600 celdas

Análogo tetradimensional del icosaedro.

Neto

En geometría , las 600 celdas son los 4 politopos regulares convexos (análogo cuatridimensional de un sólido platónico ) con el símbolo de Schläfli {3,3,5}. También se le conoce como C ₆₀₀ , hexacosicoron ^[1] y hexacosiedroide . ^[2] También se le llama tetraplex (abreviado de "complejo tetraédrico") y politetraedro , al estar limitado por células tetraédricas .

El límite de las 600 celdas está compuesto por 600 celdas tetraédricas , 20 de las cuales se encuentran en cada vértice. ^[a] Juntos forman 1200 caras triangulares, 720 aristas y 120 vértices. Es el análogo tetradimensional del icosaedro , ya que tiene cinco tetraedros que se unen en cada borde, al igual que el icosaedro tiene cinco triángulos que se unen en cada vértice. ^[b] Su politopo dual es el de 120 celdas .

Geometría

El de 600 celdas es el quinto en la secuencia de 6 4 politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). ^[c] Se puede deconstruir en veinticinco instancias superpuestas de su predecesor inmediato, el de 24 celdas , ^[4] como el de 24 celdas se puede deconstruir en tres instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (8 celdas) , y el 8 celdas se puede deconstruir en dos instancias superpuestas de su predecesor, el de 16 celdas . ^[5]

El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de borde menor. ^[d] La longitud del borde de las 24 celdas es igual a su radio, pero la longitud del borde de las 600 celdas es ~0,618 veces su radio. El radio y la longitud del borde de las 600 celdas están en la proporción áurea .

Coordenadas

Radio unitario Coordenadas cartesianas

Los vértices de una unidad de radio de 600 celdas centrada en el origen del espacio 4, con aristas de longitud1/φ≈ 0,618 (donde φ =1 + √ 5/2≈ 1.618 es la proporción áurea ), se puede dar ^[6] de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos de

(0, 0, 0, ±1)

permutando coordenadas y 16 vértices de la forma:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

Los 96 vértices restantes se obtienen tomando permutaciones pares de

(±φ/2, ±1/2, ±φ ^-1/2, 0)

Tenga en cuenta que los primeros 8 son los vértices de un 16-cell , los segundos 16 son los vértices de un tesseract , y esos 24 vértices juntos son los vértices de un 24-cell . Los 96 vértices restantes son los vértices de un chato de 24 celdas , que se puede encontrar dividiendo cada uno de los 96 bordes de otro de 24 celdas (doble al primero) en la proporción áurea de manera consistente. ^[7]

Cuando se interpretan como cuaterniones, ^[e] estos son la unidad icosianos .

En las 24 celdas, hay cuadrados , hexágonos y triángulos que se encuentran en círculos máximos (en planos centrales a través de cuatro o seis vértices). ^[f] En las 600 celdas hay veinticinco 24 celdas inscritas superpuestas, con cada vértice y cuadrado compartido por cinco 24 celdas, y cada hexágono o triángulo compartido por dos 24 celdas. ^[h] En cada 24 celdas hay tres 16 celdas separadas, por lo que en las 600 celdas hay 75 16 celdas inscritas superpuestas. ^[i] Cada 16 celdas constituye una base ortonormal distinta para la elección de un sistema de referencia de coordenadas .

Los 60 ejes y 75 16 celdas de las 600 celdas constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 60 ₅ 75 ₄ para indicar que cada eje pertenece a 5 16 celdas, y cada 16 celdas contiene 4 ejes. ^[8] Cada eje es ortogonal a exactamente otros 15, y estos son solo sus compañeros en las 5 16 celdas en las que ocurre.

Coordenadas esféricas de Hopf

En las 600 celdas también hay pentágonos y decágonos de círculo máximo (en planos centrales a través de diez vértices). ^[norte]

Solo los bordes del decágono son elementos visibles de las 600 celdas (porque son los bordes de las 600 celdas). Los bordes de los otros polígonos del círculo máximo son cuerdas interiores de las 600 celdas, que no se muestran en ninguna de las representaciones de 600 celdas de este artículo (excepto cuando se muestran como líneas discontinuas).

Por simetría, por cada vértice pasa un número igual de polígonos de cada tipo; por lo tanto, es posible considerar los 120 vértices como la intersección de un conjunto de polígonos centrales de un solo tipo: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados o triángulos. Por ejemplo, los 120 vértices pueden verse como los vértices de 15 pares de cuadrados ^[p] completamente ortogonales que no comparten ningún vértice, o como 100 pares duales de hexágonos no ortogonales entre los cuales todos los pares de ejes son ortogonales, o como 144 Pentágonos no ortogonales, seis de los cuales se cruzan en cada vértice. Esta última simetría pentagonal de las 600 celdas es capturada por el conjunto de coordenadas de Hopf ^[s] (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) dado como:

({<10}𝜋/5, {≤5}𝜋/10, {<10}𝜋/5)

donde {<10} es la permutación de los diez dígitos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) y {≤5} es la permutación de los seis dígitos (0 1 2 3 4 5). Las coordenadas 𝜉 _i y 𝜉 _j abarcan los 10 vértices de los decágonos del círculo máximo; Los dígitos pares e impares etiquetan los vértices de los dos pentágonos del círculo máximo inscritos en cada decágono. ^[t]

Estructura

Secciones poliédricas

Las distancias mutuas de los vértices, medidas en grados de arco sobre la hiperesfera circunscrita , sólo tienen los valores 36° =𝜋/5, 60° =𝜋/3, 72° =2𝜋/5, 90° =𝜋/2, 108° =3𝜋/5, 120° =2𝜋/3, 144° =4𝜋/5, y 180° = 𝜋. Partiendo de un vértice arbitrario V se tienen a 36° y 144° los 12 vértices de un icosaedro , ^[a] a 60° y 120° los 20 vértices de un dodecaedro , a 72° y 108° los 12 vértices de un icosaedro mayor , a 90° los 30 vértices de un icosidodecaedro , y finalmente a 180° el vértice antípoda de V. ^{[11] [12] [13]} Estos se pueden ver en las proyecciones del plano H3 de Coxeter con vértices superpuestos coloreados. ^[14]

Estas secciones poliédricas son sólidas en el sentido de que son tridimensionales, pero, por supuesto, todos sus vértices se encuentran en la superficie de las 600 celdas (son huecas, no sólidas). Cada poliedro se encuentra en un espacio euclidiano de 4 dimensiones como una sección transversal paralela a través de las 600 celdas (un hiperplano). En el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de 600 celdas, el poliedro rodea el vértice V de la misma manera que rodea su propio centro. Pero su propio centro está en el interior de las 600 celdas, no en su superficie. En realidad, V no está en el centro del poliedro, porque está desplazado hacia afuera desde ese hiperplano en la cuarta dimensión, hacia la superficie de las 600 celdas. Por tanto, V es el vértice de una 4-pirámide basada en el poliedro.

acordes dorados

Geometría de vértice de las 600 celdas, que muestra los 5 polígonos del gran círculo regular y las 8 longitudes de cuerda de vértice a vértice ^[f] con ángulos de arco. La proporción áurea ^[u] gobierna las raíces fraccionarias de cualquier otra cuerda, ^[v] y los triángulos áureos radiales ^[w] que se encuentran en el centro.

Los 120 vértices están distribuidos ^[15] en ocho longitudes de cuerda diferentes entre sí. Estos bordes y cuerdas de las 600 celdas son simplemente los bordes y cuerdas de sus cinco polígonos de círculo máximo. ^[16] En orden ascendente de longitud, son √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 y √ 4 . ^[X]

Observe que las cuatro cuerdas hipercúbicas de las 24 celdas ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) ^[f] se alternan con las cuatro nuevas cuerdas de los grandes círculos adicionales de las 600 celdas, los decágonos y los pentágonos. Las nuevas longitudes de cuerdas áureas son necesariamente raíces cuadradas de fracciones, pero fracciones muy especiales relacionadas con la proporción áurea ^[u] que incluyen las dos secciones áureas de √ 5 , como se muestra en el diagrama. ^[v]

Sobres límite

"Una proyección 3D de una celda de 600 que realiza una rotación simple ". Se ve la superficie tridimensional formada por 600 tetraedros.

Las 600 celdas completan las 24 celdas agregando 96 vértices más entre los 24 vértices existentes de las 24 celdas, ^[z] agregando de hecho veinticuatro celdas más superpuestas inscritas en las 600 celdas. ^{[i] La nueva superficie así formada es un mosaico de células [aa]} y caras más pequeñas y numerosas : tetraedros de longitud de arista1/φ≈ 0,618 en lugar de octaedros de longitud de borde 1. Encierra los bordes √ 1 de las 24 celdas, que se convierten en cuerdas interiores invisibles en las 600 celdas, como las cuerdas √ 2 y √ 3 .

Una proyección 3D de una celda de 24 que realiza una rotación simple . Se ve la superficie tridimensional formada por 24 octaedros. También está presente en las 600 celdas, pero como una envolvente interior invisible.

Dado que los tetraedros están formados por aristas de triángulo más cortas que los octaedros (por un factor de1/φ, la proporción áurea inversa), el de 600 celdas no tiene una unidad de longitud de borde en un sistema de coordenadas de radio unitario como lo hacen el de 24 celdas y el teseracto; a diferencia de esos dos, el de 600 celdas no es radialmente equilátero . Como ellos, es radialmente triangular de una manera especial, pero en la que se unen en el centro triángulos áureos en lugar de triángulos equiláteros. ^[w]

La envoltura límite de 600 pequeñas celdas tetraédricas envuelve las veinticinco envolturas de 24 celdas octaédricas (agregando un espacio de 4 dimensiones en lugares entre estas envolturas curvas de 3 dimensiones). La forma de esos intersticios debe ser una 4-pirámide octaédrica de algún tipo, pero en las de 600 celdas no es regular. ^[C.A]

Geodésicas

Las cuerdas de vértice de las 600 celdas están dispuestas en polígonos de círculo máximo geodésicos de cinco tipos: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados y triángulos. ^[19]

Proyección estereográfica centrada en las células de los 72 decágonos centrales de las 600 células sobre sus grandes círculos. Cada círculo máximo se divide en 10 aristas de arco en las intersecciones donde se cruzan 6 círculos máximos.

Las aristas √ 0.𝚫 = 𝚽 forman 72 decágonos centrales regulares planos , 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[a] Así como el icosidodecaedro se puede dividir en 6 decágonos centrales (60 aristas = 6 × 10), el de 600 celdas se puede dividir en 72 decágonos (720 aristas = 72 × 10). Las 720 √ 0.𝚫 aristas dividen la superficie en 1200 caras triangulares y 600 celdas tetraédricas: una de 600 celdas. Las 720 aristas se encuentran en 360 pares paralelos, separados por √ 3.𝚽 . Como en el decágono y el icosidodecaedro, las aristas se encuentran en triángulos áureos ^[ab] que se encuentran en el centro del politopo. ^[w] Los 72 grandes decágonos se pueden dividir en 6 conjuntos de 12 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan , ^[ag] de modo que solo un gran círculo decagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 12 decágonos de cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[21]

Las cuerdas √ 1 forman 200 hexágonos centrales (25 conjuntos de 16, con cada hexágono en dos conjuntos), ^[g] 10 de los cuales se cruzan en cada vértice ^[ah] (4 de cada una de las cinco 24 celdas que se encuentran en el vértice, con cada hexágono en dos de esas 24 celdas). ^[l] Cada conjunto de 16 hexágonos consta de 96 aristas y 24 vértices de una de las 25 24 celdas inscritas superpuestas. Las cuerdas √ 1 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 . Cada cuerda √ 1 es el diámetro largo de un par de células tetraédricas unidas por caras (una bipirámide triangular ) y pasa por el centro de la cara compartida. Como hay 1200 caras, hay 1200 cuerdas √ 1 , en 600 pares paralelos, separados √ 3 . Los planos hexagonales no son ortogonales (están separados por 60 grados), pero se presentan como 100 pares duales en los que los 3 ejes de un hexágono son ortogonales a los 3 ejes de su dual. ^[22] Los 200 grandes hexágonos se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan, de modo que solo un gran círculo hexagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 20 hexágonos de cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[23]

Las cuerdas √ 1.𝚫 forman 144 pentágonos centrales, 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[n] Los acordes √ 1.𝚫 corren de vértice a cada segundo vértice en los mismos planos que los 72 decágonos: dos pentágonos están inscritos en cada decágono. Las cuerdas √ 1.𝚫 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Las 720 cuerdas √ 1.𝚫 ocurren en 360 pares paralelos, separados por √ 2.𝚽 = φ.

Las cuerdas √ 2 forman 450 cuadrados centrales, 15 de los cuales se cruzan en cada vértice (3 de cada una de las cinco 24 celdas que se encuentran en el vértice). Las cuerdas √ 2 unen vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 ). Hay 600 √ 2 cuerdas, en 300 pares paralelos, √ 2 separados. Los 450 grandes cuadrados (225 pares ^[p] completamente ortogonales ) se pueden dividir en 15 conjuntos de 30 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan, de modo que sólo un gran círculo cuadrado en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 30 cuadrados (15 completamente pares ortogonales) en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[24]

Las cuerdas √ 2.𝚽 = φ forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (72 conjuntos de 10 inscritos en cada decágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles tiene una longitud de √ 3.𝚽 . Las cuerdas √ 2.𝚽 corren de vértice a cada tercer vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 720 cuerdas distintas de √ 2.𝚽 , en 360 pares paralelos, separados por √ 1.𝚫 .

Las cuerdas √ 3 forman 400 triángulos centrales equiláteros (25 conjuntos de 32, con cada triángulo en dos conjuntos), 10 de los cuales se cruzan en cada vértice (4 de cada una de las cinco 24 celdas , con cada triángulo en dos de las 24 celdas). ). Cada conjunto de 32 triángulos consta de 96 √ 3 cuerdas y 24 vértices de una de las 25 celdas inscritas superpuestas. Las cuerdas √ 3 corren de vértice a cada segundo vértice en los mismos planos que los 200 hexágonos: dos triángulos están inscritos en cada hexágono. Las cuerdas √ 3 unen vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 en un gran círculo geodésico). Cada cuerda √ 3 es el diámetro largo de dos celdas cúbicas en las mismas 24 celdas. ^[ai] Hay 1200 √ 3 cuerdas, en 600 pares paralelos, separados por √ 1 .

Las cuerdas √ 3.𝚽 (las diagonales de los pentágonos) forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (144 conjuntos de 5 inscritos en cada pentágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles es una arista del pentágono de longitud √ 1.𝚫 , por lo que estos son triángulos áureos. ^[ab] Las cuerdas √ 3.𝚽 corren de vértice a cada cuarto vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 720 cuerdas distintas de √ 3.𝚽 , en 360 pares paralelos, separados por √ 0.𝚫 .

Las √ 4 cuerdas se presentan como 60 diámetros largos (75 conjuntos de 4 ejes ortogonales y cada conjunto comprende 16 celdas ), los 120 radios largos de las 600 celdas. Las cuerdas √ 4 unen vértices opuestos que están separados por cinco aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de las 25 celdas inscritas. ^[m] Hay 75 conjuntos distintos pero superpuestos de 4 diámetros ortogonales, cada uno de los cuales comprende una de las 75 16 celdas inscritas.

La suma de las longitudes al cuadrado ^[aj] de todas estas cuerdas distintas de las 600 celdas es 14,400 = 120 ² . ^[ak] Estos son todos los polígonos centrales que pasan por vértices, pero el de 600 celdas tiene un gran círculo notable que no pasa por ningún vértice (un góndolo 0). ^[ao] Además, en el 4-espacio hay geodésicas en la 3-esfera que no se encuentran en planos centrales en absoluto. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de 600 celdas que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas (diagonales) en lugar de rotaciones simples. ^[ap]

Todos los polígonos geodésicos enumerados anteriormente se encuentran en planos centrales de sólo tres tipos, cada uno caracterizado por un ángulo de rotación: planos decágonos (𝜋/5aparte), planos hexagonales (𝜋/3aparte, también en las 25 celdas inscritas), y planos cuadrados (𝜋/2aparte, también en las 75 inscritas de 16 celdas y en las de 24 celdas). Estos planos centrales de las 600 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3 espacios), cada uno de los cuales forma un icosidodecaedro . Hay 450 grandes cuadrados separados por 90 grados; 200 grandes hexágonos separados por 60 grados; y 72 grandes decágonos separados por 36 grados. ^[au] Cada plano gran cuadrado es completamente ortogonal ^[p] a otro plano gran cuadrado. Cada plano del gran hexágono es completamente ortogonal a un plano que intersecta sólo dos vértices (uno de √ 4 de diámetro largo): un gran plano del hexágono . ^[av] Cada gran plano decágono es completamente ortogonal a un plano que no intersecta ningún vértice: un gran plano de 0 góndolos. ^[soy]

Fibraciones de polígonos de círculo máximo.

