta disposición es
Cada esfera de 3 inscripciones besa a otras 24 en los centros de las facetas octaédricas de sus 24 celdas, ya que cada una de esas celdas octaédricas se comparte con una celda de 24 adyacente. En una teselación de longitud de arista unitaria, el diámetro de las esferas (la distancia entre los centros de las esferas que se besan) es √ 2 .
Justo fuera de esta capa circundante de 24 esferas tridimensionales que se besan hay otra capa menos densa de 24 esferas tridimensionales que no se besan entre sí ni con la esfera tridimensional central; están inscritas en 24 celdas con las que la celda central de 24 celdas comparte solo un vértice (en lugar de una celda octaédrica). La distancia de centro a centro entre una de estas esferas y cualquiera de sus vecinas de la capa o la esfera central es 2.
Alternativamente, la misma disposición de empaquetamiento de esferas con número de besos 24 se puede llevar a cabo con esferas 3 más pequeñas de diámetro de longitud de arista, ubicándolas en los centros y los vértices de las 24 celdas. (Esto es equivalente a ubicarlas en los vértices de un panal de 16 celdas de longitud de arista unitaria). En este caso, la esfera 3 central besa a otras 24 en los centros de las facetas cúbicas de los tres teseractos inscritos en la celda de 24. (Este es el empaquetamiento cúbico centrado en el cuerpo único de esferas de longitud de arista del panal teseractico).
Justo fuera de esta capa de esferas de 3 dimensiones que se besan y tienen un diámetro de 1, hay otra capa menos densa de 24 esferas de 3 dimensiones que no se besan y tienen un diámetro de 1; están centradas en las 24 celdas adyacentes con las que la celda central de 24 dimensiones comparte una faceta octaédrica. La distancia de centro a centro entre una de estas esferas y cualquiera de sus vecinas de la capa o la esfera central es √ 2 .
Existen cinco construcciones Wythoff diferentes de esta teselación como politopo uniforme . Son geométricamente idénticas a la forma regular, pero las diferencias de simetría se pueden representar mediante facetas de 24 celdas coloreadas. En todos los casos, ocho de 24 celdas se encuentran en cada vértice, pero las figuras de vértice tienen diferentes generadores de simetría.
Otros panales uniformes en 4 espacios:
