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En geometría , un empaque de esferas es una disposición de esferas que no se superponen dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas suelen ser todas del mismo tamaño y el espacio suele ser un espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas se pueden generalizar para considerar esferas desiguales, espacios de otras dimensiones (donde el problema se convierte en empaquetamiento circular en dos dimensiones o empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o a espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico .
Un problema típico de empaquetamiento de esferas es encontrar una disposición en la que las esferas llenen la mayor cantidad de espacio posible. La proporción de espacio ocupado por las esferas se llama densidad de empaquetamiento del arreglo. Como la densidad local de un empaque en un espacio infinito puede variar dependiendo del volumen sobre el cual se mide, el problema suele ser maximizar la densidad promedio o asintótica , medida sobre un volumen suficientemente grande.
Para esferas iguales en tres dimensiones, el embalaje más denso utiliza aproximadamente el 74% del volumen. Un empaquetamiento aleatorio de esferas iguales generalmente tiene una densidad de alrededor del 63,5%. [1]
Una disposición reticular (comúnmente llamada disposición regular ) es aquella en la que los centros de las esferas forman un patrón muy simétrico que necesita sólo n vectores para estar definidos de forma única (en un espacio euclidiano de n dimensiones ). Los arreglos de celosía son periódicos. Las disposiciones en las que las esferas no forman una red (a menudo denominadas irregulares ) pueden ser periódicas, pero también aperiódicas (propiamente hablando, no periódicas ) o aleatorias . Debido a su alto grado de simetría , los empaquetamientos reticulares son más fáciles de clasificar que los que no lo son. Las redes periódicas siempre tienen densidades bien definidas.
En el espacio euclidiano tridimensional, el empaquetado más denso de esferas iguales se logra mediante una familia de estructuras llamadas estructuras compactas . Un método para generar dicha estructura es el siguiente. Considere un avión con una disposición compacta de esferas. Llámalo A. Para tres esferas vecinas cualesquiera, se puede colocar una cuarta esfera encima en el hueco entre las tres esferas inferiores. Si hacemos esto para la mitad de los agujeros en un segundo plano encima del primero, creamos una nueva capa compacta. Hay dos opciones posibles para hacer esto, llámelas B y C. Supongamos que elegimos B. Entonces la mitad de los huecos de B se encuentra por encima de los centros de las bolas en A y la otra mitad se encuentra por encima de los huecos de A que no estaban utilizado para B. Así, las bolas de una tercera capa se pueden colocar directamente encima de las bolas de la primera, dando una capa de tipo A, o encima de los agujeros de la primera capa que no estaban ocupados por la segunda capa, dando una capa de tipo C. La combinación de capas de tipos A, B y C produce varias estructuras compactas.
Dos disposiciones simples dentro de la familia compacta corresponden a celosías regulares. Uno se llama empaquetado cerrado cúbico (o cúbico centrado en las caras , "FCC"), donde las capas se alternan en la secuencia ABCABC.... El otro se llama empaquetamiento cerrado hexagonal ("HCP"), donde las capas se alternan en la secuencia ABAB.... [ dudoso ] Pero son posibles muchas secuencias de apilamiento de capas (ABAC, ABCBA, ABCBAC, etc.) y aún así generan una estructura compacta. En todos estos arreglos cada esfera toca 12 esferas vecinas, [2] y la densidad promedio es
En 1611, Johannes Kepler conjeturó que ésta es la densidad máxima posible entre disposiciones regulares e irregulares; esto se conoció como la conjetura de Kepler . Carl Friedrich Gauss demostró en 1831 que estos empaquetamientos tienen la mayor densidad entre todos los empaquetamientos reticulares posibles. [3] En 1998, Thomas Callister Hales , siguiendo el enfoque sugerido por László Fejes Tóth en 1953, anunció una prueba de la conjetura de Kepler. La prueba de Hales es una prueba por agotamiento que implica la verificación de muchos casos individuales mediante complejos cálculos informáticos. Los árbitros dijeron que estaban "99% seguros" de la exactitud de la prueba de Hales. El 10 de agosto de 2014, Hales anunció la finalización de una prueba formal mediante verificación de pruebas automatizada , eliminando cualquier duda. [4]
Algunos otros empaquetamientos reticulares se encuentran a menudo en los sistemas físicos. Estos incluyen la red cúbica con una densidad de , la red hexagonal con una densidad de y la red tetraédrica con una densidad de , y la más suelta posible con una densidad de 0,0555. [5]