Cada conjunto de polígonos de círculo máximo similares (cuadrados, hexágonos o decágonos) se puede dividir en paquetes de círculos máximos paralelos de Clifford que no se cruzan (de 30 cuadrados o 20 hexágonos o 12 decágonos). ^[ag] Cada haz de fibras de los grandes círculos paralelos de Clifford ^{[aq] es una} fibración de Hopf discreta que llena las 600 celdas y visita los 120 vértices solo una vez. ^{[29] Cada fibración de Hopf discreta tiene su} base tridimensional , que es un poliedro distinto que actúa como un mapa o modelo a escala de la fibración. ^[aw] Los polígonos del gran círculo en cada paquete se enrollan entre sí, delineando anillos helicoidales de celdas unidas por caras que se anidan entre sí, se atraviesan sin cruzarse en ninguna celda y llenan exactamente las 600 celdas con sus conjuntos de celdas disjuntas. . Los diferentes haces de fibras con sus anillos de células llenan cada uno el mismo espacio (las 600 células), pero sus fibras corren paralelas a Clifford en diferentes "direcciones"; Los polígonos de círculo máximo en diferentes fibraciones no son paralelos de Clifford. ^[30]

Decágonos

Triacontagrama {30/12}=6{5/2} es la configuración Schläfli doble seis 30 ₂ 12 ₅ característica de los politopos H _{4 .} La circunferencia de 30 vértices es el polígono sesgado de Petrie. ^[ax] El ángulo interior entre bordes adyacentes es de 36 °, también el ángulo isoclínico entre planos decágonos paralelos de Clifford adyacentes. ^[au]

Las fibraciones del de 600 células incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos. ^[af] Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los decágonos paralelos adyacentes están atravesados ​​por aristas de otros grandes decágonos.

Cada haz de fibras ^[ar] delinea 20 anillos helicoidales de 30 células tetraédricas cada uno, ^[ae] con cinco anillos anidando juntos alrededor de cada decágono. ^[31] El mapa de Hopf de esta fibración es el icosaedro , donde cada uno de los 12 vértices se eleva hasta un gran decágono, y cada una de las 20 caras triangulares se eleva hasta un anillo de 30 celdas. ^[aw] Cada celda tetraédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de celda en cada una de las 6 fibraciones. La celda tetraédrica aporta cada uno de sus 6 bordes a un decágono en una fibración diferente, pero aporta ese borde a cinco anillos de células distintos en la fibración. ^[anuncio]

Los 12 círculos máximos y los anillos de 30 celdas de las 6 fibraciones de Hopf características de las 600 celdas hacen de las 600 celdas una configuración geométrica de 30 "puntos" y 12 "líneas" escritas como 30 ₂ 12 ₅ . Se llama configuración Schläfli doble seis en honor a Ludwig Schläfli , ^[33] el matemático suizo que descubrió los politopos de 600 celdas y el conjunto completo de politopos regulares en n dimensiones. ^[34]

Hexágonos

Las fibraciones del 24 celdas incluyen 4 fibraciones de sus 16 grandes hexágonos: 4 haces de fibras de 4 grandes hexágonos. Los 4 hexágonos paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los hexágonos paralelos adyacentes están atravesados ​​por bordes de otros grandes hexágonos. Cada haz de fibras delinea 4 anillos helicoidales de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos anidados alrededor de cada hexágono. Cada celda octaédrica ocupa solo un anillo de celdas en cada una de las 4 fibraciones. La celda octaédrica aporta 3 de sus 12 bordes a 3 hexágonos paralelos de Clifford diferentes en cada fibración, pero aporta cada borde a tres anillos de celdas distintos en la fibración.

El de 600 celdas contiene 25 de 24 celdas y puede verse (de 10 maneras diferentes) como un compuesto de 5 de 24 celdas disjuntas. ^[n] Tiene 10 fibraciones de sus 200 grandes hexágonos: 10 haces de fibras de 20 grandes hexágonos. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los hexágonos paralelos adyacentes están atravesados ​​por aristas de grandes decágonos. ^[como] Cada haz de fibras delinea 20 anillos helicoidales de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos anidando juntos alrededor de cada hexágono. El mapa de Hopf de esta fibración es el dodecaedro , donde cada uno de los 20 vértices se eleva hasta formar un conjunto de grandes hexágonos. ^[23] Cada celda octaédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de 6 octaedros en cada una de las 10 fibraciones. Los 20 anillos de 6 octaedros pertenecen a 5 24 celdas disjuntas de 4 anillos de 6 octaedros cada una; cada fibración hexagonal de las 600 celdas consta de 5 24 celdas disjuntas.

Cuadrícula

Las fibraciones de las 16 celdas incluyen 3 fibraciones de sus 6 grandes cuadrados: 3 haces de fibras de 2 grandes cuadrados. Los 2 cuadrados paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los cuadrados paralelos adyacentes están atravesados ​​por bordes de otros grandes cuadrados. Cada haz de fibras delimita 2 anillos helicoidales de 8 células tetraédricas cada uno. Cada celda tetraédrica ocupa solo un anillo de celda en cada una de las 3 fibraciones. La celda tetraédrica aporta cada uno de sus 6 bordes a un cuadrado diferente (aporta dos bordes opuestos que no se cruzan a cada una de las 3 fibraciones), pero aporta cada borde a los dos anillos de celdas distintos en la fibración.

Las 600 celdas contienen 75 16 celdas y pueden verse (de 10 maneras diferentes) como un compuesto de 15 16 celdas disjuntas. Tiene 15 fibraciones de sus 450 grandes cuadrados: 15 haces de fibras de 30 grandes cuadrados. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los cuadrados paralelos adyacentes están atravesados ​​por aristas de grandes decágonos. ^[en] Cada haz de fibras delinea 30 anillos helicoidales separados por células de 8 células tetraédricas cada uno. ^[ay] El mapa de Hopf de esta fibración es el icosidodecaedro , ^[w] donde cada uno de los 30 vértices se eleva hasta formar un conjunto de grandes cuadrados. ^[24] Cada celda tetraédrica ocupa solo uno de los 30 anillos de 8 tetraedros en cada una de las 15 fibraciones.

Anillos de células paralelas de Clifford

Los anillos de células helicoidales densamente empaquetados ^{[35] [36] [29]} de las fibraciones son células disjuntas, pero comparten vértices, aristas y caras. Cada fibración de las 600 celdas puede verse como un empaquetamiento denso de anillos de celdas con las caras correspondientes de los anillos de celdas adyacentes unidas cara a cara entre sí. ^[bb] La misma fibración también puede verse como una disposición mínima y escasa de menos anillos celulares completamente desunidos que no se tocan en absoluto. ^[j]

Las fibraciones de los grandes decágonos pueden verse (cinco maneras diferentes) como 4 anillos de 30 celdas completamente separados con espacios que los separan, en lugar de 20 anillos de celdas unidos por caras, al omitir todos menos uno de los cinco anillos de celdas que se unen en cada decágono. ^[37] Las cinco formas diferentes en que puedes hacer esto son equivalentes, en el sentido de que las cinco corresponden a la misma fibración discreta (en el mismo sentido que las 6 fibraciones decagonales son equivalentes, en el sentido de que las 6 cubren las mismas 600 celdas). Los 4 anillos de celdas todavía constituyen la fibración completa: incluyen los 12 decágonos paralelos de Clifford, que visitan los 120 vértices. ^[bc] Este subconjunto de 4 de 20 anillos de celdas es dimensionalmente análogo ^[b] al subconjunto de 12 de 72 decágonos, en el sentido de que ambos son conjuntos de politopos paralelos de Clifford completamente disjuntos que visitan los 120 vértices. ^[bd] El subconjunto de 4 de 20 anillos de células es una de 5 fibraciones dentro de la fibración de 12 de 72 decágonos: una fibración de una fibración. Todas las fibraciones tienen esta estructura de dos niveles con subfibraciones .

Las fibraciones de los grandes hexágonos de 24 celdas se pueden ver (de tres maneras diferentes) como 2 anillos de 6 celdas completamente separados con espacios que los separan, en lugar de 4 anillos de celdas unidos por caras, al omitir todos los anillos de celdas menos uno del tres que se encuentran en cada hexágono. Por lo tanto, cada una de las 10 fibraciones de los grandes hexágonos de las 600 células puede verse como dos anillos de células octaédricos completamente separados.

Las fibraciones de los grandes cuadrados de las 16 celdas se pueden ver (de dos maneras diferentes) como un solo anillo de 8 celdas tetraédricas con un espacio vacío adyacente del tamaño de un anillo de celdas, en lugar de como 2 anillos de celdas unidos por caras, al omitir uno de los dos anillos de células que se encuentran en cada cuadrado. Por lo tanto, cada una de las 15 fibraciones de los grandes cuadrados de las 600 células puede verse como un único anillo de células tetraédrico. ^[sí]

Las escasas construcciones de las fibraciones de 600 celdas corresponden a descomposiciones de menor simetría de las de 600 celdas, 24 celdas o 16 celdas con celdas de diferentes colores para distinguir los anillos de celdas de los espacios entre ellos. ^[be] La forma particular de baja simetría de las 600 celdas correspondiente a la construcción escasa de las fibraciones del gran decágono es dimensionalmente análoga ^[b] a la forma tetraédrica chata del icosaedro (que es la base ^[aw] de estas fibraciones en las 2 esferas). Cada uno de los 20 anillos de células de Boerdijk-Coxeter ^[ae] se levanta de una cara correspondiente del icosaedro. ^[bh]

Construcciones

El de 600 celdas incorpora las geometrías de todos los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones, excepto el de 5 celdas, el de 120 celdas y los polígonos {7} y ​​superiores. ^[41] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir las 600 celdas, pero ninguna de ellas es trivial. La construcción del modelo de 600 celdas a partir de su predecesor habitual, el de 24 celdas, puede resultar difícil de visualizar.

La construcción de Gosset.

Thorold Gosset descubrió los 4 politopos semirregulares , incluido el chato de 24 celdas con 96 vértices, que se encuentra entre las 24 celdas y las 600 celdas en la secuencia de 4 politopos convexos de tamaño y complejidad crecientes en el mismo radio. La construcción de Gosset de las 600 celdas a partir de las 24 celdas se realiza en dos pasos, utilizando las 24 celdas chatas como forma intermedia. En el primer paso, más complejo (descrito en otra parte ), el chato de 24 celdas se construye mediante un truncamiento especial de un chato de 24 celdas en las secciones doradas de sus bordes. ^[7] En el segundo paso, las 600 celdas se construyen de manera sencilla agregando 4 pirámides (vértices) a las facetas de las 24 celdas chatas. ^[42]

El chato de 24 celdas es un reducido de 600 celdas de las cuales 24 vértices (y el grupo de 20 celdas tetraédricas alrededor de cada uno) se han truncado, [ ^z] dejando una celda icosaédrica "plana" en lugar de cada pirámide icosaédrica eliminada. ^[a] Por lo tanto, el chato de 24 celdas tiene 24 celdas icosaédricas y las 120 celdas tetraédricas restantes. El segundo paso de la construcción de Gosset de las 600 celdas es simplemente lo contrario de esta disminución: se coloca una pirámide icosaédrica de 20 celdas tetraédricas en cada celda icosaédrica.

La construcción de 600 celdas de radio unitario a partir de su precursor, la de 24 celdas de radio unitario mediante el método de Gosset, en realidad requiere tres pasos. El precursor de 24 celdas de la celda chata-24 no tiene el mismo radio: es más grande, ya que la celda chata-24 es su truncamiento. Comenzando con las 24 celdas de radio unitario, el primer paso es alternarlas alrededor de su esfera media para construir su dual canónico exterior : unas 24 celdas más grandes, ya que las 24 celdas son autoduales. Esas 24 celdas más grandes se pueden truncar en unas 24 celdas de radio unitario.

Grupos de células

Dado que es tan indirecta, la construcción de Gosset puede no ayudarnos mucho a visualizar directamente cómo las 600 celdas tetraédricas encajan entre sí en una envoltura superficial tridimensional curva, ^[aa] o cómo se encuentran en la envoltura superficial subyacente de las 24 celdas. células octaédricas. Para ello, resulta útil construir las 600 células directamente a partir de grupos de células tetraédricas.

La mayoría de nosotros tenemos dificultades para visualizar las 600 celdas desde el exterior en 4 espacios, o reconocer una vista exterior de las 600 celdas debido a nuestra total falta de experiencia sensorial en espacios de 4 dimensiones, ^[43] pero deberíamos poder visualizar la envoltura superficial de 600 células desde el interior porque ese volumen es un espacio tridimensional en el que realmente podríamos "caminar" y explorar. ^[44] En estos ejercicios de construcción de 600 células a partir de grupos de células, estamos enteramente dentro de un espacio tridimensional, aunque sea un espacio curvado cerrado y extrañamente pequeño , en el que podemos alejarnos apenas diez longitudes de borde en línea recta. línea en cualquier dirección y regresar a nuestro punto de partida.

icosaedro

Un icosaedro regular coloreado en simetría de octaedro chato . ^[bi] Los icosaedros en las 600 celdas están unidos entre sí en las caras amarillas y a grupos de 5 celdas tetraédricas en las caras azules. El vértice de la pirámide icosaédrica (no visible) es un decimotercer vértice de 600 células dentro del icosaedro (pero por encima de su hiperplano).

Un grupo de 5 celdas tetraédricas: cuatro celdas unidas cara a cara alrededor de una quinta celda (no visible). Las cuatro células se encuentran en diferentes hiperplanos.

La figura del vértice de las 600 celdas es el icosaedro . ^[a] Veinte células tetraédricas se unen en cada vértice, formando una pirámide icosaédrica cuyo vértice es el vértice, rodeada por su base icosaedro. El de 600 celdas tiene un ángulo diédrico de𝜋/3+ arccos(-1/4) ≈ 164,4775° . ^[46]

Se puede ensamblar un total de 600 celdas a partir de 24 pirámides icosaédricas (unidas cara a cara en 8 de las 20 caras del icosaedro, coloreadas en amarillo en la ilustración), más 24 grupos de 5 celdas tetraédricas (cuatro celdas unidas cara a cara). alrededor de uno) que llenan los vacíos que quedan entre los icosaedros. Cada icosaedro está unido por caras a cada grupo adyacente de 5 celdas mediante dos caras azules que comparten un borde (que también es uno de los seis bordes del tetraedro central de los cinco). Seis grupos de 5 células rodean cada icosaedro y seis icosaedros rodean cada grupo de 5 células. Cinco células tetraédricas rodean cada borde del icosaedro: dos desde el interior de la pirámide icosaédrica y tres desde fuera de ella. ^{[licenciado en Derecho]}

Los vértices de las 24 pirámides icosaédricas son los vértices de una de 24 celdas inscrita en una de 600 celdas. Los otros 96 vértices (los vértices del icosaedro) son los vértices de un desaire inscrito de 24 celdas , que tiene exactamente la misma estructura de icosaedros y tetraedros descritos aquí, excepto que los icosaedros no son 4 pirámides llenas de celdas tetraédricas; son sólo células icosaédricas tridimensionales "planas", porque falta el vértice apical central.

Los bordes de 24 celdas que unen los vértices del ápice de la pirámide icosaédrica pasan por los centros de las caras amarillas. Colorear el icosaedro con 8 caras amarillas y 12 azules se puede hacer de 5 maneras distintas. ^[bm] Por lo tanto, el vértice de cada pirámide icosaédrica es un vértice de 5 24 celdas distintas, ^[l] y los 120 vértices comprenden 25 (no 5) 24 celdas. ^[i]

Los icosaedros están unidos en "líneas rectas" geodésicas por sus caras amarillas opuestas, dobladas en la cuarta dimensión en un anillo de 6 pirámides icosaédricas. Sus vértices son los vértices de un hexágono de círculo máximo . Esta geodésica hexagonal atraviesa un anillo de 12 celdas tetraédricas, unidas alternativamente cara a cara y de vértice a vértice. El diámetro largo de cada par de tetraedros unidos por caras (cada bipirámide triangular ) es un borde hexagonal (un borde de 24 celdas). Hay 4 anillos de 6 pirámides icosaédricas que se cruzan en cada ápice-vértice, al igual que hay 4 anillos entrelazados de 6 octaedros separados por células en las 24 celdas (una fibración hexagonal). ^[bq]

Las células tetraédricas están unidas por caras formando triples hélices , dobladas en la cuarta dimensión formando anillos de 30 células tetraédricas. ^[ae] Las tres hélices son "líneas rectas" geodésicas de 10 aristas: decágonos de círculo máximo que corren por Clifford paralelos ^[ag] entre sí. Cada tetraedro, que tiene seis aristas, participa en seis decágonos ^[ad] diferentes y, por lo tanto, en las 6 fibraciones decagonales de las 600 celdas.

La división de las 600 células en grupos de 20 células y grupos de 5 células es artificial, ya que todas las células son iguales. Se puede comenzar seleccionando un grupo de pirámides icosaédricas centrado en cualquier vértice elegido arbitrariamente, de modo que haya 120 icosaedros superpuestos en las 600 celdas. ^[bj] Sus 120 vértices son cada uno de ellos un vértice de cinco 24 celdas de 24 vértices, por lo que hay 5*120/24 = 25 24 celdas superpuestas. ^[norte]

Octaedros

Hay otra forma útil de dividir la superficie de 600 celdas en 24 grupos de 25 celdas tetraédricas, lo que revela más estructura ^[52] y una construcción directa de las 600 celdas a partir de su predecesor, las 24 celdas.

Comience con cualquiera de los grupos de 5 celdas (arriba) y considere que su celda central es el objeto central de un nuevo grupo más grande de celdas tetraédricas. La celda central es la primera sección de las 600 celdas que comienza con una celda. Rodeándolo de más células tetraédricas, podemos llegar a las secciones más profundas empezando por una célula.

Primero, tenga en cuenta que un grupo de 5 celdas consta de 4 pares superpuestos de tetraedros unidos por caras ( dipirámides triangulares ) cuyo diámetro largo es un borde de 24 celdas (un borde hexagonal) de longitud √ 1 . Seis bipirámides triangulares más encajan en las concavidades de la superficie del grupo de 5, ^[br] por lo que las cuerdas exteriores que conectan sus 4 vértices apicales también son bordes de 24 celdas de longitud √ 1 . Forman un tetraedro de longitud de borde √ 1 , que es la segunda sección de las 600 celdas que comienzan con una celda. ^[bs] Hay 600 de estas √ 1 secciones tetraédricas en las 600 celdas.

Con las seis dipiamidas triangulares encajadas en las concavidades, hay 12 nuevas celdas y 6 nuevos vértices además de las 5 celdas y 8 vértices del grupo original. Los 6 nuevos vértices forman la tercera sección de las 600 celdas que comienzan con una celda, un octaedro de longitud de borde √ 1 , obviamente la celda de 24 celdas. ^[bt] Como está parcialmente lleno hasta ahora (por 17 celdas tetraédricas), este √ 1 octaedro tiene caras cóncavas en las que encaja una pirámide triangular corta; tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica regular pero una forma tetraédrica irregular. ^[bu] Cada octaedro rodea 1 + 4 + 12 + 8 = 25 celdas tetraédricas: 17 celdas tetraédricas regulares más 8 celdas tetraédricas volumétricamente equivalentes, cada una de las cuales consta de 6 fragmentos de un sexto de 6 celdas tetraédricas regulares diferentes, cada una de las cuales abarca tres celdas octaédricas adyacentes. ^[bv]

Así, la celda de radio unitario de 600 celdas puede construirse directamente a partir de su predecesora, ^[ac] la celda de radio unitario de 24 celdas, colocando en cada una de sus facetas octaédricas una pirámide octaédrica irregular truncada ^{[bw] de 14 vértices [bx]} construida (de la manera anterior) de 25 celdas tetraédricas regulares de longitud de borde1/φ≈ 0,618.

Unión de dos tori

Existe otra forma útil de dividir la superficie de 600 celdas en grupos de celdas tetraédricas, lo que revela más estructura ^[53] y las fibraciones decagonales de las 600 celdas. Se puede ensamblar un total de 600 celdas alrededor de dos anillos de 5 pirámides icosaédricas, unidas de vértice a vértice en dos "líneas rectas" geodésicas.

100 tetraedros en una matriz de 10 × 10 que forman un límite de toro de Clifford en las 600 celdas. Se identifican sus bordes opuestos, formando un duocilindro .

Las 120 celdas se pueden descomponer en dos tori separados . Dado que es el dual del de 600 celdas, esta misma estructura tori dual existe en el de 600 celdas, aunque es algo más compleja. La ruta geodésica de 10 celdas en las 120 celdas corresponde a la ruta del decágono de 10 vértices en las 600 celdas. ^[54]

Comience ensamblando cinco tetraedros alrededor de un borde común. Esta estructura se parece un poco a un "platillo volante" angular. Apila diez de estos, de vértice a vértice, al estilo "panqueque". Rellena el anillo anular entre cada par de "platillos voladores" con 10 tetraedros para formar un icosaedro. Puede ver esto como cinco pirámides icosaédricas apiladas por vértices , con los cinco espacios anulares adicionales también rellenados. ^[por] La superficie es la misma que la de diez antiprismas pentagonales apilados : una columna de cara triangular con una sección transversal pentagonal . ^[55] Doblado en un anillo columnar, este es un toro que consta de 150 celdas, diez aristas de largo, con 100 caras triangulares expuestas, ^[bz] 150 aristas expuestas y 50 vértices expuestos. Apila otro tetraedro en cada cara expuesta. Esto le dará un toro algo accidentado de 250 celdas con 50 vértices elevados, 50 vértices de valle y 100 bordes de valle. ^[ca] Los valles son caminos cerrados de 10 aristas de largo y corresponden a otras instancias del camino decágono de 10 vértices mencionado anteriormente (decágonos de círculo máximo). Estos decágonos giran en espiral alrededor del decágono central, ^[cb] pero matemáticamente todos son equivalentes (todos se encuentran en planos centrales).

Construye un segundo toro idéntico de 250 celdas que se interconecta con el primero. Esto representa 500 células. Estos dos tori se unen con los vértices del valle tocando los vértices elevados, dejando 100 vacíos tetraédricos que se llenan con los 100 tetraedros restantes que se unen en los bordes del valle. Este último conjunto de 100 tetraedros se encuentra en el límite exacto del duocilindro y forma un toro de Clifford . Se pueden "desenrollar" en una matriz cuadrada de 10×10. Por cierto, esta estructura forma una capa tetraédrica en el panal tetraédrico-octaédrico . Hay exactamente 50 huecos y picos de "caja de huevos" en ambos lados que se acoplan con el tori de 250 celdas. En este caso, en cada hueco, en lugar de un octaedro como en el panal, cabe una bipirámide triangular compuesta por dos tetraedros.

Esta descomposición de las 600 celdas tiene simetría [[10,2 ⁺ ,10]], orden 400, la misma simetría que el gran antiprisma . ^[56] El gran antiprisma es solo el de 600 celdas con los dos toros superiores de 150 celdas eliminados, dejando solo la única capa intermedia de 300 tetraedros, dimensionalmente análoga ^[b] al cinturón de 10 caras de un icosaedro con las 5 superiores y se eliminaron 5 caras inferiores (un antiprisma pentagonal ). ^[cc]

Los dos toros de 150 celdas contienen cada uno 6 grandes decágonos paralelos a Clifford (cinco alrededor de uno), y los dos toros son paralelos a Clifford entre sí, por lo que juntos constituyen una fibración completa de 12 decágonos que alcanza los 120 vértices, a pesar de llenar sólo la mitad. el de 600 celdas con celdas.

Anillos de hélice de Boerdijk-Coxeter

Las 600 celdas también se pueden dividir en 20 anillos entrelazados separados de 30 celdas, ^[31] cada uno con diez bordes de largo, formando una fibración de Hopf discreta que llena las 600 celdas por completo. ^{[57] [58]} Cada anillo de 30 tetraedros unidos por caras es una hélice cilíndrica de Boerdijk-Coxeter doblada formando un anillo en la cuarta dimensión.

El anillo de 30 celdas es el espacio tridimensional ocupado por los 30 vértices de tres grandes decágonos paralelos de Clifford cian que se encuentran adyacentes entre sí, 36° =𝜋/5= una longitud de borde de 600 celdas separada en todos sus pares de vértices. ^[ce] Los 30 bordes magenta que unen estos pares de vértices forman un triacontagrama helicoidal , una espiral sesgada de 30 gramos de 30 caras triangulares unidas por bordes, que es el polígono de Petrie de las 600 celdas. ^[cd] El dual del anillo de 30 celdas (la inclinación del góno de 30 que se realiza al conectar los centros de sus celdas) es el polígono de Petrie del politopo dual de 120 celdas , el de 600 celdas . ^[ax] El eje central del anillo de 30 celdas es una gran geodésica de 30 gon que pasa por el centro de 30 caras, pero no cruza ningún vértice. ^[ao]

Los 15 bordes naranjas y los 15 bordes amarillos forman hélices separadas de 15 gramos. Cada borde naranja o amarillo cruza entre dos grandes decágonos cian . Los bordes sucesivos de color naranja o amarillo de estas hélices de 15 gramos no se encuentran en el mismo gran círculo; se encuentran en diferentes planos centrales inclinados a 36° =𝝅/5el uno al otro. ^[au] Cada hélice de 15 gramos es digna de mención como la trayectoria del borde de una isoclina, la trayectoria geodésica de una rotación isoclínica. ^[ap] La isoclina es una curva circular que intersecta cada segundo vértice del peso de 15 gramos, faltando el vértice intermedio. Una sola isoclina corre dos veces alrededor de cada 15 gramos naranja (o amarillo) a través de cada dos vértices, golpeando la mitad de los vértices en el primer bucle y la otra mitad en el segundo bucle. Los dos bucles conectados forman un único bucle de Möbius , un pentadecagramo sesgado {15/2} . El pentadecagrama no se muestra en estas ilustraciones (pero véase más abajo), porque sus bordes son cuerdas invisibles entre vértices que están separados por dos bordes naranjas (o dos amarillos), y no se muestran cuerdas en estas ilustraciones. Aunque los 30 vértices del anillo de 30 celdas no se encuentran en un gran plano central de 30 gónos, ^[ce] estas isoclinas invisibles del pentadecagramo son verdaderos círculos geodésicos de un tipo especial, que serpentean a través de las cuatro dimensiones en lugar de estar en un 2 -plano dimensional como lo hace un gran círculo geodésico ordinario. ^[cf]

Cinco de estas hélices de 30 células se anidan juntas y giran en espiral alrededor de cada uno de los caminos del decágono de 10 vértices, formando el toro de 150 células descrito en la descomposición del gran antiprisma anterior. ^[56] Por lo tanto, cada gran decágono es el decágono central central de un toro de 150 celdas. ^[cg] Las 600 celdas pueden descomponerse en 20 anillos de 30 celdas, o en dos toros de 150 celdas y 10 anillos de 30 celdas, pero no en cuatro toros de 150 celdas de este tipo. ^[ch] Las 600 celdas se pueden descomponer en cuatro tori de 150 celdas de un tipo diferente. ^[ci]

Triángulos dorados radiales

Las 600 celdas se pueden construir radialmente a partir de 720 triángulos dorados con longitudes de arista √ 0, 𝚫 √ 1 √ 1 que se encuentran en el centro del politopo de 4, cada uno de los cuales contribuye con dos radios √ 1 y una arista √ 0,𝚫 . ^[w] Forman 1200 pirámides triangulares con sus vértices en el centro: tetraedros irregulares con bases equiláteras √ 0.𝚫 (las caras de las 600 celdas). Estos forman 600 pirámides tetraédricas con sus vértices en el centro: 5 celdas irregulares con bases tetraédricas regulares √ 0.𝚫 (las celdas de las 600 celdas).

Ortoesquema característico

Cada 4 politopo regular tiene su característico 4 ortosquema, un 4 politopo irregular . ^[ck] Las 5 celdas características de las 600 celdas regulares están representadas por el diagrama de Coxeter-Dynkin. , que puede leerse como una lista de los ángulos diédricos entre sus facetas especulares. Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . Las 600 celdas regulares se subdividen por sus hiperplanos de simetría en 14400 instancias de sus características 5 celdas que se encuentran en su centro. ^[Arizona]

El característico de 5 celdas (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su base tetraedro característico (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro del normal de 600 celdas). ^[cl] Si el elemento regular de 600 celdas tiene un radio unitario y una longitud de arista , sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, , 𝟁), ^{[cj ]} más , , (los otros tres bordes de la faceta exterior del 3-ortoesquema forman el tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más , ,, ( bordes que son los radios característicos del tetraedro de 600 celdas). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 600 celdas hasta un centro de arista de 600 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 600 celdas y luego gira 90° hasta un centro de cara de 600 celdas. -centro de celda tetraédrico, luego girando 90° hasta el centro de 600 celdas. ${\displaystyle {\text{𝒍}}={\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$

Reflexiones

El de 600 celdas se puede construir mediante los reflejos de sus característicos de 5 celdas en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). ^[cm] Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se cruzan es una rotación. ^{[64] [65]} Por ejemplo, una rotación isoclínica completa de las 600 celdas en planos invariantes decagonales lleva cada uno de los 120 vértices a través de 15 vértices y de regreso a sí mismo, en una isoclina geodésica sesgada de pentadecagramo ₂ de circunferencia 5𝝅 que enrolla alrededor del 3 esferas, ya que cada gran decágono gira (como una rueda) y también se inclina hacia los lados (como una moneda al lanzarse al aire) con el plano completamente ortogonal. ^[cn] Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antípodas (los 8 vértices de una de las 75 16 celdas inscritas) ^[bc] que realiza dicha órbita visita 15 * 8 = 120 vértices distintos y genera las 600 celdas secuencialmente en una rotación isoclínica completa, al igual que cualquier característica de 5 celdas que se refleje en sus propias paredes de espejo genera los 120 vértices simultáneamente por reflexión. ^[bo]

Órbitas de Weyl

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo Weyl de orden 120. ^[67] Las siguientes son las órbitas de los pesos de D4 bajo el grupo Weyl W(D4): ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000): V1

O(0010): V2

O(0001): V3

Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Dado tal que y como un intercambio de inside , podemos construir: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• el desaire de 24 celdas ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• el de 600 celdas ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• el de 120 celdas ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

Rotaciones

Los 4 politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , que se conoce como SO(4) , el grupo de rotaciones ^[68] alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^[cy]

El de 600 celdas se genera mediante rotaciones isoclínicas ^[ap] del de 24 celdas en 36° =𝜋/5(el arco de una longitud de borde de 600 celdas). ^[da]

Veinticinco 24 celdas

Hay 25 celdas inscritas en las 600 celdas. ^[cq] Por lo tanto, también hay 25 desaires inscritos de 24 celdas, 75 teseractos inscritos y 75 inscritos de 16 celdas. ^[i]

Las 16 celdas de 8 vértices tienen 4 diámetros largos inclinados a 90° =𝜋/2entre sí, a menudo tomados como los 4 ejes ortogonales o base del sistema de coordenadas. ^[o]

Las 24 celdas de 24 vértices tienen 12 diámetros largos inclinados a 60° =𝜋/3entre sí: 3 conjuntos disjuntos de 4 ejes ortogonales, cada conjunto comprende los diámetros de una de las 3 16 celdas inscritas, rotadas isoclínicamente por𝜋/3uno con respecto al otro. ^[db]

Las 600 celdas de 120 vértices tienen 60 diámetros largos: no sólo 5 conjuntos separados de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de las 5 24 celdas inscritas (como podríamos sospechar por analogía), sino 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno que comprende una de las 25 24 celdas inscritas. ^[73] Hay 5 celdas de 24 celdas separadas en las 600 celdas, pero no solo 5: hay 10 formas diferentes de dividir las 600 celdas en 5 celdas de 24 celdas separadas . ^[metro]

Al igual que las 16 celdas y las 8 celdas inscritas en las 24 celdas, las 25 celdas de 24 inscritas en las 600 celdas son politopos mutuamente isoclínicos . La distancia de rotación entre 24 celdas inscritas es siempre𝜋/5en cada plano de rotación invariante. ^[cz]

Cinco celdas de 24 son disjuntas porque son paralelas de Clifford: sus vértices correspondientes son𝜋/5^{aparte en dos grandes círculos decagonales paralelos de Clifford [ag]} que no se cruzan (así como𝜋/5aparte en el mismo gran círculo decagonal). ^[af] Una rotación isoclínica de planos decagonales por𝜋/5lleva cada 24 celdas a 24 celdas disjuntas (tal como una rotación isoclínica de planos hexagonales por𝜋/3lleva cada 16 celdas a 16 celdas disjuntas). ^[dc] Cada rotación isoclínica ocurre en dos formas quirales: hay 4 24 celdas disjuntas a la izquierda de cada 24 celdas, y otras 4 24 celdas disjuntas a su derecha . ^[de] Las rotaciones izquierda y derecha alcanzan diferentes 24 celdas; por lo tanto, cada 24 celdas pertenece a dos conjuntos diferentes de cinco 24 celdas disjuntas.

Todos los politopos paralelos de Clifford son isoclínicos, pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (objetos completamente disjuntos). ^[df] Cada 24 celdas es isoclínica y Clifford paralela a otras 8, e isoclínica pero no Clifford paralela a otras 16. ^[g] Con cada uno de los 16 comparte 6 vértices: un plano central hexagonal. ^[l] Las 24 celdas no separadas están relacionadas mediante una simple rotación por𝜋/5en un plano invariante que cruza solo dos vértices de las 600 celdas, ^{[av] una rotación en la que el} plano fijo completamente ortogonal es su plano central hexagonal común. También están relacionados por una rotación isoclínica en la que ambos planos giran por𝜋/5. ^[dh]

Hay dos tipos de𝜋/5rotaciones isoclínicas que llevan cada 24 celdas a otras 24 celdas. ^[dc] Las 24 celdas disjuntas están relacionadas por un𝜋/5Rotación isoclínica de una fibración completa de 12 planos invariantes decagonales paralelos de Clifford. (Hay 6 conjuntos de fibras de este tipo, y es posible una rotación isoclínica hacia la derecha o hacia la izquierda con cada conjunto, por lo que hay 12 rotaciones distintas). ^[De] Las 24 celdas no disjuntas están relacionadas por una𝜋/5Rotación isoclínica de una fibración completa de 20 planos invariantes hexagonales paralelos de Clifford. ^[dj] (Hay 10 de estos conjuntos de fibras, por lo que hay 20 rotaciones distintas). ^[dg]

Por otro lado, cada uno de los 10 conjuntos de cinco 24 celdas disjuntas es paralelo a Clifford porque sus grandes hexágonos correspondientes son paralelos a Clifford. (Las 24 celdas no tienen grandes decágonos). Los 16 grandes hexágonos en cada 24 celdas se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan , cada conjunto de las cuales cubre los 24 vértices de las 24 celdas. Los 200 grandes hexágonos en las 600 celdas se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan, cada conjunto de las cuales cubre los 120 vértices y constituye una fibración hexagonal discreta. Cada uno de los 10 conjuntos de 20 hexágonos disjuntos se puede dividir en cinco conjuntos de 4 hexágonos disjuntos, cada conjunto de 4 cubre 24 celdas disjuntas. De manera similar, los grandes cuadrados correspondientes de 24 celdas disjuntas son paralelos de Clifford.

Rotaciones en isoclinas de poligramas

Cada uno de los 4 politopos convexos regulares tiene su tipo característico de rotación isoclínica derecha (e izquierda) , correspondiente a su tipo característico de fibración de Hopf discreta de círculos máximos. ^[bg] Por ejemplo, las 600 celdas se pueden fibrar de seis maneras diferentes en un conjunto de grandes decágonos paralelos de Clifford, por lo que las 600 celdas tienen seis rotaciones isoclínicas derechas (e izquierdas) distintas en las que esos grandes planos decágonos son planos invariantes de rotación . Decimos que estas rotaciones isoclínicas son características de las 600 celdas porque los bordes de las 600 celdas se encuentran en sus planos invariantes. Estas rotaciones solo emergen en las 600 celdas, aunque también se encuentran en politopos regulares más grandes (las 120 celdas) que contienen instancias inscritas de las 600 celdas.

Así como los polígonos geodésicos (decágonos, hexágonos o cuadrados) en los planos centrales de las 600 celdas forman haces de fibras de grandes círculos paralelos de Clifford, los poligramas geodésicos sesgados correspondientes (que trazan las trayectorias en el toro de Clifford de los vértices bajo rotación isoclínica) ^{[77 ]} forman haces de fibras de isoclinas paralelas de Clifford : círculos helicoidales que atraviesan las cuatro dimensiones. ^[ap] Dado que las rotaciones isoclínicas son quirales y ocurren en formas zurdas y diestras, cada haz de fibras poligonales tiene correspondientes haces de fibras poligramáticas izquierda y derecha. ^[78] Todos los haces de fibras son aspectos de la misma fibración de Hopf discreta , porque la fibración son las diversas expresiones del mismo par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha.

Los anillos celulares son otra expresión de la fibración de Hopf. Cada fibración discreta tiene un conjunto de anillos celulares separados que teselan el 4 politopo. ^[bb] Las isoclinas en cada haz quiral giran en espiral entre sí: son geodésicas axiales de los anillos de células unidas por caras. Los anillos de celdas paralelas de Clifford de la fibración se anidan entre sí, se atraviesan sin cruzarse en ninguna celda y llenan exactamente las 600 celdas con sus conjuntos de celdas disjuntos.

Las rotaciones isoclínicas hacen girar los vértices de un objeto rígido a lo largo de trayectorias paralelas, cada vértice gira dentro de dos grandes círculos ortogonales en movimiento, de la misma manera que un telar teje un trozo de tela a partir de dos conjuntos ortogonales de fibras paralelas. Un conjunto de polígonos de círculo máximo paralelo de Clifford y un conjunto correspondiente de isoclinas de poligramas sesgados paralelos de Clifford son la deformación y la trama de la misma rotación isoclínica izquierda o derecha distinta, que lleva los polígonos de círculo máximo paralelo de Clifford entre sí, lanzándolos como monedas y girando. a través de un conjunto de planos centrales paralelos de Clifford. Mientras tanto, debido a que los polígonos también giran individualmente como ruedas, los vértices se desplazan a lo largo de isoclinas helicoidales paralelas de Clifford (cuyas cuerdas forman el poligrama sesgado), a través de vértices que se encuentran en sucesivos polígonos paralelos de Clifford. ^[novio]

En las 600 celdas, cada familia de poligramas sesgados isoclínicos (trayectorias de vértices en movimiento en las grandes rotaciones de polígonos del decágono {10}, hexágono {6} o cuadrado {4}) se puede dividir en paquetes de isoclinas de poligramas paralelos de Clifford que no se cruzan . ^[79] Los haces de isoclina se presentan en pares de quiralidad izquierda y derecha ; las isoclinas en cada rotación actúan como objetos quirales , al igual que cada rotación isoclínica distinta. ^[ba] Cada fibración contiene un número igual de isoclinas izquierda y derecha, en dos haces separados, que trazan las trayectorias de los vértices de las 600 celdas durante la rotación isoclínica izquierda o derecha de la fibración, respectivamente. Cada haz de isoclinas de fibras izquierda o derecha constituye por sí solo una fibración de Hopf discreta que llena las 600 células completas y visita los 120 vértices solo una vez. Es un haz de fibras diferente al haz de grandes círculos poligonales paralelos de Clifford, pero los dos haces de fibras describen la misma fibración discreta porque enumeran esos 120 vértices juntos en la misma rotación isoclínica derecha (o izquierda) distinta, por su intersección como un tejido de fibras paralelas entretejidas.

Cada rotación isoclínica implica pares de planos de rotación centrales invariantes completamente ortogonales, que giran en el mismo ángulo. Hay dos maneras en que pueden hacer esto: girando en la "misma" dirección o girando en direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la cual convencionalmente decimos qué dirección está "arriba" en cada una de las 4 ejes de coordenadas). El poligrama derecho y la rotación isoclínica derecha corresponden convencionalmente a pares invariantes que giran en la misma dirección; el poligrama izquierdo y la rotación isoclínica izquierda corresponden a pares que giran en direcciones opuestas. ^[75] Las isoclinas izquierda y derecha son caminos diferentes que van a diferentes lugares. Además, cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha) se puede realizar en dirección positiva o negativa a lo largo de las fibras circulares paralelas.

Un haz de fibras de isoclinas paralelas de Clifford es el conjunto de círculos de vértices helicoidales descritos por una rotación isoclínica distinta hacia la izquierda o hacia la derecha. Cada vértice en movimiento viaja a lo largo de una isoclina contenida dentro de un anillo de células (en movimiento). Si bien las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha giran dos veces el mismo conjunto de planos de rotación invariantes paralelos de Clifford , atraviesan diferentes conjuntos de polígonos de círculo máximo porque las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha golpean vértices alternos del polígono de círculo máximo {2p} (donde p es un primo ≤ 5). ^[dn] La rotación izquierda y derecha comparten el mismo haz de Hopf de fibras poligonales {2p}, que es a la vez un haz izquierdo y derecho, pero tienen diferentes haces de polígonos {p} ^[80] porque las fibras discretas se oponen a izquierda y derecha. polígonos {p} derechos inscritos en el polígono {2p}. ^[hacer]

Una rotación simple es directa y local, llevando algunos vértices a vértices adyacentes a lo largo de círculos máximos y algunos planos centrales a otros planos centrales dentro del mismo hiperplano. ^[dp] En una rotación simple, hay un solo par de planos de rotación centrales invariantes completamente ortogonales; no constituye una fibración.

Una rotación isoclínica es diagonal y global, llevando todos los vértices a vértices no adyacentes (a dos o más longitudes de arista de distancia) ^[cr] a lo largo de isoclinas diagonales, y todos los polígonos del plano central a polígonos paralelos de Clifford (del mismo tipo). Un par de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha constituye una fibración discreta. Todos los planos centrales paralelos de Clifford de la fibración son planos de rotación invariantes, separados por dos ángulos iguales y situados en diferentes hiperplanos. ^[au] La isoclina diagonal ^[cs] es una ruta más corta entre los vértices no adyacentes que las múltiples rutas simples entre ellos disponibles a lo largo de los bordes: es la ruta más corta en las 3 esferas, la geodésica .

Decágonos y poligramos de 5𝝅

Las fibraciones de las 600 células incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos, ^[af] cada uno de los cuales delinea 20 anillos de células quirales de 30 células tetraédricas cada uno, ^[ae] con tres grandes decágonos que delimitan cada anillo de células , y cinco anillos de células anidando juntos alrededor de cada decágono. Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los decágonos paralelos adyacentes están atravesados ​​por aristas de otros grandes decágonos. ^[ar] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de las 600 celdas en 12 planos invariantes del gran decágono en isoclinas de 5𝝅.

El haz de 12 fibras decágonos paralelas de Clifford se divide en un haz de 12 fibras del pentágono izquierdo y un haz de 12 fibras del pentágono derecho, con cada par de pentágonos de izquierda a derecha inscritos en un decágono. ^[81] 12 grandes polígonos comprenden un haz de fibras que cubre los 120 vértices en una fibración de Hopf discreta . Hay 20 anillos de 30 células separados en la fibración, pero solo 4 anillos de 30 células completamente separados. ^[j] El modelo de 600 celdas tiene seis fibraciones decagonales discretas, y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (haces de fibras izquierda y derecha de 12 grandes pentágonos). ^[dq] Cada gran decágono pertenece a una sola fibración, ^[80] pero cada anillo de 30 celdas pertenece a 5 de las seis fibraciones (y está completamente separado de otra fibración). El de 600 celdas contiene 72 grandes decágonos, divididos en seis fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de 20 anillos de 30 celdas separados (4 anillos de 30 celdas completamente separados), pero el de 600 celdas tiene solo 20 anillos de 30 celdas distintos. anillos celulares por completo. Cada anillo de 30 celdas contiene 3 de los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada una de las 5 fibraciones y 30 de los 120 vértices.

En estas rotaciones isoclínicas decagonales , los vértices viajan a lo largo de isoclinas que siguen los bordes de los hexágonos , ^[23] avanzando una distancia pitagórica de un borde del hexágono en cada unidad rotacional doble de 36°×36°. ^[dj] En una rotación isoclínica, cada borde sucesivo del hexágono recorrido se encuentra en un gran hexágono diferente, por lo que la isoclina describe un poligrama sesgado, no un polígono. En una rotación isoclínica de 60°×60° (como en la rotación hexagonal característica de las 24 celdas , y más abajo en las rotaciones hexagonales de las 600 celdas), este poligrama es un hexagrama : la rotación isoclínica sigue una trayectoria circular de 6 aristas, justo como lo hace una simple rotación hexagonal, aunque se necesitan dos revoluciones para enumerar todos los vértices en ella, porque la isoclina es un doble bucle que pasa por cada dos vértices, y sus cuerdas son √ 3 cuerdas del hexágono en lugar de √ 1 aristas del hexágono. ^{[ds] Pero en la rotación} decagonal característica de 36 ° × 36 ° de las 600 celdas , los grandes hexágonos sucesivos están más juntos y son más numerosos, y el poligrama isoclino formado por sus 15 bordes hexagonales es un pentadecagramo (15 gramos). ^[cn] No sólo no es el mismo período que el hexágono o la rotación decagonal simple, sino que ni siquiera es un múltiplo entero del período del hexágono, o del decágono, o de la rotación simple de cualquiera de ellos. Sólo el triacontagrama compuesto {30/4}=2{15/2} (30 gramos), que son dos 15 gramos que giran en paralelo (un negro y un blanco), es múltiplo de todos ellos, y por lo tanto constituye el unidad rotacional de la rotación isoclínica decagonal. ^[dn]

En el anillo de 30 celdas, los vértices no adyacentes unidos por rotaciones isoclínicas están separados por dos longitudes de arista, con otros tres vértices del anillo entre ellos. ^[du] Los dos vértices no adyacentes están unidos por una cuerda √ 1 de la isoclina que es un gran borde hexagonal (un borde de 24 celdas). Las cuerdas √ 1 del anillo de 30 celdas (sin las aristas √ 0.𝚫 de 600 celdas) forman un triacontagrama sesgado { _{30/4}=2{15/2}} que contiene 2 bucles dobles de Möbius {15/2} disjuntos , un par de isoclinas de pentadecagramo ₂ de izquierda a derecha . Cada haz izquierdo (o derecho) de 12 fibras pentágono está atravesado por un haz izquierdo (o derecho) de 8 fibras de pentadecagramo paralelas de Clifford. Cada anillo distinto de 30 celdas tiene 2 isoclinas de pentadecagramo de doble bucle que atraviesan sus vértices pares o impares (blancos o negros), respectivamente. ^[cv] ​​Las hélices del pentadecagrama no tienen quiralidad inherente, pero cada una actúa como una isoclina izquierda o derecha en cualquier rotación isoclínica distinta. ^[dm] Las 2 fibras del pentadecagramo pertenecen a los haces de fibras izquierdo y derecho de 5 fibraciones diferentes.

En cada vértice hay seis grandes decágonos y seis isoclinas de pentadecagramo (seis negras o seis blancas) que se cruzan en el vértice. ^[dy] Ocho isoclinas de pentadecagramo (cuatro negras y cuatro blancas) comprenden un único haz de fibras derechas (o izquierdas) de isoclinas que cubren los 120 vértices en la distinta rotación isoclínica derecha (o izquierda). Cada fibración tiene una rotación isoclínica izquierda y derecha única, y correspondientes haces de fibras izquierda y derecha únicos de 12 pentágonos y 8 isoclinas de pentadecagramo. Sólo hay 20 isoclinas negras distintas y 20 isoclinas blancas distintas en las 600 celdas. Cada isoclina distinta pertenece a 5 haces de fibras.

Dos isoclinas de doble bucle de 15 gramos son axiales a cada anillo de 30 celdas. Los anillos de 30 células son quirales; cada fibración contiene 10 anillos derechos (en espiral en el sentido de las agujas del reloj) y 10 anillos izquierdos (en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj), pero las dos isoclinas en cada anillo de 3 celdas son directamente congruentes. ^[cw] Cada uno actúa como una isoclina izquierda (o derecha) y una rotación izquierda (o derecha), pero no tiene quiralidad inherente. ^[dm] Los 20 gramos izquierdos y 20 derechos de la fibración en total contienen 120 pentagramas abiertos disjuntos (60 izquierdos y 60 derechos), cuyos extremos abiertos son vértices adyacentes de 600 celdas (uno √ 0.𝚫 de longitud de borde aparte). Las 30 cuerdas que unen los 30 vértices de la isoclina son aristas de √ 1 hexágono (aristas de 24 celdas), que conectan vértices de 600 celdas que están separadas por dos aristas de 600 celdas de √ 0.𝚫 en un gran círculo decágono.^[ct] Estas cuerdas isoclinas son a la vez aristas de hexágono y aristas de pentagramo .

Las 20 isoclinas paralelas de Clifford (ejes anulares de 30 celdas) de cada haz de isoclinas izquierda (o derecha) no se cruzan entre sí. Cualquier rotación isoclínica decagonal distinta (izquierda o derecha) rota los 120 vértices (y las 600 celdas), pero las isoclinas y pentágonos del pentadecagrama están conectados de manera que los vértices se alternan como 60 vértices negros y 60 blancos (y 300 celdas negras y 300 blancas), como los cuadrados blancos y negros del tablero de ajedrez . ^[dx] En el curso de la rotación, los vértices de una isoclina izquierda (o derecha) giran dentro de la misma isoclina negra (o blanca) de 15 vértices, y las celdas giran dentro del mismo anillo negro (o blanco) de 30 celdas. .

Hexágonos y poligramas de 4𝝅

El icosagrama {20/6}=2{10/3} contiene 2 decagramos {10/3} separados ( rojo y naranja ) que conectan vértices separados por 3 en el {10} y por 6 en el {20}. En las 600 celdas, los bordes son grandes bordes pentágonos que abarcan 72°.

Las fibraciones del modelo de 600 celdas incluyen 10 fibraciones de sus 200 grandes hexágonos: 10 haces de fibras de 20 grandes hexágonos. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los hexágonos paralelos adyacentes están atravesados ​​por aristas de grandes decágonos. ^[como] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de las 600 celdas en 20 planos invariantes del gran hexágono en isoclinas de 4𝝅.

Cada haz de fibras delinea 20 anillos de células disjuntos directamente congruentes de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos de células anidando juntos alrededor de cada hexágono. El haz de 20 fibras del hexágono paralelo de Clifford se divide en un haz de 20 fibras negras √ 3 del gran triángulo y un haz de 20 fibras blancas del gran triángulo, con un triángulo negro y uno blanco inscritos en cada hexágono y 6 triángulos negros y 6 blancos en cada anillo de 6 octaedros. Los triángulos negros o blancos están unidos por tres isoclinas negras o blancas que se cruzan, cada una de las cuales es un tipo especial de gran círculo helicoidal ^[ds] que pasa por los vértices correspondientes en 10 grandes triángulos negros (o blancos) paralelos de Clifford. Las 10 √ 1.𝚫 cuerdas de cada isoclina forman un decagramo sesgado {10/3} , 10 grandes bordes del pentágono unidos de extremo a extremo en un bucle helicoidal, enrollándose 3 veces alrededor de las 600 celdas a través de las cuatro dimensiones en lugar de mentir. plano en un plano central. Cada par de isoclinas en blanco y negro (que se cruzan con los vértices del gran hexágono antípoda) forma un icosagrama compuesto de 20 gónos {20/6}=2{10/3} .

Observe la relación entre la rotación característica de 24 celdas en planos invariantes del gran hexágono (en isoclinas de hexagrama) y la propia versión de 600 celdas de la rotación de planos de gran hexágono (en isoclinas de decagramo). Son exactamente la misma rotación isoclínica: tienen la misma isoclina. Tienen diferentes números de la misma isoclina, y la cuerda isoclina √ 1.𝚫 de 600 celdas es más corta que la cuerda isoclina de 24 celdas ( √ 3 ), porque la isoclina interseca más vértices en las 600 celdas (10) que lo hace en el de 24 celdas (6), pero ambos poligramas de Clifford tienen una circunferencia de 4𝝅. ^[ea]

Cuadrados y poligramos de 8𝝅

El polígono de Clifford de la rotación isoclínica de 600 celdas en planos invariantes de gran cuadrado es un regular sesgado {24/5} de 24 gramos , con φ = √ 2.𝚽 aristas que conectan vértices separados por 5 en la circunferencia de 24 vértices, que es un único de 24 celdas ( √ 1 bordes no mostrados).

Las fibraciones de las 600 células incluyen 15 fibraciones de sus 450 grandes cuadrados: 15 haces de fibras de 30 grandes cuadrados. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada paquete están completamente separados. Los cuadrados paralelos adyacentes están atravesados ​​por aristas de grandes decágonos. ^[en] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de las 600 celdas en 30 planos invariantes del gran cuadrado (15 pares completamente ortogonales) en isoclinas de 8𝝅.

Cada haz de fibras delinea 30 anillos de células quirales de 8 células tetraédricas cada uno, ^[ay] con un anillo de células izquierdo y derecho anidados para llenar cada una de las 15 células disjuntas inscritas en las 600 células. Axial a cada anillo de 8 tetraedros hay un tipo especial de gran círculo helicoidal, una isoclina. ^[ap] En una rotación isoclínica izquierda (o derecha) de las 600 celdas en planos invariantes de gran cuadrado, todos los vértices circulan en una de las 15 isoclinas paralelas de Clifford.

Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada paquete están unidos por cuatro isoclinas paralelas de Clifford de 24 gramos (una a través de cada vértice), cada una de las cuales cruza un vértice en 24 de los 30 cuadrados, y los 24 vértices de solo uno de los 600 cuadrados. 25 24 celdas. Cada isoclina es un circuito de 24 gramos que cruza las 25 24 celdas, 24 de ellas solo una vez y una de ellas 24 veces. Los 24 vértices de cada isoclina de 24 gramos comprenden 24 celdas únicas; Hay 25 isoclinas distintas en las 600 celdas. Cada isoclina es una cuerda sesgada {24/5} de 24 gramos, 24 φ = √ 2.𝚽 unida de extremo a extremo en un bucle helicoidal, enrollándose 5 veces alrededor de una de 24 celdas a través de las cuatro dimensiones en lugar de quedar plana. un plano central. Los vértices adyacentes de las 24 celdas están separados por una cuerda √ 1 y por 5 cuerdas φ en su isoclina. Una rotación isoclínica izquierda (o derecha) de 720° lleva cada 24 celdas hacia y a través de cada otra 24 celdas.

Observe las relaciones entre la rotación de 16 celdas de solo 2 grandes cuadrados invariantes , la rotación de 24 celdas en 6 grandes cuadrados paralelos de Clifford y esta rotación de 600 celdas en 30 grandes cuadrados paralelos de Clifford. Estas tres rotaciones son la misma rotación y tienen lugar exactamente en el mismo tipo de círculos isocclinos, que cruzan más vértices en las 600 celdas (24) que en las 16 celdas (8). ^[eb] En la rotación de 16 celdas, la distancia entre los vértices en una curva isoclina es el eje de diámetro √ 4 . En las 600 celdas, los vértices están más cerca entre sí, y su cuerda √ 2.𝚽 = φ es la distancia entre vértices adyacentes en la misma isoclina, pero los tres poligramas de Clifford tienen una circunferencia de 8𝝅.

Como configuración

Esta matriz de configuración ^[85] representa las 600 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en las 600 celdas completas. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Aquí está la configuración ampliada con k -elementos de caras y k -figuras. El recuento de elementos diagonales es la relación del orden completo del grupo Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación del espejo.

Simetrías

Los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que los de 600 celdas. ^[86] Los icosianos se encuentran en el campo dorado , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales . ^[87] Las sumas finitas de las 120 unidades icosianas se denominan anillo icosiano .

Cuando se interpreta como cuaterniones , ^[e] los 120 vértices de las 600 celdas forman un grupo bajo multiplicación cuaterniónica. Este grupo a menudo se denomina grupo icosaédrico binario y se denota por 2I , ya que es la doble cubierta del grupo icosaédrico ordinario I. ^[89] Ocurre dos veces en el grupo de simetría rotacional RSG de 600 celdas como un subgrupo invariante , es decir, como el subgrupo 2I _L de multiplicaciones por la izquierda de cuaterniones y como el subgrupo 2I _R de multiplicaciones por la derecha de cuaterniones. Cada simetría rotacional de las 600 celdas es generada por elementos específicos de 2I _L y 2I _R ; el par de elementos opuestos generan el mismo elemento de RSG . El centro de RSG consta de la no rotación Id y la inversión central −Id . Tenemos el isomorfismo RSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id} . El orden de RSG es igual120 × 120/2= 7200. Mebius describe el álgebra de cuaterniones como herramienta para el tratamiento de rotaciones 3D y 4D, y como camino hacia la comprensión completa de la teoría de las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . ^[90]

El grupo icosaédrico binario es isomorfo a SL(2,5) .

El grupo de simetría completa de las 600 celdas es el grupo Weyl de H 4 . ^[91] Este es un grupo de orden 14400. Consta de 7200 rotaciones y 7200 reflexiones de rotación. Las rotaciones forman un subgrupo invariante del grupo de simetría total. El grupo de simetría rotacional fue descrito por primera vez por SL van Oss. ^[92] Dechant describe el grupo H ₄ y su construcción del álgebra de Clifford a partir de grupos de simetría tridimensionales por inducción. ^[93]

Visualización

Las simetrías de la superficie tridimensional de las 600 celdas son algo difíciles de visualizar debido tanto a la gran cantidad de celdas tetraédricas, ^[aa] como al hecho de que el tetraedro no tiene caras o vértices opuestos. ^[ba] Uno puede comenzar por darse cuenta de que el de 600 celdas es el dual del de 120 celdas. También se puede observar que las 600 celdas también contienen los vértices de un dodecaedro, ^[41] que con un poco de esfuerzo se puede ver en la mayoría de las proyecciones en perspectiva siguientes.

proyecciones 2D

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

Proyecciones 3D

Un modelo tridimensional de 600 celdas, en la colección del Institut Henri Poincaré , fue fotografiado en 1934-1935 por Man Ray y formó parte de dos de sus pinturas posteriores "Ecuación de Shakespeare". ^[94]

600 celdas disminuidas

El chato de 24 celdas se puede obtener a partir del de 600 celdas quitando los vértices de un inscrito de 24 celdas y tomando el casco convexo de los vértices restantes. ^[95] Este proceso es una disminución de las 600 células.

El gran antiprisma se puede obtener mediante otra disminución de las 600 celdas: eliminando 20 vértices que se encuentran en dos anillos mutuamente ortogonales y tomando el casco convexo de los vértices restantes. ^[56]

A un icosaedro bi-24 disminuido de 600 celdas, con todas las celdas de icosaedro tridisminuidas , se le han eliminado 48 vértices, dejando 72 de los 120 vértices del icosaedro de 600 celdas. El dual de un bi-24-disminuido de 600 celdas, es un tri-24-disminuido de 600 celdas, con 48 vértices y 72 celdas de hexaedro.

Hay un total de 314.248.344 disminuciones de las 600 celdas por vértices no adyacentes. Todos ellos constan de células tetraédricas e icosaédricas regulares. ^[96]

Politopos y panales relacionados

El de 600 celdas es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría H ₄ [3,3,5]: ^[97]

Es similar a tres 4 politopos regulares : el {3,3,3} de 5 celdas , el {3,3,4} de 16 celdas del 4 espacio euclidiano y el panal tetraédrico de orden 6 {3,3, 6} del espacio hiperbólico. Todos estos tienen células tetraédricas .

Este 4 politopo es parte de una secuencia de 4 politopos y panales con figuras de vértice de icosaedro :

Los polígonos regulares complejos ₃ {5} ₃ ,y ₅ {3} ₅ ,, tiene una representación real como 600 celdas en un espacio de 4 dimensiones. Ambos tienen 120 vértices y 120 aristas. El primero tiene un grupo de reflexión complejo ₃ [5] ₃ , orden 360, y el segundo tiene simetría ₅ [3] ₅ , orden 600. ^[98] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Ver también

• 24 celdas , el politopo predecesor de 4 celdas en el que se basa el de 600 celdas.
• 120 celdas , el politopo dual de 4 celdas al de 600 celdas y su sucesor
• Familia uniforme de 4 politopos con simetría [5,3,3]
• 4 politopos regulares
• Politopo

Notas

1. En el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de 600 celdas, en cada vértice se encuentran los otros doce vértices más cercanos que rodean el vértice de la misma manera que los vértices de un icosaedro rodean su centro. Doce aristas de 600 células convergen en el centro del icosaedro, donde parecen formar seis líneas rectas que se cruzan allí. Sin embargo, el centro en realidad está desplazado en la cuarta dimensión (radialmente hacia afuera desde el centro de las 600 celdas), fuera del hiperplano definido por los vértices del icosaedro. Así, el icosaedro de vértice es en realidad una pirámide icosaédrica canónica , ^[bj] compuesta por 20 tetraedros regulares sobre una base de icosaedro regular, y el vértice es su vértice. ^[bk]
2. Uno podría preguntarse si la analogía dimensional "siempre funciona", o si quizás son "sólo conjeturas" que a veces pueden ser incapaces de producir una figura dimensionalmente análoga correcta, especialmente cuando se razona de una dimensión inferior a una superior. Aparentemente, la analogía dimensional en ambas direcciones tiene fundamentos matemáticos firmes. Dechant ^[38] derivó los grupos de simetría 4D a partir de sus homólogos de grupos de simetría 3D por inducción, demostrando que no hay nada en la simetría 4D que no sea inherente a la simetría 3D. Demostró que ni la simetría 4D ni la simetría 3D son más fundamentales que la otra, ya que cualquiera de ellas puede derivarse de la otra. Esto es cierto ya sea que las analogías dimensionales se calculen utilizando la teoría de grupos de Coxeter o el álgebra geométrica de Clifford. Estos dos tipos bastante diferentes de matemáticas aportan conocimientos geométricos complementarios.
3. Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido ^[3] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de denominación numérica alternativa para politopos regulares en el que las 600 celdas son los 4 politopos de 120 puntos: quinto en la secuencia ascendente que va desde los 4 politopos de 5 puntos hasta los 4 politopos de 600 puntos.
4. La longitud del borde siempre será diferente a menos que el predecesor y el sucesor sean radialmente equiláteros, es decir, la longitud del borde es la misma que su radio (por lo que ambos se conservan). Dado que los politopos radialmente equiláteros son raros, la única construcción de este tipo (en cualquier dimensión) es la de 8 celdas a 24 celdas.
5. En geometría euclidiana de cuatro dimensiones , un cuaternión es simplemente una coordenada cartesiana (w, x, y, z).Hamilton no los vio como tales cuando descubrió los cuaterniones .Schläfli sería el primero en considerar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones , publicando su descubrimiento de los poliesquemas regulares en 1852, pero Hamilton nunca se dejaría influenciar por ese trabajo, que permaneció oscuro hasta el siglo XX. Hamilton encontró los cuaterniones cuando se dio cuenta de que, en cierto sentido, sería necesaria una cuarta dimensión para modelar rotaciones en el espacio tridimensional. ^[88] Aunque describió un cuaternión como un múltiplo ordenado de cuatro elementos de números reales , los cuaterniones eran para él una extensión de los números complejos, no un espacio euclidiano de cuatro dimensiones.

6. 

   Geometría de vértice de las 24 celdas radialmente equiláteras, que muestra los 3 polígonos del círculo máximo y las 4 longitudes de cuerda de vértice a vértice.

   La geometría de 600 celdas se basa en la de 24 celdas . Las 600 celdas completan las 24 celdas con 2 polígonos de círculo máximo más (decágono exterior y pentágono interior), agregando 4 longitudes de cuerdas más que se alternan con las 4 longitudes de cuerdas de las 24 celdas.
7. Un cuadro de 24 celdas contiene 16 hexágonos. En el modelo de 600 celdas, con 25 de 24 celdas, cada 24 celdas está separada de 8 de 24 celdas y se cruza con cada una de las otras 16 de 24 celdas en seis vértices que forman un hexágono. ^[9] Una celda de 600 contiene 25・16/2 = 200 de estos hexágonos.
8. En los casos en los que 4 politopos inscritos del mismo tipo ocupan conjuntos disjuntos de vértices (como las dos 16 celdas inscritas en el teseracto, o las tres 16 celdas inscritas en el de 24 celdas), sus conjuntos de cuerdas de vértice, los polígonos y celdas centrales también deben estar separados. En los casos en los que comparten vértices (como los tres teseractos inscritos en las 24 celdas, o las 25 24 celdas inscritas en las 600 celdas), también comparten algunas cuerdas de vértice y polígonos centrales. ^[gramo]
9. Las 600 celdas contienen exactamente 25 de 24 celdas, 75 de 16 celdas y 75 de 8 celdas, con cada 16 celdas y cada 8 celdas en solo una de 24 celdas. ^[18]
10. Los politopos son completamente disjuntos si todos sus conjuntos de elementos son disjuntos: no comparten ningún vértice, arista, cara o celda. Es posible que todavía se superpongan en el espacio, compartiendo contenido, volumen, área o linaje.
11. Cada una de las 25 celdas de 24 de las 600 celdas contiene exactamente un vértice de cada gran pentágono. ^[9] Seis pentágonos se cruzan en cada vértice de 600 celdas, por lo que cada 24 celdas cruza los 144 grandes pentágonos.
12. Cinco celdas de 24 se encuentran en cada vértice de la pirámide icosaédrica ^[a] de las 600 celdas. Cada 24 celdas comparte no solo un vértice sino 6 vértices (uno de sus cuatro planos centrales hexagonales) con cada una de las otras cuatro 24 celdas. ^[gramo]
13. Schoute fue el primero en afirmar (hace un siglo) que hay exactamente diez formas de dividir los 120 vértices de las 600 celdas en cinco 24 celdas separadas. Las 25 24 celdas se pueden colocar en una matriz de 5 x 5 de modo que cada fila y cada columna de la matriz divida los 120 vértices de las 600 celdas en cinco 24 celdas disjuntas. Las filas y columnas de la matriz son las únicas diez particiones de este tipo de 600 celdas. ^[18]
14. Las 600 celdas contienen 25 celdas distintas de 24, unidas entre sí por anillos pentagonales. Cada pentágono une cinco celdas ^[j] de 24 celdas completamente separadas, cuyos vértices colectivos son los 120 vértices de las 600 celdas. Cada 24 celdas de 24 puntos contiene una quinta parte de todos los vértices de las 600 celdas de 120 puntos, y está vinculado a los otros 96 vértices (que componen un desaire de 24 celdas) por los 144 pentágonos de las 600 celdas. Cada una de las 25 24 celdas cruza cada uno de los 144 grandes pentágonos en un solo vértice. ^[k] Cinco celdas de 24 se encuentran en cada vértice de 600 celdas, ^[l] por lo que las 25 celdas de 24 están unidas por cada gran pentágono. Las 600 celdas se pueden dividir en cinco 24 celdas disjuntas (10 formas diferentes), ^[m] y también en 24 pentágonos disjuntos (inscritos en los 12 grandes decágonos paralelos de Clifford de una de las 6 fibraciones decagonales) eligiendo un pentágono de la misma fibración en cada vértice de 24 celdas.
15. En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomarlos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 más (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte eje con 4 de los demás, y es completamente ortogonal a sólo uno de los demás: el único con el que no comparte eje. Así, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se cruzan sólo en el origen; xz y wy se cruzan sólo en el origen; yz y wx se cruzan sólo en el origen.
16. Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se llaman completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se cruzan en un solo punto O, de modo que si una línea en A se cruza con una línea en B, se cruzan en O. A y B son perpendiculares y paralelos a Clifford . ^[o]
17. Los ángulos 𝜉 _i y 𝜉 _j son ángulos de rotación en los dos planos invariantes ^[p] completamente ortogonales que caracterizan las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . El ángulo 𝜂 es la inclinación de ambos planos desde el eje polar, donde 𝜂 varía de 0 a𝜋/2. Las coordenadas (𝜉 _i , 0, 𝜉 _j ) describen los círculos máximos que se cruzan en los polos norte y sur ("líneas de longitud"). El (𝜉 _i ,𝜋/2, 𝜉 _j ) las coordenadas describen los círculos máximos ortogonales a la longitud ("ecuadores"); hay más de un gran círculo "ecualario" en un politopo de 4, ya que el ecuador de una esfera de 3 es un círculo máximo de 2 esferas completo. Las otras coordenadas de Hopf (𝜉 _i , 0 < 𝜂 <𝜋/2, 𝜉 _j ) describen los círculos máximos ( no "líneas de latitud") que cruzan un ecuador pero no pasan por el polo norte o sur.
18. La conversión de coordenadas de Hopf (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) a coordenadas cartesianas de radio unitario (w, x, y, z) es:
    

