Empaquetamiento de esferas en un cilindro

Problema de empaquetado tridimensional

Ilustración de una estructura columnar ensamblada con pelotas de golf.

El empaquetamiento de esferas en un cilindro es un problema de empaquetamiento tridimensional cuyo objetivo es empaquetar una cantidad determinada de esferas idénticas dentro de un cilindro de un diámetro y una longitud específicos. En el caso de cilindros con diámetros del mismo orden de magnitud que las esferas, dichos empaquetamientos dan lugar a lo que se denomina estructuras columnares .

Estos problemas se estudian ampliamente en el contexto de la biología , la nanociencia , la ciencia de los materiales , etc., debido al ensamblaje análogo de pequeñas partículas (como células y átomos ) en estructuras cristalinas cilíndricas .

El libro "Estructuras columnares de esferas: fundamentos y aplicaciones" ^[1] es una contribución notable a este campo de estudio. Escrito por Winkelmann y Chan, el libro revisa los fundamentos teóricos y las aplicaciones prácticas de esferas densamente empaquetadas dentro de confinamientos cilíndricos.

Apariencia en la ciencia

Las estructuras columnares aparecen en diversos campos de investigación en una amplia gama de escalas de longitud, desde metros hasta la nanoescala. En la escala más grande, estas estructuras se pueden encontrar en botánica, donde las semillas de una planta se agrupan alrededor del tallo. En una escala más pequeña, burbujas de igual tamaño cristalizan en estructuras de espuma columnares cuando se confinan en un tubo de vidrio. En la nanociencia, estas estructuras se pueden encontrar en objetos fabricados por el hombre que tienen una escala de longitud que va desde un micrón hasta la nanoescala.

Las bayas del Arum maculatum forman una estructura columnar ( Bushy Park ).

Botánica

Las estructuras columnares fueron estudiadas por primera vez en botánica debido a sus diversas apariencias en las plantas. ^[2] D'Arcy Thompson analizó dicha disposición de las partes de la planta alrededor del tallo en su libro " On Growth and Form " (1917). Pero también son de interés en otras áreas biológicas, incluidas las bacterias, ^[3] los virus, ^[4] los microtúbulos , ^[5] y la notocorda del pez cebra . ^[6]

Una de las flores más grandes, en la que las bayas se disponen en forma cilíndrica regular, es el aro titán . Esta flor puede alcanzar los 3 m de altura y se encuentra únicamente en el oeste de Sumatra y Java.

En escalas de longitud más pequeñas, las bayas del Arum maculatum forman una estructura columnar en otoño. Sus bayas son similares a las de la flor cadáver, ya que el arum titan es su pariente más grande. Sin embargo, el arum cuckoopint es mucho más pequeño en altura (altura ≈ 20 cm). La disposición de las bayas varía según el tamaño del tallo y de la baya.

Otra planta que se puede encontrar en muchos jardines de zonas residenciales es el cepillo de botella australiano . Reúne sus cápsulas de semillas alrededor de una rama de la planta. La estructura depende del tamaño de la cápsula de la semilla al tamaño de la rama.

Espumas

Burbujas de jabón esféricas confinadas en un tubo de vidrio cilíndrico.

Otro caso de disposición columnar ordenada a escala macroscópica son las estructuras de espuma confinadas en el interior de un tubo de vidrio. Se pueden realizar experimentalmente con burbujas de jabón de igual tamaño dentro de un tubo de vidrio, producidas soplando aire con un flujo de gas constante a través de una aguja sumergida en una solución de surfactante. ^[7] Al colocar la columna de espuma resultante bajo drenaje forzado (alimentándola con solución de surfactante desde la parte superior), la espuma se puede ajustar a una estructura seca (burbujas con forma de poliedros ) o húmeda (burbujas esféricas). ^[8]

Gracias a esta sencilla configuración experimental, se han descubierto y estudiado muchas estructuras columnares en el contexto de las espumas, tanto mediante experimentos como mediante simulación. Se han llevado a cabo muchas simulaciones utilizando Surface Evolver para investigar la estructura seca o el modelo de esfera dura para el límite húmedo, donde las burbujas son esféricas.

