En geometría , un ortosquema de Schläfli es un tipo de símplex . El ortosquema es la generalización del triángulo rectángulo a figuras símplex de cualquier número de dimensiones. Los ortosquemas se definen por una secuencia de aristas que son mutuamente ortogonales . Fueron introducidos por Ludwig Schläfli , quien los llamó ortosquemas y estudió su volumen en geometrías euclidianas , hiperbólicas y esféricas . HSM Coxeter los nombró más tarde en honor a Schläfli. Como los triángulos rectángulos proporcionan la base para la trigonometría , los ortosquemas forman la base de una trigonometría de n dimensiones, como la desarrollada por Schoute , quien la llamó poligonometría . [1] J.-P. Sydler y Børge Jessen estudiaron los ortosquemas extensamente en relación con el tercer problema de Hilbert .
Los ortosquemas, también llamados caminos-símplices en la literatura de matemáticas aplicadas , son un caso especial de una clase más general de símplices estudiados por Fiedler [2] y posteriormente redescubiertos por Coxeter [3] . Estos símplices son las envolturas convexas de árboles en los que todos los bordes son mutuamente perpendiculares. En un ortosquema , el árbol subyacente es un camino .
En tres dimensiones, un ortosquema también se denomina tetraedro birrectangular (porque su trayectoria forma dos ángulos rectos en los vértices, cada uno de los cuales tiene dos ángulos rectos) o tetraedro cuadrirrectangular (porque contiene cuatro ángulos rectos). [4]
Hugo Hadwiger conjeturó en 1956 que cada símplex puede diseccionarse en un número finito de ortosquemas. [7] La conjetura ha sido demostrada en espacios de cinco o menos dimensiones, [8] pero sigue sin resolverse en dimensiones superiores. [9]
La conjetura de Hadwiger implica que cada politopo convexo puede diseccionarse en ortoesquemas.
Coxeter identifica varios ortosquemas como los símplex característicos de los politopos que generan por reflexiones. [10] El símplex característico es el bloque de construcción fundamental del politopo. Puede replicarse por reflexiones o rotaciones para construir el politopo, de la misma manera que el politopo puede diseccionarse en algún número entero de él. El símplex característico es quiral (viene en dos formas de imagen especular que son diferentes), y el politopo se disecciona en un número igual de instancias de izquierda y derecha de él. Tiene longitudes de aristas y caras diferentes, en lugar de las caras de triángulos equiláteros del símplex regular. Cuando el politopo es regular, su símplex característico es un ortosquema, un símplex con solo caras de triángulos rectángulos.
Cada politopo regular tiene su ortosquema característico que es su región fundamental , el símplex irregular que tiene exactamente las mismas características de simetría que el politopo regular pero las captura todas sin repetición. [11] Para un k -politopo regular, el diagrama de Coxeter-Dynkin del k- ortosquema característico es el diagrama del k -politopo sin el anillo de puntos generadores . El k- politopo regular se subdivide por sus elementos de simetría ( k -1) en g instancias de su k -ortosquema característico que rodean su centro, donde g es el orden del grupo de simetría del k -politopo . Esta es una subdivisión baricéntrica .
Procedemos a describir la "subdivisión simplicial" de un politopo regular, comenzando con el caso unidimensional. El segmento 𝚷 1 está dividido en dos partes iguales por su centro 𝚶 1 . El polígono 𝚷 2 = { p } está dividido por sus líneas de simetría en 2 p triángulos rectángulos, que unen el centro 𝚶 2 a los lados subdivididos simplicialmente. El poliedro 𝚷 3 = { p, q } está dividido por sus planos de simetría en g tetraedros cuadrirrectangulares (véase 5.43), que unen el centro 𝚶 3 a las caras subdivididas simplicialmente. Análogamente, el politopo regular general 𝚷 n está dividido en una serie de símplex congruentes ([ortosquemas]) que unen el centro 𝚶 n a las celdas subdivididas simpliciamente. [5]