    w = cos 𝜉 _i sen 𝜂

    x = cos 𝜉 _j cos 𝜂

    y = sen 𝜉 _j cos 𝜂

    z = sen 𝜉 _i sen 𝜂

    El polo de origen de Hopf (0, 0, 0) es cartesiano (0, 1, 0, 0). El "polo norte" convencional de la orientación estándar cartesiana es (0, 0, 1, 0), que es Hopf (𝜋/2,𝜋/2,𝜋/2). Cartesiano (1, 0, 0, 0) es Hopf (0,𝜋/2, 0).
19. Las coordenadas de Hopf ^[10] son ​​triples de tres ángulos:

    (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j )

    que parametrizan las 3 esferas numerando puntos a lo largo de sus círculos máximos. Una coordenada de Hopf describe un punto como una rotación desde un punto polar (0, 0, 0). ^[q] Las coordenadas de Hopf son una alternativa natural a las coordenadas cartesianas ^[r] para enmarcar 4 politopos convexos regulares, porque el grupo de rotaciones de 4 dimensiones , denotado SO(4), genera esos politopos.
20. Hay 600 permutaciones de estas coordenadas, pero solo hay 120 vértices en las 600 celdas. Estas son en realidad las coordenadas de Hopf de los vértices de las 120 celdas , que tienen 600 vértices y pueden verse (de dos maneras diferentes) como un compuesto de 5 600 celdas disjuntas.
21. Los acordes dorados de raíz fraccionaria son fracciones irracionales que son funciones de √ 5 . Ejemplifican que la proporción áurea φ =1 + √ 5/2≈ 1,618 es una razón circular relacionada con 𝜋 : ^[17]
    

    𝜋/5= arccos (φ/2)

    es una arista decágono, la cuerda 𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0.382~ ≈ 0.618. Recíprocamente, en esta función descubierta por Robert Everest que expresa φ en función de 𝜋 y los números 1, 2, 3 y 5 de la serie de Fibonacci:
    

    φ = 1 – 2 porque (3𝜋/5)

    3𝜋/5es la longitud del arco de la cuerda φ = √ 2.𝚽 = √ 2.618~ ≈ 1.618.
22. Las aristas de 600 celdas son aristas decágonas de longitud √ 0.𝚫 , que es 𝚽, la sección áurea más pequeña de √ 5 ; los bordes están en la proporción áurea inversa 1/φa las cuerdas hexagonales √ 1 (los bordes de 24 celdas). Los otros acordes de raíz fraccionaria también exhiben relaciones áureas. La cuerda de longitud √ 1.𝚫 es una arista del pentágono. La siguiente cuerda de raíz fraccionaria es una diagonal de decágono de longitud √ 2.𝚽 , que es φ , la sección áurea más grande de √ 5 ; está en la proporción áurea ^[u] con respecto a la cuerda √ 1 (y el radio). ^[y] La última cuerda de raíz fraccionaria es la diagonal del pentágono de longitud √ 3.𝚽 . La diagonal de un pentágono regular siempre está en la proporción áurea con respecto a su arista y, de hecho, φ √ 1.𝚫 es √ 3.𝚽 .
23. El radio largo (del centro al vértice) de las 600 celdas está en la proporción áurea con respecto a la longitud de su borde; por lo tanto, su radio es φ si la longitud de su borde es 1 y la longitud de su borde es1/φsi su radio es 1. Sólo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluido el de cuatro dimensiones de 600 celdas, el icosidodecaedro tridimensional y el decágono bidimensional . (El icosidodecaedro es la sección transversal ecuatorial de las 600 celdas, y el decágono es la sección transversal ecuatorial del icosidodecaedro). Los politopos radialmente dorados son aquellos que se pueden construir, con sus radios, a partir de triángulos dorados ^[ab] que se encuentran en el centro, cada uno aportando dos radios y una arista.
24. Las raíces cuadradas fraccionarias se dan como fracciones decimales donde:
           𝚽 ≈ 0.618 es la proporción áurea inversa        𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0.382 Por ejemplo:        𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0.382~ ≈ 0.618 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}}$
    
    
    
25. Observe en el diagrama cómo la cuerda φ (la sección áurea más grande ) se suma con el borde 𝚽 adyacente (la sección áurea más pequeña ) para √ 5 , como si juntos fueran una cuerda √ 5 doblada para encajar dentro del diámetro √ 4 .
26. Considere una de las 24 celdas de 24 vértices inscritas en las 600 celdas de 120 vértices. Los otros 96 vértices constituyen un desaire de 24 celdas . Quitar cualquiera de las 24 celdas de las 600 celdas produce un desaire de 24 celdas.
27. Cada celda tetraédrica toca, de alguna manera, otras 56 celdas. Una celda hace contacto con cada una de las cuatro caras; dos celdas contactan cada uno de los seis bordes, pero no una cara; y diez celdas contactan cada uno de los cuatro vértices, pero no una cara o un borde.
28. Un triángulo áureo es un triángulo isósceles en el que el lado duplicado a está en la proporción áurea con respecto al lado distinto b :

    a/b= ϕ =1 + √ 5/2≈ 1,618

    Se puede encontrar en un decágono regular conectando dos vértices adyacentes cualesquiera al centro, y en un pentágono regular conectando dos vértices adyacentes cualesquiera al vértice opuesto a ellos.
    El ángulo del vértice es:

    𝛉 = arcocos(φ/2) =𝜋/5= 36°

    entonces los ángulos de la base son cada uno2𝜋/5= 72°. El triángulo dorado se identifica únicamente como el único triángulo que tiene sus tres ángulos en proporciones 2:2:1.
29. Comenzando con las 16 celdas, cada 4 politopo convexo regular en la secuencia de radio unitario está inscrito en su sucesor. ^[5] Por lo tanto, el sucesor puede construirse colocando 4-pirámides de algún tipo en las celdas de su predecesor. Entre las 16 celdas y el teseracto, tenemos 16 pirámides tetraédricas rectas , con sus vértices llenando las esquinas del teseracto. Entre el teseracto y el de 24 celdas, tenemos 8 pirámides cúbicas canónicas . Pero si colocamos 24 pirámides octaédricas canónicas en las 24 celdas, solo obtenemos otro teseracto (del doble de radio y longitud de arista), no el sucesor de 600 celdas. Entre las 24 celdas y las 600 celdas debe haber 24 4 pirámides irregulares más pequeñas sobre una base octaédrica regular.
30. Los seis grandes decágonos que pasan por cada celda tetraédrica a lo largo de sus bordes no se cruzan entre sí, porque no todos los 6 bordes del tetraedro comparten un vértice. Cada decágono intersecta a cuatro de los demás (a 60 grados), pero pasa por alto uno de los otros cuando pasan uno junto al otro (a 90 grados) a lo largo de los bordes oblicuos opuestos y perpendiculares del tetraedro. Cada tetraedro une tres pares de decágonos que no se cruzan en un vértice del tetraedro. Sin embargo, ninguno de los seis decágonos es paralelo a Clifford; ^[ag] cada uno pertenece a un haz de fibras de Hopf diferente de 12. Sólo uno de los seis bordes del tetraedro puede ser parte de una hélice en cualquier anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter. ^[ae] Por cierto, esta nota a pie de página es una de un tetraedro de cuatro notas a pie de página sobre los decágonos paralelos de Clifford ^[af] que hacen referencia entre sí.
31. Dado que los tetraedros ^[ad] no tienen caras opuestas, la única forma de apilarlos cara a cara en línea recta es en forma de una cadena retorcida llamada hélice de Boerdijk-Coxeter . Esta es una triple hélice paralela ^[ag] de Clifford , como se muestra en la ilustración. En las 600 celdas las encontramos dobladas en la cuarta dimensión formando anillos geodésicos. Cada anillo tiene 30 celdas y toca 30 vértices. Cada una de las celdas está unida por la cara a dos celdas adyacentes, pero uno de los seis bordes de cada tetraedro pertenece solo a esa celda, y estos 30 bordes forman 3 grandes decágonos paralelos de Clifford que giran en espiral entre sí. ^[af] 5 anillos de 30 células se encuentran en cada decágono y forman espirales alrededor de él (ya que 5 tetraedros se encuentran en cada borde). Un haz de 20 de estos anillos de células disjuntas llena las 600 células completas, constituyendo así una fibración de Hopf discreta . Hay 6 fibraciones de Hopf distintas, que cubren el mismo espacio pero se ejecutan en diferentes "direcciones".
32. Dos grandes decágonos paralelos de Clifford ^[ag] no se cruzan, pero sus vértices correspondientes están unidos por un borde de otro decágono. Los dos decágonos paralelos y los diez bordes de unión forman un anillo de doble hélice. Tres decágonos también pueden ser paralelos (los decágonos vienen en haces de fibras paralelas de 12) y tres de ellos pueden formar un anillo de triple hélice. Si el anillo se corta y se coloca plano en 3 espacios, es una hélice de Boerdijk-Coxeter ^{[ae] de} 30 tetraedros ^[ad] de largo. Los tres decágonos paralelos de Clifford pueden verse como los bordes cian en la ilustración de la triple hélice. Cada borde magenta es un borde de otro decágono que une dos decágonos paralelos.

33. 

    Dos grandes círculos paralelos de Clifford atravesados ​​por un anillo retorcido .

    Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se cruzan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. Una doble hélice es un ejemplo del paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En los 4 espacios, los paralelos de Clifford ocurren como grandes círculos geodésicos en las 3 esferas . ^[20] Mientras que en el espacio tridimensional, dos grandes círculos geodésicos cualesquiera en la 2 esfera siempre se cruzarán en dos puntos antípodas, en el espacio de 4 dimensiones no todos los círculos máximos se cruzan; En las 3 esferas se pueden encontrar varios conjuntos de grandes círculos geodésicos paralelos de Clifford que no se cruzan. Se enrollan entre sí en haces de fibras de Hopf que, en las 600 celdas, visitan los 120 vértices solo una vez. Por ejemplo, cada uno de los 600 tetraedros participa en 6 grandes decágonos ^[ad] que pertenecen a 6 fibraciones de Hopf discretas , cada una de las cuales llena las 600 celdas completas. Cada fibración es un haz de 12 decágonos paralelos de Clifford que forman 20 anillos entrelazados de 30 células tetraédricas, ^[ae] cada uno delimitado por tres de los 12 grandes decágonos. ^[af]
34. Los 10 hexágonos que se cruzan en cada vértice se encuentran a lo largo de los 20 radios cortos de la figura del vértice icosaédrico. ^[a]
35. Las 25 celdas inscritas tienen cada una 3 teseractos inscritos, cada uno de los cuales tiene 8 √ 1 celdas cúbicas. Las 1200 √ 3 cuerdas son los 4 diámetros largos de estos 600 cubos. Los tres teseractos en cada 24 celdas se superponen, y cada cuerda √ 3 es un diámetro largo de dos cubos diferentes, en dos teseractos diferentes, en dos 24 celdas diferentes. Cada cubo pertenece a un solo teseracto en solo 24 celdas.
36. La suma de 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 es 14,400.
37. La suma de las longitudes al cuadrado de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. ^[25]
38. Un triacontagon o 30 gon es un polígono de treinta lados. El triacontagono es el polígono regular más grande cuyo ángulo interior es la suma de los ángulos interiores de polígonos más pequeños: 168° es la suma de los ángulos interiores del triángulo equilátero (60°) y el pentágono regular (108°).
39. El de 600 celdas tiene 72 grandes 30 gons: 6 conjuntos de 12 planos centrales paralelos de Clifford de 30 gons, cada uno completamente ortogonal a un plano central decágono. A diferencia de los círculos máximos de las 600 celdas de radio unitario que pasan por sus vértices, este 30 gon no es en realidad un círculo máximo de las 3 esferas de radio unitario. Debido a que pasa por los centros de las caras en lugar de por los vértices, tiene un radio más corto y se encuentra en una triesfera más pequeña. Por supuesto, también hay un círculo máximo de radio unitario en este plano central completamente ortogonal a un plano central decágono, pero como polígono de círculo máximo es un góno 0, no un góno 30, porque no intersecta ninguno de los puntos. de las 600 celdas. En las 600 celdas, el polígono del círculo máximo completamente ortogonal a cada gran decágono es un góno 0.
40. Los 30 vértices y los 30 bordes del anillo de 30 celdas se encuentran en un polígono estrella sesgado {30/11} con un número de devanado de 11 llamado triacontagrama 11 , una hélice en forma de sacacorchos apretada y continua doblada en un bucle de 30 bordes (el bordes magenta en la ilustración de la triple hélice), que se enrolla 11 veces sobre sí misma en el transcurso de una sola revolución alrededor del anillo de 600 celdas, acompañada por un único giro de 360 ​​grados del anillo de 30 celdas. ^[31] El mismo anillo de 30 celdas también se puede caracterizar como el polígono de Petrie de 600 celdas. ^[cd]
41. Cada plano central del gran decágono es completamente ortogonal ^[p] a un gran plano central de 30 gónos ^[al] que no cruza ningún vértice de las 600 celdas. Cada uno de los 72 30 gons es el eje central de un anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas, ^[ae] y cada segmento del 30 gon pasa a través de un tetraedro de manera similar. El gran círculo de 30 gónes reside completamente en la superficie tridimensional curva de sus 3 esferas; ^[soy] sus segmentos curvos no son cuerdas. No toca ninguna arista ni vértice, pero sí toca las caras. Es el eje central de una espiral sesgada de 30 gramos, el polígono de Petrie de 600 celdas que une los 30 vértices de la hélice Boerdijk-Coxeter de 30 celdas, con tres de sus bordes en cada celda. ^[un]
42. Un punto bajo rotación isoclínica atraviesa la línea recta diagonal ^[cs] de una única geodésica isoclínica , llegando a su destino directamente, en lugar de la línea doblada de dos geodésicas simples sucesivas . Una geodésica es el camino más corto a través de un espacio (intuitivamente, se tira de una cuerda entre dos puntos). Las geodésicas simples son círculos máximos que se encuentran en un plano central (el único tipo de geodésicas que ocurren en 3 espacios en 2 esferas). Las geodésicas isoclínicas son diferentes: no se encuentran en un solo plano; son espirales de 4 dimensiones en lugar de simples círculos de 2 dimensiones. ^{[bf] Pero tampoco son como} roscas tridimensionales , porque forman un bucle cerrado como cualquier círculo. ^[ct] Las geodésicas isoclínicas son círculos máximos de 4 dimensiones , y son tan circulares como los círculos de 2 dimensiones: de hecho, dos veces más circulares, porque se curvan en un círculo en dos direcciones completamente ortogonales a la vez. ^[cf] Son círculos verdaderos, ^[cn] e incluso forman fibraciones como los grandes círculos bidimensionales ordinarios. Estas isoclinas son líneas geodésicas unidimensionales incrustadas en un espacio de 4 dimensiones. En las 3 esferas ^[cu] siempre ocurren en pares quirales como círculos de Villarceau en el toro de Clifford , ^[cx] los caminos geodésicos atravesados ​​por los vértices en una rotación isoclínica . Son hélices dobladas en un bucle de Möbius en la cuarta dimensión, tomando una ruta sinuosa diagonal alrededor de las 3 esferas a través de los vértices no adyacentes de un polígono de Clifford sesgado de 4 politopos . ^[cw]
43. En 4 espacios, no más de 4 círculos máximos pueden ser paralelos a Clifford ^[ag] y todos estar separados por la misma distancia angular. ^[27] Dichos planos centrales son mutuamente isoclínicos : cada par de planos está separado por dos ángulos iguales , y una rotación isoclínica de ese ángulo los unirá. Cuando tres o cuatro de estos planos están separados por el mismo ángulo, se denominan equiisoclínicos .
44. Los planos decagonales en las 600 celdas ocurren en grupos equiisoclínicos ^[aq] de 3, en todas partes 3 decágonos paralelos de Clifford 36 ° (𝝅/5) aparte forman un anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 células. ^[ae] También Clifford paralelo a esos 3 decágonos son 3 decágonos equiisoclínicos de 72° (2𝝅/5) de distancia, 3 108° (3𝝅/5) de distancia, y 3 144° (4𝝅/5) aparte, para un total de 12 decágonos paralelos de Clifford (120 vértices) que componen una fibración de Hopf discreta. Debido a que los grandes decágonos se encuentran en planos isoclínicos separados por dos ángulos iguales, sus vértices correspondientes están separados por un vector combinado relativo a ambos ángulos. Los vectores en 4 espacios pueden combinarse mediante multiplicación cuaterniónica , descubierta por Hamilton . ^[28] Los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que miden 36° (𝝅/5) separados por rotación isoclínica están a 60° (𝝅/3) separados en 4 espacios. Los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que miden 108° (3𝝅/5) separados por rotación isoclínica también son 60° (𝝅/3) separados en 4 espacios. Los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que miden 72° (2𝝅/5) separados por rotación isoclínica son 120° (2𝝅/3) separados en 4 espacios, y los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que tienen 144° (4𝝅/5) separados por rotación isoclínica también son 120° (2𝝅/3) separados en 4 espacios.
45. Los planos hexagonales en las 600 celdas ocurren en grupos equiisoclínicos ^[aq] de 4, en todas partes 4 hexágonos paralelos de Clifford de 60 ° (𝝅/3) aparte forman un 24 celdas. También Clifford paralelo a esos 4 hexágonos son 4 hexágonos equiisoclínicos de 36° (𝝅/5) de distancia, 4 72° (2𝝅/5) de distancia, 4 108° (3𝝅/5) de distancia, y 4 144° (4𝝅/5) aparte, para un total de 20 hexágonos paralelos de Clifford (120 vértices) que componen una fibración de Hopf discreta.
46. Los planos cuadrados en las 600 celdas ocurren en grupos equiisoclínicos ^[aq] de 2, en todas partes 2 cuadrados paralelos de Clifford de 90 ° (𝝅/2) aparte forman un módulo de 16 celdas. Además, Clifford paralelo a esos 2 cuadrados hay 4 grupos equiisoclínicos de 4, donde 3 Clifford paralelos de 16 celdas a 60 ° (𝝅/3) aparte forman un 24 celdas. También el paralelo de Clifford son 4 grupos equiisoclínicos de 3: 3 36° (𝝅/5) de distancia, 3 72° (2𝝅/5) de distancia, 3 108° (3𝝅/5) de distancia, y 3 144° (4𝝅/5) aparte, para un total de 30 cuadrados paralelos de Clifford (120 vértices) que componen una fibración de Hopf discreta.
47. Se requieren dos ángulos para fijar las posiciones relativas de dos planos en 4 espacios. ^[26] Dado que todos los planos en el mismo hiperplano están separados por 0 grados en uno de los dos ángulos, solo se requiere un ángulo en el espacio tridimensional. Los grandes decágonos son múltiplos (de 0 a 4) de 36° (𝝅/5) separados en cada ángulo, y pueden estar separados por el mismo ángulo en ambos ángulos. ^[ar] Los grandes hexágonos pueden tener 60° (𝝅/3) separados en uno o ambos ángulos, y puede ser un múltiplo (de 0 a 4) de 36° (𝝅/5) separados en uno o ambos ángulos. ^[como] Los grandes cuadrados pueden tener 90° (𝝅/2) separados en uno o ambos ángulos, pueden ser 60° (𝝅/3) separados en uno o ambos ángulos, y puede ser un múltiplo (de 0 a 4) de 36° (𝝅/5) separados en uno o ambos ángulos. ^[en] Los planos que están separados por dos ángulos iguales se llaman isoclínicos . ^[aq] Los planos que son isoclínicos tienen círculos máximos paralelos a Clifford . ^[ag] Un gran hexágono y un gran decágono pueden ser isoclínicos, pero lo más frecuente es que estén separados por una𝝅/3(60°) y un múltiplo (de 1 a 4) de𝝅/5(36°) ángulo.
48. En las 24 celdas, cada gran plano cuadrado es completamente ortogonal ^[p] a otro gran plano cuadrado, y cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que cruza solo dos vértices antípodas: un gran plano digon .
49. Cada fibración de Hopf de las 3 esferas en fibras del gran círculo paralelo de Clifford tiene un mapa (llamado base ) que es una 2 esfera ordinaria . ^[39] En este mapa, cada fibra del gran círculo aparece como un solo punto. La base de una fibración del gran decágono de 600 celdas es el icosaedro , en el que cada vértice representa uno de los 12 grandes decágonos. ^[21] Para un topólogo, la base no es necesariamente una parte de lo que mapea: no se espera que el icosaedro base sea una celda o una característica interior de las 600 celdas, es simplemente la esfera dimensionalmente análoga, ^[b] útil para razonar sobre la fibración. Pero, de hecho, las 600 celdas tienen icosaedros: 120 figuras de vértices icosaédricos , ^[a] cualquiera de las cuales puede verse como su base: un modelo tridimensional a escala 1:10 de las 600 celdas de 4 dimensiones. Cada icosaedro de vértice tridimensional se eleva a las 600 celdas de 4 dimensiones mediante una rotación isoclínica de 720 grados , ^[ap] que toma cada una de sus 4 caras triangulares disjuntas en un circuito alrededor de uno de los 4 anillos disjuntos de 30 vértices de 30 tetraedros. celdas (cada una trenzada de 3 grandes decágonos paralelos de Clifford), y así visita los 120 vértices de las 600 celdas. Dado que los 12 grandes círculos decagonales (de los 4 anillos) son decágonos paralelos de Clifford de la misma fibración, podemos ver geométricamente cómo el icosaedro funciona como un mapa de una fibración de Hopf de las 600 celdas completas, y cómo la fibración de Hopf es un Expresión de una simetría isoclínica . ^[40]
50. El sesgo regular de 30 gon es el polígono de Petrie de 600 celdas y su dual el de 120 celdas . Los polígonos de Petrie de las 120 celdas ocurren en las 600 celdas como duales de los anillos de hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas: conectar sus centros de 30 celdas produce los polígonos de Petrie de las 120 celdas duales, como lo notó Rolfdieter Frank ( alrededor de 2001). Así descubrió que el conjunto de vértices de las 120 celdas se divide en 20 polígonos de Petrie que no se cruzan. Este conjunto de 20 polígonos sesgados paralelos de Clifford disjuntos es una fibración de Hopf discreta de 120 celdas (al igual que sus 20 anillos duales de 30 celdas son una fibración discreta de 600 celdas).
51. Estas son las √ 2 celdas tetraédricas de las 75 celdas inscritas, no las √ 0.𝚫 celdas tetraédricas de las 600 celdas.
52. ‟Los polígonos de Petrie del sólido platónico corresponden a polígonos ecuatoriales del truncamiento y a ecuadores de la teselación esférica simplemente subdividida . Esta " subdivisión simplista " es la disposición de triángulos esféricos rectángulos en los que la esfera se descompone según los planos de simetría del sólido. Los grandes círculos que se encuentran en estos planos se llamaban antiguamente "ejes de simetría", pero quizás un nombre más llamativo es el de círculos reflectantes . La subdivisión simplicial análoga del panal esférico consiste en los tetraedros 0123 en los que los hiperplanos de simetría del politopo descomponen una hiperesfera (en el espacio 4 euclidiano) . Las grandes esferas que se encuentran en estos hiperplanos se denominan naturalmente esferas reflectantes . Dado que el ortosquema no tiene ángulos obtusos, contiene en su totalidad el arco que mide la distancia absolutamente más corta 𝝅/ h [entre los] 2 h tetraedros [que] están ensartados como cuentas en un collar, o como un "anillo giratorio de tetraedros". .. cuyos bordes opuestos son generadores de un helicoidal. Los dos bordes opuestos de cada tetraedro están relacionados por un desplazamiento de tornillo. ^[bo] Por lo tanto, el número total de esferas es 2 h .” ^[63] ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{{\tfrac {p}{q}}\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q,r}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$
53. Los anillos de células paralelas de Clifford de la fibración pueden ser o no objetos quirales , dependiendo de si las células del 4 politopo tienen caras opuestas o no. Los anillos celulares característicos de los modelos de 16 y 600 celdas (con celdas tetraédricas) son quirales: se giran en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj. Las isoclinas que actúan con quiralidad izquierda o derecha (no ambas) discurren a través de anillos celulares de este tipo, aunque cada fibración contiene anillos celulares izquierdo y derecho. ^[dm] Los anillos celulares característicos del teseracto, de 24 y 120 celdas (con celdas cúbicas, octaédricas y dodecaédricas respectivamente) son directamente congruentes, no quirales: solo hay un tipo de anillo celular característico en cada uno de estos 4 -politopos, y no está torcido (no tiene torsión ). A lo largo de este tipo de anillos celulares discurren pares de isoclinas diestras y zurdas. Tenga en cuenta que todos estos 4 politopos (excepto el de 16 celdas) contienen fibraciones de los anillos celulares característicos de sus predecesores inscritos además de sus propias fibraciones características, por lo que las 600 celdas contienen anillos celulares tanto quirales como directamente congruentes.
54. La elección de una partición de un politopo regular de 4 en anillos de celdas es arbitraria, porque todas sus celdas son idénticas. No se distingue ninguna fibración particular, a menos que el politopo 4 esté rotando. En las rotaciones isoclínicas, un conjunto de anillos de células (una fibración) se distingue como el contenedor único de ese par distinto de rotaciones izquierda-derecha y sus isoclinas.
55. La única forma de dividir los 120 vértices de las 600 celdas en 4 anillos de 30 vértices y 30 celdas completamente separados ^[ae] es dividiendo cada una de las 15 16 celdas completamente separadas de manera similar en 4 partes simétricas: 4 vértices antípodas pares que se encuentran en los 4 ejes ortogonales de las 16 celdas. Las 600 celdas contienen 75 16 celdas distintas que se pueden dividir en conjuntos de 15 16 celdas completamente separadas. En cualquier conjunto de 4 anillos de 30 celdas completamente separados, hay un conjunto de 15 anillos de 16 celdas completamente separados, con un eje de cada 16 celdas en cada anillo de 30 celdas.
56. A diferencia de sus decágonos delimitadores, los anillos de 20 celdas en sí no son todos paralelos a Clifford entre sí, porque sólo los politopos completamente separados son paralelos a Clifford. ^[j] Los 20 anillos de células tienen 5 subconjuntos diferentes de 4 anillos de células paralelas de Clifford. Cada anillo de celdas está delimitado por 3 grandes decágonos paralelos de Clifford, por lo que cada subconjunto de 4 anillos de celdas paralelos de Clifford está delimitado por un total de 12 grandes decágonos paralelos de Clifford (una fibración de Hopf discreta). De hecho, cada uno de los 5 subconjuntos diferentes de 4 anillos de células está delimitado por los mismos 12 grandes decágonos paralelos de Clifford (la misma fibración de Hopf); Hay 5 formas diferentes de ver los mismos 12 decágonos como un conjunto de 4 anillos de celdas (y de manera equivalente, solo una forma de verlos como un único conjunto de 20 anillos de celdas).
57. Tenga en cuenta que las hélices de las células de diferentes colores son diferentes anillos de células (o agujeros en forma de anillo) en la misma fibración, no las diferentes fibraciones del 4 politopo. Cada fibración es el 4 politopo completo.
58. En una doble rotación se puede decir que cada vértice se mueve a lo largo de dos grandes círculos completamente ortogonales al mismo tiempo, pero no permanece dentro del plano central de ninguno de esos grandes círculos originales; más bien, se mueve a lo largo de una geodésica helicoidal que atraviesa diagonalmente entre grandes círculos. Se dice que los dos planos de rotación completamente ortogonales son invariantes porque los puntos de cada uno permanecen en sus lugares en el plano a medida que éste se mueve , girando e inclinándose hacia los lados según el ángulo en que gira el otro plano.
59. Los polos del eje invariante de una 2 esfera giratoria son dimensionalmente análogos al par de planos invariantes de una 3 esfera giratoria. Los polos de la 2 esfera giratoria son dimensionalmente análogos a los grandes círculos vinculados en la 3 esfera. Por analogía dimensional, cada punto 1D en 3D se eleva a una línea 2D en 4D, en este caso un círculo. ^[aw] Los dos polos de rotación antípodas se elevan hasta formar un par de fibras circulares de Hopf que no son simplemente paralelas a Clifford y están interconectadas, ^[ag] sino que también son completamente ortogonales. ^[p] Los grandes círculos invariantes de la rotación 4D son sus polos. En el caso de una rotación isoclínica, no existe simplemente un par de polos 2D (fibras del gran círculo de Hopf completamente ortogonales), sino que existen muchos pares de este tipo: un número finito de pares de círculos si la fibración de 3 esferas es discreta (por ejemplo, un politopo regular con un número finito de vértices), o bien un número infinito de pares de círculos ortogonales, llenando por completo las 3 esferas. Cada punto en el espacio tridimensional curvo de las 3 esferas se encuentra en uno de esos círculos (nunca en dos, ya que los círculos completamente ortogonales, como todas las fibras del gran círculo de Hopf paralelo a Clifford, no se cruzan). Mientras que una rotación 2D tiene un polo y una rotación 3D de una 2 esferas tiene 2 polos, una rotación isoclínica 4D de una 3 esferas no tiene más que polos , un número infinito de ellos. En un 4 politopo discreto, todos los grandes polígonos de rotación invariantes paralelos de Clifford son polos y llenan el 4 politopo, pasando por cada vértice solo una vez. En una revolución completa de tal rotación, cada punto en el espacio recorre exactamente una vez su círculo polar. ^[dl] Los círculos están dispuestos con una simetría sorprendente, de modo que cada círculo polar se une con todos los demás círculos polares , como una tela de cota de malla 4D de máxima densidad en la que todos los círculos están unidos entre sí, pero no hay dos círculos. alguna vez se cruzan.