En la estructura en zigzag, las burbujas se apilan unas sobre otras en una forma continua de W. En 1997, Hutzler et al. informaron sobre una interfaz móvil con una fracción de líquido creciente. ^[9] Esto incluía una interfaz con un giro inesperado de 180°, cuya explicación aún no se ha encontrado.

La primera observación experimental de una estructura de deslizamiento lineal fue descubierta por Winkelmann et al. en un sistema de burbujas. ^[10]

Otras estructuras descubiertas incluyen estructuras complejas con esferas internas/celdas de espuma. Se descubrió que algunas estructuras de espuma seca con celdas internas consisten en una cadena de dodecaedros pentagonales o celdas de Kelvin en el centro del tubo. ^[11] Para muchas más disposiciones de este tipo, se observó que la capa de burbujas externa está ordenada, y cada capa interna se asemeja a una estructura columnar diferente y más simple mediante tomografía de rayos X. ^[7 ]

Nanociencia

Las estructuras columnares también se han estudiado intensamente en el contexto de los nanotubos . Sus propiedades físicas o químicas se pueden alterar atrapando partículas idénticas en su interior. ^{[12] [13] [14]} Esto se hace normalmente mediante el autoensamblaje de fulerenos como C60 , C70 o C78 en nanotubos de carbono, ^[12] pero también nanotubos de nitruro de boro ^[15].

Estas estructuras también se ensamblan cuando las partículas se recubren sobre la superficie de un esferocilindro, como en el contexto de la investigación farmacéutica. Lazáro et al. examinaron las morfologías de las proteínas de la cápside del virus autoensambladas alrededor de nanobarras de metal. ^[16] Las partículas de fármaco se recubrieron lo más densamente posible sobre un esferocilindro para proporcionar el mejor tratamiento médico.

Wu et al. construyeron varillas del tamaño de varios micrones. Estas microbarras se crean al compactar densamente partículas coloidales de sílice dentro de poros cilíndricos. Al solidificar las estructuras ensambladas, se tomaron imágenes de las microbarras y se examinaron mediante microscopía electrónica de barrido (SEM). ^[17]

Las disposiciones en columnas también se investigan como un posible candidato de metamateriales ópticos (es decir, materiales con un índice de refracción negativo) que encuentran aplicaciones en superlentes ^[18] o encubrimiento óptico. ^[19] Tanjeem et al. están construyendo un resonador de este tipo mediante el autoensamblaje de nanoesferas en la superficie del cilindro. ^{[20] [21]} Las nanoesferas se suspenden en una solución de SDS junto con un cilindro de diámetro , mucho más grande que el diámetro de las nanoesferas ( ). Las nanoesferas luego se adhieren a la superficie de los cilindros por una fuerza de agotamiento . ${\textstyle D}$ ${\displaystyle d}$ ${\textstyle D/d\approx 3{\text{ to }}5}$

Clasificación mediante notación filotáctica

La forma más común de clasificar las estructuras columnares ordenadas utiliza la notación filotáctica , adoptada de la botánica. Se utiliza para describir las disposiciones de las hojas de una planta, piñas o piñas, pero también patrones planos de floretes en una cabeza de girasol. Mientras que la disposición en las primeras es cilíndrica, las espirales en las segundas están dispuestas en un disco. Para las estructuras columnares se adopta la filotaxis en el contexto de las estructuras cilíndricas.

La notación filotáctica describe dichas estructuras mediante un triplete de números enteros positivos con . Cada número , , y describe una familia de espirales en el empaquetamiento tridimensional. Cuentan el número de espirales en cada dirección hasta que la espiral se repite. Sin embargo, esta notación solo se aplica a redes triangulares y, por lo tanto, está restringida a las estructuras ordenadas sin esferas internas. ${\displaystyle (l=m+n,m,n)}$ ${\textstyle l\geq m\geq n}$ ${\textstyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle n}$

Tipos de estructuras columnares ordenadas sin esferas internas

Las estructuras columnares ordenadas sin esferas internas se clasifican en dos clases distintas: estructuras uniformes y estructuras con deslizamiento lineal . Para cada estructura que se pueda identificar con el triplete , existe una estructura uniforme y al menos un deslizamiento lineal. ${\textstyle (l,m,n)}$

Estructura uniforme

Ejemplo de estructura uniforme y su correspondiente red de contactos desplegados. La proximidad idéntica de cada esfera define una estructura uniforme.

Una estructura uniforme se identifica por el hecho de que cada esfera tiene el mismo número de vecinos en contacto. ^{[22] [1]} Esto le da a cada esfera un vecindario idéntico. En la imagen de ejemplo del costado, cada esfera tiene seis contactos vecinos.

La cantidad de contactos se visualiza mejor en la red de contactos desplegada. Se crea desplegando la red de contactos en un plano de altura y ángulo acimutal de cada esfera. Para una estructura uniforme como la de la imagen de ejemplo, esto conduce a una red hexagonal regular . Cada punto de este patrón representa una esfera del empaquetamiento y cada línea un contacto entre esferas adyacentes. ${\textstyle z}$ ${\textstyle \theta }$

Para todas las estructuras uniformes con una relación de diámetros superior a , la red hexagonal regular es su característica característica, ya que este tipo de red tiene el número máximo de contactos. ^{[22] [1]} Para diferentes estructuras uniformes, el patrón de contacto desplegado solo varía con una rotación en el plano. Por lo tanto, cada estructura uniforme se distingue por su vector de periodicidad , que está definido por el triplete filotáctico . ${\displaystyle D/d>2.0}$ ${\displaystyle (l,m,n)}$ ${\textstyle z{\text{-}}\theta }$ ${\textstyle V}$ ${\displaystyle (l,m,n)}$

Estructura de deslizamiento de línea

Ejemplo de estructura de deslizamiento de línea y su correspondiente red de contactos desplegada. Un deslizamiento de línea se identifica por la pérdida de contactos.

Para cada estructura uniforme, existe también una estructura relacionada pero diferente, llamada disposición de deslizamiento de línea. ^{[22] [1]}

Las diferencias entre las estructuras uniformes y las de deslizamiento lineal son marginales y difíciles de detectar a partir de imágenes de los empaquetamientos de esferas. Sin embargo, al comparar sus redes de contacto desplegadas, se puede detectar que faltan ciertas líneas (que representan contactos).

Todas las esferas de una estructura uniforme tienen el mismo número de contactos, pero el número de contactos de las esferas en un deslizamiento lineal puede variar de una esfera a otra. En el ejemplo de deslizamiento lineal de la imagen de la derecha, algunas esferas cuentan con cinco contactos y otras con seis. Por lo tanto, una estructura de deslizamiento lineal se caracteriza por estos huecos o pérdida de contactos.

Esta estructura se denomina deslizamiento de línea porque las pérdidas de contactos se producen a lo largo de una línea en la red de contactos desplegada. Fue identificada por primera vez por Picket et al. , pero no se la denominó deslizamiento de línea. ^[23]

La dirección en la que se produce la pérdida de contactos se puede indicar en la notación filotáctica , ya que cada número representa uno de los vectores reticulares en la red hexagonal. ^{[22] [1]} Esto suele indicarse mediante un número en negrita. ${\textstyle (l,m,n)}$

Al cortar la fila de esferas que se encuentra debajo de la pérdida de contacto contra una fila que se encuentra por encima de la pérdida de contacto, se pueden regenerar dos estructuras uniformes relacionadas con este deslizamiento lineal. De esta manera, cada deslizamiento lineal está relacionado con dos estructuras uniformes adyacentes, una con una relación de diámetro mayor y otra con una relación de diámetro menor . ^{[22] [1] [24]} ${\textstyle D/d}$

Winkelmann et al. fueron los primeros en realizar experimentalmente una estructura de este tipo utilizando burbujas de jabón en un sistema de esferas deformables. ^[10]