Los empaquetamientos en los que todas las esferas están obligadas por sus vecinas a permanecer en un lugar se denominan rígidos o atascados . El empaque de esfera estrictamente bloqueado con la densidad más baja es un cristal de fcc diluido ("tunelizado") con una densidad de sólo 0,49365. [6]
Si intentamos construir una colección densa de esferas, estaremos tentados a colocar siempre la siguiente esfera en un hueco entre tres esferas empaquetadas. Si se ensamblan cinco esferas de esta manera, serán consistentes con una de las disposiciones empaquetadas regularmente descritas anteriormente. Sin embargo, la sexta esfera colocada de esta manera hará que la estructura sea inconsistente con cualquier disposición regular. Esto da como resultado la posibilidad de un empaquetamiento aleatorio de esferas que sea estable frente a la compresión. [7] La vibración de un empaque suelto aleatorio puede dar como resultado la disposición de partículas esféricas en empaquetamientos regulares, un proceso conocido como cristalización granular . Estos procesos dependen de la geometría del recipiente que contiene los granos esféricos. [2]
Cuando las esferas se agregan aleatoriamente a un contenedor y luego se comprimen, generalmente formarán lo que se conoce como una configuración de empaque "irregular" o "atascada" cuando ya no se pueden comprimir más. Este relleno irregular tendrá generalmente una densidad de aproximadamente el 64%. Investigaciones recientes predicen analíticamente que no puede exceder un límite de densidad del 63,4% [8] Esta situación es diferente al caso de una o dos dimensiones, donde comprimir una colección de esferas unidimensionales o bidimensionales (es decir, segmentos de línea o círculos ) producirá un embalaje regular.
El problema del empaquetamiento de esferas es la versión tridimensional de una clase de problemas de empaquetamiento de bolas en dimensiones arbitrarias. En dos dimensiones, el problema equivalente es empaquetar círculos en un plano. En una dimensión, está empaquetando segmentos de línea en un universo lineal. [9]
En dimensiones superiores a tres, los empaquetamientos reticulares de hiperesferas más densos se conocen hasta 8 dimensiones. [10] Se sabe muy poco sobre los empaquetamientos irregulares de hiperesferas; es posible que en algunas dimensiones el empaquetamiento más denso sea irregular. Parte del apoyo a esta conjetura proviene del hecho de que en ciertas dimensiones (por ejemplo, 10) el empaquetamiento irregular más denso conocido es más denso que el empaquetamiento regular más denso conocido. [11]
En 2016, Maryna Viazovska anunció una prueba de que la red E 8 proporciona el empaquetamiento óptimo (independientemente de la regularidad) en un espacio de ocho dimensiones, [12] y poco después ella y un grupo de colaboradores anunciaron una prueba similar de que la red Leech es óptima. en 24 dimensiones. [13] Este resultado se basó en y mejoró métodos anteriores que demostraron que estas dos redes están muy cerca de ser óptimas. [14] Las nuevas pruebas implican el uso de la transformada de Laplace de una función modular cuidadosamente elegida para construir una función f radialmente simétrica tal que f y su transformada de Fourier f̂ sean iguales a 1 en el origen y ambas desaparezcan en todos los demás puntos de la red óptima. , con f negativa fuera de la esfera central del empaque y f̂ positiva. Luego, se utiliza la fórmula sumatoria de Poisson para f para comparar la densidad de la red óptima con la de cualquier otro empaque. [15] Antes de que la prueba fuera revisada y publicada formalmente , el matemático Peter Sarnak calificó la prueba como "increíblemente simple" y escribió que "simplemente comienzas a leer el artículo y sabes que esto es correcto". [dieciséis]
Otra línea de investigación en grandes dimensiones intenta encontrar límites asintóticos para la densidad de los empaquetamientos más densos. Se sabe que para n grande , la red más densa en la dimensión n tiene una densidad entre cn ⋅ 2 − n (para alguna constante c ) y 2 −(0.599+o(1)) n . [17] Los límites conjeturales se encuentran en el medio. [18] En 2023, una preimpresión de Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen y Julian Sahasrabudhe mejoró el límite inferior de la densidad máxima a [19]
Muchos problemas de las ciencias químicas y físicas pueden estar relacionados con problemas de empaquetamiento en los que se dispone de más de un tamaño de esfera. Aquí se puede elegir entre separar las esferas en regiones de esferas iguales muy compactas o combinar los múltiples tamaños de esferas en un empaquetamiento compuesto o intersticial . Cuando hay muchos tamaños de esferas (o una distribución ) disponibles, el problema rápidamente se vuelve intratable, pero se encuentran disponibles algunos estudios de esferas duras binarias (dos tamaños).
