En geometría , los círculos de Villarceau ( / v iː l ɑːr ˈ s oʊ / ) son un par de círculos producidos al cortar un toro oblicuamente a través de su centro en un ángulo especial.
Dado un punto arbitrario en un toro, se pueden dibujar cuatro círculos a través de él. Uno está en un plano paralelo al plano ecuatorial del toro y otro perpendicular a ese plano (son análogos a las líneas de latitud y longitud en la Tierra). Los otros dos son círculos de Villarceau. Se obtienen como la intersección del toro con un plano que pasa por el centro del toro y lo toca tangencialmente en dos puntos antípodas. Si se consideran todos estos planos, se obtienen dos familias de círculos en el toro. Cada una de estas familias consiste en círculos disjuntos que cubren cada punto del toro exactamente una vez y, por lo tanto, forman una foliación unidimensional del toro.
Los círculos de Villarceau reciben su nombre del astrónomo y matemático francés Yvon Villarceau (1813-1883), quien escribió sobre ellos en 1848.
Consideremos un toro horizontal en el espacio xyz , centrado en el origen y con radio mayor 5 y radio menor 3. Esto significa que el toro es el lugar geométrico de algunos círculos verticales de radio tres cuyos centros están en un círculo de radio cinco en el plano horizontal xy . Los puntos de este toro satisfacen esta ecuación:
Al cortar con el plano z = 0 se obtienen dos círculos concéntricos , x 2 + y 2 = 2 2 y x 2 + y 2 = 8 2 , el ecuador exterior e interior. Al cortar con el plano x = 0 se obtienen dos círculos uno al lado del otro, ( y − 5) 2 + z 2 = 3 2 y ( y + 5) 2 + z 2 = 3 2 .
Se pueden producir dos ejemplos de círculos de Villarceau cortando con el plano 3 y = 4 z . Uno está centrado en (+3, 0, 0) y el otro en (−3, 0, 0); ambos tienen un radio de cinco. Se pueden escribir en forma paramétrica como
y
El plano de corte se elige para que sea tangente al toro en dos puntos mientras pasa por su centro. Es tangente en (0, 16/5, 12/5) y en (0, -16/5, -12/5). El ángulo de corte está determinado únicamente por las dimensiones del toro elegido. Al girar cualquiera de esos planos alrededor del eje z se obtienen todos los círculos de Villarceau para ese toro.
Se puede construir una prueba de la existencia de los círculos a partir del hecho de que el plano de corte es tangente al toro en dos puntos. Una caracterización de un toro es que es una superficie de revolución . Sin pérdida de generalidad , elija un sistema de coordenadas de modo que el eje de revolución sea el eje z . [Vea la figura a la derecha.] Comience con un círculo de radio r en el plano yz , centrado en (0, R , 0):
Al barrer este círculo alrededor del eje z se reemplaza y por ( x 2 + y 2 ) 1/2 , y al limpiar la raíz cuadrada se obtiene una ecuación cuártica para el toro:
La sección transversal de la superficie barrida en el plano yz ahora incluye un segundo círculo, con ecuación
Este par de circunferencias tiene dos rectas tangentes internas comunes , con pendiente en el origen que se encuentra a partir del triángulo rectángulo con hipotenusa R y lado opuesto r (que tiene su ángulo recto en el punto de tangencia). Por lo tanto, en estas rectas tangentes, z / y es igual a ± r / ( R 2 − r 2 ) 1/2 , y al elegir el signo más se obtiene la ecuación de un plano bitangente al toro:
Podemos calcular analíticamente la intersección de este plano con el toro, y así demostrar que el resultado es un par simétrico de círculos de radio R centrados en
Una descripción paramétrica de estos círculos es
Estos círculos también se pueden obtener comenzando con un círculo de radio R en el plano xy , centrado en ( r ,0,0) o (- r ,0,0), y luego rotando este círculo sobre el eje x en un ángulo de arcsin( r / R ).
Un tratamiento en esta línea se puede encontrar en Coxeter (1969). [1]
Hirsch (2002) describió un enfoque más abstracto y más flexible [2] , utilizando geometría algebraica en un contexto proyectivo. En la ecuación cuártica homogénea para el toro,
Al establecer w en cero se obtiene la intersección con el “plano en el infinito” y se reduce la ecuación a
Esta intersección es un punto doble, de hecho un punto doble contado dos veces. Además, está incluido en todo plano bitangente. Los dos puntos de tangencia también son puntos dobles. Por lo tanto, la curva de intersección, que según la teoría debe ser una cuártica, contiene cuatro puntos dobles. Pero también sabemos que una cuártica con más de tres puntos dobles debe factorizarse (no puede ser irreducible ), y por simetría los factores deben ser dos cónicas congruentes , que son los dos círculos de Villarceau.
Hirsch extiende este argumento a cualquier superficie de revolución generada por una cónica y muestra que la intersección con un plano bitangente debe producir dos cónicas del mismo tipo que el generador cuando la curva de intersección es real.
El toro juega un papel central en la fibración de Hopf de la 3-esfera, S 3 , sobre la esfera ordinaria, S 2 , que tiene círculos, S 1 , como fibras. Cuando la 3-esfera se mapea al 3-espacio euclidiano por proyección estereográfica , la imagen inversa de un círculo de latitud en S 2 bajo el mapa de fibras es un toro, y las fibras mismas son círculos de Villarceau. [3] Banchoff ha explorado un toro de este tipo con imágenes de gráficos de computadora. [4] Uno de los hechos inusuales sobre los círculos que componen la fibración de Hopf es que cada uno se vincula a través de todos los demás, no solo a través de los círculos en su propio toro sino a través de los círculos que componen todos los toros que llenan todo el espacio; Berger tiene una discusión y un dibujo. [5]
Mannheim (1903) demostró que los círculos de Villarceau se encuentran con todas las secciones transversales circulares paralelas del toro en el mismo ángulo, un resultado que, según él, un coronel Schoelcher había presentado en un congreso en 1891. [6]