Empaquetamientos esféricos densos en cilindros

Fracción de empaquetamiento óptima para esferas duras de diámetro dentro de un cilindro de diámetro . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$

Las estructuras columnares surgen de forma natural en el contexto de empaquetamientos densos de esferas duras dentro de un cilindro. Mughal et al. estudiaron dichos empaquetamientos utilizando recocido simulado hasta la relación de diámetro de para el diámetro del cilindro al diámetro de la esfera . ^[24] Esto incluye algunas estructuras con esferas internas que no están en contacto con la pared del cilindro. ${\textstyle D/d=2.873}$ ${\textstyle D}$ ${\textstyle d}$

Calcularon la fracción de empaquetamiento para todas estas estructuras como una función de la relación de diámetros. En los picos de esta curva se encuentran las estructuras uniformes. Entre estas relaciones de diámetros discretas se encuentran los deslizamientos de línea a una densidad de empaquetamiento más baja. Su fracción de empaquetamiento es significativamente menor que la de un empaquetamiento reticular no confinado como fcc , bcc o hcp debido al volumen libre que deja el confinamiento cilíndrico.

La rica variedad de tales estructuras ordenadas también se puede obtener mediante la deposición secuencial de las esferas en el cilindro. ^[25] Chan reprodujo todos los empaquetamientos densos de esferas hasta utilizando un algoritmo en el que las esferas se colocan secuencialmente dentro del cilindro. ${\textstyle D/d<2.7013}$

Mughal et al. también descubrieron que dichas estructuras pueden estar relacionadas con empaquetaduras de discos en una superficie de un cilindro. ^[24] La red de contacto de ambas empaquetaduras es idéntica. Para ambos tipos de empaquetadura, se encontró que diferentes estructuras uniformes están conectadas entre sí por deslizamientos de línea. ^[24]

Fu et al. extendieron este trabajo a proporciones de diámetro más altas utilizando programación lineal y descubrieron 17 nuevas estructuras densas con esferas internas que no están en contacto con la pared del cilindro. ^[26] ${\textstyle D/d<4.0}$

También se ha descubierto una variedad similar de estructuras cristalinas densas para empaquetamientos columnares de esferoides a través de simulaciones de Monte Carlo . ^[27] Dichos empaquetamientos incluyen estructuras aquirales con orientaciones de esferoides específicas y estructuras helicoidales quirales con orientaciones de esferoides rotatorias.

Estructuras columnares creadas por rotaciones rápidas

Las estructuras columnares se ensamblan utilizando rotaciones rápidas alrededor de un eje central para impulsar las esferas hacia este eje.

Lee et al . ^[28] introdujeron otro método dinámico para ensamblar dichas estructuras . En este método, se colocan perlas poliméricas junto con un fluido de mayor densidad dentro de un torno giratorio .

Cuando el torno está estático, las perlas flotan sobre el líquido. A medida que aumenta la velocidad de rotación, la fuerza centrípeta empuja el fluido hacia afuera y las perlas hacia el eje central. Por lo tanto, las perlas están esencialmente confinadas por un potencial dado por la energía de rotación, donde es la masa de las perlas, la distancia desde el eje central y la velocidad de rotación. Debido a la proporcionalidad, el potencial de confinamiento se asemeja al de un oscilador armónico cilíndrico . $${\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}mR^{2}\omega ^{2},}$$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle \omega }$ ${\textstyle R^{2}}$

Dependiendo del número de esferas y de la velocidad de rotación, se descubrió una variedad de estructuras ordenadas que son comparables a los empaquetamientos densos de esferas.

Winkelmann et al. ^[29] desarrollaron una teoría integral para este experimento . Se basa en cálculos analíticos de energía utilizando un modelo de esfera genérico y predice transiciones de estructura peritectoide .

Véase también

• Empaquetado de esferas
• Empaquetamiento compacto de esferas iguales
• Problemas de embalaje

Referencias

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Enlaces externos

• Becker, Aaron T. y Huang, L. "Empaquetado de esferas en un cilindro delgado". MathWorld .