Cuando la segunda esfera es mucho más pequeña que la primera, es posible disponer las esferas grandes en una disposición muy compacta y luego disponer las esferas pequeñas dentro de los espacios octaédricos y tetraédricos. La densidad de este empaquetamiento intersticial depende sensiblemente de la relación de radio, pero en el límite de relaciones de tamaño extremas, las esferas más pequeñas pueden llenar los espacios con la misma densidad que las esferas más grandes llenaron el espacio. [21] Incluso si las esferas grandes no están en una disposición muy compacta, siempre es posible insertar algunas esferas más pequeñas de hasta 0,29099 del radio de la esfera más grande. [22]
Cuando la esfera más pequeña tiene un radio mayor que 0,41421 del radio de la esfera más grande, ya no es posible encajar ni siquiera en los agujeros octaédricos de la estructura compacta. Por lo tanto, más allá de este punto, la estructura huésped debe expandirse para acomodar los intersticiales (lo que compromete la densidad general) o reorganizarse en una estructura compuesta cristalina más compleja. Se conocen estructuras que exceden la densidad de empaquetamiento cercano para relaciones de radio de hasta 0,659786. [20] [23]
También se han obtenido límites superiores para la densidad que se puede obtener en dichos empaquetamientos binarios. [24]
En muchas situaciones químicas, como los cristales iónicos , la estequiometría está limitada por las cargas de los iones constituyentes. Esta restricción adicional sobre el empaque, junto con la necesidad de minimizar la energía de Coulomb de las cargas que interactúan, conduce a una diversidad de disposiciones de empaque óptimas.
Aunque el concepto de círculos y esferas puede extenderse al espacio hiperbólico , encontrar el empaquetamiento más denso se vuelve mucho más difícil. En un espacio hiperbólico no hay límite para el número de esferas que pueden rodear a otra esfera (por ejemplo, los círculos de Ford pueden considerarse como una disposición de círculos hiperbólicos idénticos en el que cada círculo está rodeado por un número infinito de otros círculos). El concepto de densidad media también resulta mucho más difícil de definir con precisión. Los empaquetamientos más densos en cualquier espacio hiperbólico son casi siempre irregulares. [25]
A pesar de esta dificultad, K. Böröczky da un límite superior universal para la densidad de los empaquetamientos esféricos del espacio n hiperbólico donde n ≥ 2. [26] En tres dimensiones, el límite de Böröczky es aproximadamente 85,327613%, y se realiza mediante el empaquetamiento horosférico de el panal tetraédrico de orden 6 con símbolo de Schläfli {3,3,6}. [27] Además de esta configuración, se sabe que existen al menos otros tres empaquetamientos de la horósfera en el espacio 3 hiperbólico que realizan el límite superior de densidad. [28]
El gráfico de contacto de un empaque finito arbitrario de bolas unitarias es el gráfico cuyos vértices corresponden a los elementos del empaque y cuyos dos vértices están conectados por un borde si los dos elementos del empaque correspondientes se tocan entre sí. La cardinalidad del conjunto de bordes del gráfico de contacto da el número de pares en contacto, el número de 3 ciclos en el gráfico de contacto da el número de tripletes en contacto y el número de tetraedros en el gráfico de contacto da el número de cuádruples en contacto ( en general, para un gráfico de contacto asociado con un empaque de esfera en n dimensiones, la cardinalidad del conjunto de n -símplices en el gráfico de contacto da el número de tuplas en contacto ( n + 1) en el empaque de esfera). En el caso del espacio euclidiano tridimensional, Karoly Bezdek y Samuel Reid de la Universidad de Calgary demostraron límites superiores no triviales en el número de pares, tripletes y cuádruples en contacto [29] .
El problema de encontrar la disposición de n esferas idénticas que maximice el número de puntos de contacto entre las esferas se conoce como "problema de las esferas adhesivas". El máximo se conoce para n ≤ 11, y solo se conocen valores conjeturales para n mayor . [30]
El empaquetamiento de esferas en las esquinas de un hipercubo (con las esferas definidas por la distancia de Hamming ) corresponde al diseño de códigos de corrección de errores : si las esferas tienen radio t , entonces sus centros son palabras clave de un código de corrección de errores (2 t + 1). . Los empaquetamientos de celosía corresponden a códigos lineales. Existen otras relaciones más sutiles entre el empaquetado de esferas euclidianas y los códigos de corrección de errores. Por ejemplo, el código binario Golay está estrechamente relacionado con la red Leech de 24 dimensiones.
Para obtener más detalles sobre estas conexiones, consulte el libro Sphere Packings, Lattices and Groups de Conway y Sloane . [31]