60. Las 4 caras rojas del tetraedro chato corresponden a los 4 anillos de células completamente separados de la construcción dispersa de la fibración (su subfibración ). Las caras rojas están centradas en los vértices de un tetraedro inscrito y se encuentran en el centro de las caras más grandes de un tetraedro inscrito.
61. Debido a que el octaedro se puede truncar para producir un icosaedro, ^[45] otro nombre para el icosaedro es octaedro chato . Este término se refiere específicamente a una disposición de menor simetría de las caras del icosaedro (con 8 caras de un color y 12 de otro).
62. Las 600 celdas de 120 puntos tienen 120 pirámides icosaédricas superpuestas. ^[a]
63. El icosaedro no es radialmente equilátero en el espacio tridimensional euclidiano, pero una pirámide icosaédrica es radialmente equilátera en el espacio tridimensional curvo de la superficie de 600 celdas (las 3 esferas ). En el 4-espacio, las 12 aristas que irradian desde su vértice no son en realidad sus radios: el vértice de la pirámide icosaédrica no es en realidad su centro, solo uno de sus vértices. Pero en el espacio tridimensional curvo, los bordes que irradian simétricamente desde el vértice son radios, por lo que el icosaedro es radialmente equilátero en ese espacio tridimensional curvo . En el espacio cuádruple euclidiano, 24 aristas que irradian simétricamente desde un punto central forman el teseracto radialmente equilátero de 24 celdas , y un subconjunto simétrico de 16 de esas aristas forman el teseracto radialmente equilátero .
64. Un borde de icosaedro entre dos caras azules está rodeado por dos celdas piramidales icosaédricas de caras azules y 3 celdas de un grupo adyacente de 5 celdas (una de las cuales es el tetraedro central de las cinco)
65. Las pirámides pentagonales alrededor de cada vértice del icosaedro " octaedro chato " tienen todas el mismo aspecto, con dos caras amarillas y tres azules. Cada pentágono tiene cinco orientaciones de rotación distintas. Al girar cualquier pirámide pentagonal, se rotan todas, por lo que las cinco posiciones de rotación son las únicas cinco formas diferentes de organizar los colores.
66. Observe que la contracción es quiral, ya que hay dos opciones de diagonal para comenzar a doblar las caras cuadradas.
67. Sea Q una rotación, R una reflexión, T una traslación, y sea Q ^q R ^r T un producto de varias de estas transformaciones, todas conmutativas entre sí. Entonces RT es una reflexión de deslizamiento (en dos o tres dimensiones), QR es una reflexión rotativa, QT es un desplazamiento de tornillo y Q ² es una rotación doble (en cuatro dimensiones). Cada transformación ortogonal se puede expresar como
                Q ^q R ^r
    donde 2 q + r ≤ n , el número de dimensiones. Las transformaciones que involucran una traducción se pueden expresar como
                Q ^q R ^r T
    donde 2 q + r + 1 ≤ n .
    Para n = 4 en particular, cada desplazamiento es una doble rotación Q ² o un desplazamiento de tornillo QT (donde el componente de rotación Q es una rotación simple). [Si asumimos el principio galileano de la relatividad , cada desplazamiento en el 4-espacio puede verse como cualquiera de esos, porque podemos ver cualquier QT como un Q ² en un marco de referencia que se mueve linealmente (traslativo). Por lo tanto, cualquier transformación de un sistema de referencia inercial a otro se puede expresar como Q ² . Por el mismo principio, podemos ver cualquier QT o Q ^{2 como un Q 2} isoclínico (equiángulo) mediante la elección adecuada del marco de referencia. ^[cp] Es decir, la relación de Coxeter es una declaración matemática del principio de relatividad, sobre bases de teoría de grupos.] Cada transformación enantiomorfa en el 4-espacio (quiralidad invertida) es un QRT. ^[66]
68. Estas transformaciones no se encuentran entre las transformaciones ortogonales de los grupos de Coxeter generadas por reflexiones. ^[bo] Son transformaciones del grupo de simetría 3D piritoédrico , el único grupo de puntos poliédricos que no es ni un grupo de rotación ni un grupo de reflexión. ^[50]
69. Hay un icosaedro de vértice ^[a] dentro de cada sección central octaédrica de 24 celdas (no dentro de una celda octaédrica de √ 1 , sino en el octaedro √ 2 más grande que se encuentra en un hiperplano central), y un icosaedro más grande dentro de cada celda de 24 celdas cuboctaedro. Los dos icosaedros de diferentes tamaños son la segunda y cuarta secciones de las 600 celdas (comenzando con un vértice). El octaedro y el cuboctaedro son las secciones centrales de las 24 celdas (comenzando con un vértice y comenzando con una celda, respectivamente). ^[47] El cuboctaedro, el icosaedro grande, el octaedro y el icosaedro pequeño anidan como muñecas rusas y están relacionados por una contracción helicoidal. ^[48] ​​La contracción comienza con las caras cuadradas del cuboctaedro doblándose hacia adentro a lo largo de sus diagonales para formar pares de triángulos. ^[bn] Los 12 vértices del cuboctaedro se mueven uno hacia el otro hasta los puntos donde forman un icosaedro regular (el icosaedro grande); se acercan ligeramente hasta formar un icosaedro de Jessen ; continúan girando en espiral uno hacia el otro hasta fusionarse en los 8 vértices del octaedro; ^[49] y continúan moviéndose por los mismos caminos helicoidales, separándose nuevamente en los 12 vértices del octaedro chato (el icosaedro pequeño). ^[bi] La geometría de esta secuencia de transformaciones ^[pb] en S 3 es similar a la cinemática del cuboctaedro y el icosaedro de tensegridad en R 3 . Las transformaciones retorcidas, expansivas-contractivas entre estos poliedros fueron denominadas transformaciones Jitterbug por Buckminster Fuller . ^[51]
70. Estas 12 celdas están unidas por los bordes a la celda central, por las caras exteriores del grupo de 5 y por las caras entre sí en pares. Son células de cara azul en las 6 pirámides icosaédricas diferentes que rodean el grupo de 5.
71. El tetraedro √ 1 tiene un volumen de 9 √ 0.𝚫 celdas tetraédricas. En el volumen tridimensional curvo de las 600 celdas, encierra el grupo de 5 celdas, que no lo llenan por completo. Las 6 bipirámides (12 celdas) que encajan en las concavidades del grupo de 5 celdas lo llenan en exceso: sólo un tercio de cada bipirámide se encuentra dentro del tetraedro √ 1 . Las bipirámides aportan un tercio de cada una de las 12 células, un volumen equivalente a 4 células.
72. Las 600 celdas también contienen 600 octaedros . La primera sección de las 600 celdas que comienza con una celda es tetraédrica y la tercera sección es octaédrica. Estos octaedros internos no son celdas de las 600 celdas porque no están volumétricamente separados, pero cada uno es una celda de una de las 25 24 celdas internas. Las 600 celdas también contienen 600 cubos, cada uno de los cuales es una celda de uno de sus 75 teseractos internos de 8 celdas. ^[ai]
73. Cada √ 1 borde de la celda octaédrica es el diámetro largo de otra bipirámide tetraédrica (dos celdas tetraédricas más unidas por caras). En el de 24 celdas, tres celdas octaédricas rodean cada borde, por lo que un tercio de la bipirámide se encuentra dentro de cada octaedro, dividido entre dos caras cóncavas adyacentes. Cada cara cóncava está ocupada por una sexta parte de cada una de las tres bipirámides que rodean sus tres aristas, por lo que tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica.
74. Una celda octaédrica de √ 1 (de cualquier 24 celdas inscritas en las 600 celdas) tiene seis vértices que se encuentran todos en el mismo hiperplano: unen una sección octaédrica (una rebanada plana tridimensional) de las 600 celdas. El mismo octaedro de √ 1 lleno por 25 celdas tetraédricas tiene un total de 14 vértices que se encuentran en tres secciones tridimensionales paralelas de las 600 celdas: la sección octaédrica de √ 1 de 6 puntos, una sección tetraédrica de √ 1 de 4 puntos y una Sección tetraédrica de 4 puntos √ 0.𝚫 . En el espacio tridimensional curvo de la superficie de 600 celdas, el octaedro √ 1 rodea al tetraedro √ 1 que rodea al tetraedro √ 0.𝚫 , como tres cascos concéntricos. Este 4 politopo de 14 vértices es una pirámide de 4 con una base de octaedro regular: no una pirámide octaédrica canónica con un vértice (que tiene solo 7 vértices), sino una pirámide octaédrica truncada irregular. Debido a que su base es un octaedro regular que es una celda octaédrica de 24 celdas, esta pirámide de 4 se encuentra en la superficie de las 24 celdas.
75. El vértice de una pirámide octaédrica canónica de √ 1 se ha truncado en una celda tetraédrica regular con aristas √ 0.𝚫 más cortas , reemplazando el vértice con cuatro vértices. El truncamiento también ha creado otros cuatro vértices (dispuestos como un tetraedro √ 1 en un hiperplano entre la base octaédrica y la celda tetraédrica del vértice), y ha vinculado estos ocho nuevos vértices con aristas √ 0.𝚫 . Por lo tanto, la pirámide truncada tiene ocho vértices 'ápice' sobre el hiperplano de su base octaédrica, en lugar de solo un vértice: 14 vértices en total. La pirámide original tenía lados planos: las cinco rutas geodésicas desde cualquier vértice de la base hasta el vértice de la base opuesta corrían a lo largo de dos aristas √ 1 (y solo una de esas rutas pasaba por el único vértice). La pirámide truncada tiene lados redondeados: cinco rutas geodésicas desde cualquier vértice de la base hasta el vértice de la base opuesto discurren a lo largo de tres aristas √ 0,𝚫 (y pasan por dos 'ápices').
76. Los 4 politopos uniformes a los que más se parece este politopo irregular de 14 vértices y 25 celdas pueden ser el de 5 celdas rectificado de 10 vértices y 10 celdas y su dual (tiene características de ambos).
77. Los espacios de los anillos anulares entre los icosaedros se llenan con un anillo de 10 tetraedros unidos por caras que se encuentran en el vértice donde se encuentran los dos icosaedros. Este anillo de 10 celdas tiene la forma de un antiprisma pentagonal que ha sido ahuecado como un cuenco tanto en su parte superior como en su parte inferior, de modo que tiene un espesor cero en su centro. Este vértice central, como todos los demás vértices de las 600 celdas, es en sí mismo el vértice de una pirámide icosaédrica donde se encuentran 20 tetraedros. ^[bj] Por lo tanto, el anillo anular de 10 tetraedros es en sí mismo un anillo ecuatorial de una pirámide icosaédrica, que contiene 10 de las 20 células de su pirámide icosaédrica.
78. La superficie de 100 caras de la columna de 150 celdas de caras triangulares podría cortarse con tijeras a lo largo de un camino de 10 bordes y pelarse y colocarse plana como un paralelogramo de triángulos de 10×10.
79. Debido a que la superficie de 100 caras del toro de 150 celdas es alternativamente convexa y cóncava, 100 tetraedros se apilan en pares unidos por caras, como 50 bipirámides triangulares que comparten un vértice elevado y entierran un borde de valle anteriormente expuesto. Las bipirámides triangulares están unidas por vértices entre sí en 5 líneas paralelas de 5 bipirámides (10 tetraedros) cada una, que corren rectas hacia arriba y hacia abajo por la superficie exterior de la columna de 150 celdas.
80. 5 decágonos giran en espiral en el sentido de las agujas del reloj y 5 en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj, interseccionándose entre sí en los 50 vértices del valle.
81. El mismo cinturón de 10 caras de una pirámide icosaédrica es un anillo anular de 10 tetraedros alrededor del vértice. ^[por]
82. polígono de Petrie de 600 celdas es un triacontagono sesgado {30} . Puede verse en proyección ortogonal como la circunferencia de un triacontagrama {30/3}=3{10} hélice que zigzaguea 60° de izquierda a derecha, uniendo el espacio entre los tres grandes decágonos paralelos de Clifford del anillo de 30 celdas. . En el plano completamente ortogonal se proyecta al triacontagrama regular {30/11} . ^[59]
83. Los 30 vértices del anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter se encuentran en 3 planos centrales decagonales que se cruzan solo en un punto (el centro de las 600 celdas), aunque no son completamente ortogonales ni ortogonales en absoluto: sonπ/5aparte. ^[au] Sus grandes círculos decagonales son paralelos a Clifford: una longitud de borde de 600 celdas está separada en cada punto. ^[ag] Son círculos máximos bidimensionales ordinarios, no hélices, pero son círculos paralelos de Clifford vinculados .
84. Las geodésicas isoclínicas son círculos máximos de 4 dimensiones en el sentido de que son líneas geodésicas de 1 dimensión que se curvan en 4 espacios en dos planos completamente ortogonales a la vez. No deben confundirse con las grandes 2 esferas , ^[70] que son los análogos en 4 espacios ^[b] de los grandes círculos bidimensionales en 3 espacios (grandes 1 esferas).
85. Los 20 anillos de 30 células son objetos quirales ; forman espirales en el sentido de las agujas del reloj (derecha) o en el sentido contrario a las agujas del reloj (izquierda). El toro de 150 células (formado por cinco anillos de 30 células separados de la misma quiralidad que rodean un gran decágono) no es en sí mismo un objeto quiral, ya que puede descomponerse en cinco anillos paralelos a la izquierda o cinco anillos paralelos a la derecha. anillos entregados. A diferencia de los anillos de 20 celdas, los toros de 150 celdas son directamente congruentes sin torsión , como los anillos octaédricos de 6 celdas de los de 24 celdas . Cada gran decágono tiene cinco anillos de 30 celdas a la izquierda que lo rodean, y también cinco anillos de 30 celdas a la derecha que lo rodean; pero los anillos de 30 celdas para zurdos y diestros no están separados de células y pertenecen a diferentes rotaciones distintas: las rotaciones izquierda y derecha de la misma fibración. En cualquier rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha), los vértices de las 600 celdas se mueven a lo largo de las isoclinas axiales de 15 gramos de 20 anillos izquierdos de 30 celdas o 20 anillos derechos de 30 celdas. Así, los grandes decágonos, los anillos de 30 celdas y los toros de 150 celdas se presentan como conjuntos de círculos interconectados paralelos de Clifford, ^[ag] aunque la forma exacta en que se anidan juntos evita cruzarse entre sí y se atraviesan para formar un enlace de Hopf no es idéntico para estos tres tipos diferentes de politopos paralelos de Clifford , en parte porque los pares enlazados no tienen quiralidad inherente (los decágonos), la misma quiralidad (los anillos de 30 celdas), o no tienen torsión neta y ambos organización interior izquierda y derecha (el tori de 150 celdas) pero rastreando la misma quiralidad de organización interior en cualquier rotación distinta hacia la izquierda o hacia la derecha.
86. Un punto en el mapa del icosaedro de Hopf ^[aw] de la fibración decagonal de 600 celdas se eleva a un gran decágono; una cara triangular se eleva a un anillo de 30 celdas; y una pirámide pentagonal de 5 caras se eleva hasta formar un toro de 150 células. ^[55] En la descomposición del gran antiprisma, dos toros de 150 celdas completamente separados se levantan de pentágonos antípodas, dejando un anillo ecuatorial de 10 caras de icosaedro entre ellos: un decágono de Petrie de 10 triángulos, que se elevan a 10 anillos de 30 celdas. Los dos toros de 150 celdas completamente separados contienen 12 decágonos separados (paralelos de Clifford) y los 120 vértices, por lo que comprenden una fibración de Hopf completa; No hay espacio para más tori de 150 celdas de este tipo. Para obtener una descomposición del tori de 600 celdas en cuatro toros de 150 celdas de este tipo, el mapa icosaédrico tendría que descomponerse en cuatro pentágonos, centrados en los vértices de un tetraedro inscrito, y el icosaedro no puede descomponerse de esa manera.
87. Sadoc describe la descomposición de las 600 celdas en cuatro tori. ^[37] Es la misma fibración de 12 grandes decágonos y 20 anillos de 30 celdas, vista como una fibración de cuatro anillos de 30 celdas ^[j] completamente separados con espacios entre ellos, que aún abarca los 12 decágonos y los 120 vértices. Si observamos de cerca los espacios entre los cuatro anillos separados de 30 celdas, podemos discernir cuatro anillos de 150 celdas de 5 anillos de 30 celdas cada uno. Pero estos anillos de 150 celdas no tienen 5 anillos de 30 celdas alrededor de un eje decágono común, y 6 decágonos cada uno. Su eje es un anillo de 30 células, no un decágono, y contienen sólo 3 decágonos cada uno. Para construirlos, en cada uno de los cuatro anillos de 30 celdas completamente separados, une tres anillos más de 30 celdas a las caras exteriores, formando cuatro anillos estrellados ("con baches") que contienen cuatro anillos de 30 celdas (120 celdas) cada uno. . En conjunto contienen 16 de los 20 anillos de 30 celdas: todavía quedan cuatro "agujeros" de anillos de 30 celdas para llenar el de 600 celdas. Para hacerlo, llene algunas de las concavidades de la superficie de cada anillo de 120 tetraedros envolviendo un quinto anillo de 30 celdas alrededor de su circunferencia, completamente ortogonal al anillo axial de 30 celdas con el que comenzó. El resultado son cuatro toros de 150 celdas, de 5 anillos de 30 celdas cada uno, cada uno con dos ejes de anillo de 30 celdas completamente ortogonales, cualquiera de los cuales puede verse como un eje o una circunferencia: son ambas cosas. En el mapa del icosaedro de Hopf, ^[aw] los cuatro anillos de 30 células se levantan de una estrella de cuatro caras del icosaedro (tres caras unidas por los bordes alrededor de una). El quinto anillo de 30 celdas se eleva desde una quinta cara unida por los bordes a la estrella, una especie de "solapa adicional" como la sexta solapa cuadrada de la red de un cubo antes de doblarlo para formar un cubo. No importa cuál de las seis posibles caras adyacentes elija como solapa, pero la elección determina la elección de los cuatro anillos de 150 celdas. Hay seis opciones porque hay seis fibraciones decagonales; Aquí es cuando arreglas qué fibración estás tomando. Por tanto, cada anillo de 30 celdas es el núcleo central de un anillo de 150 celdas.
88. (Coxeter 1973) usa la letra griega (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
89. Un ortosquema es un simplex quiral irregular con caras de triángulo rectángulo que es característico de algún politopo si llena exactamente ese politopo con los reflejos de sí mismo en sus propias facetas (sus paredes de espejo ). Cada politopo regular puede diseccionarse radialmente en instancias de su ortosquema característico que rodea su centro. El ortosquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo del punto generador .
90. Los cuatro bordes de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen una longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro del borde, una cara radio central y un radio central de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice regular de 4 politopos, un centro de borde regular de 4 politopos, un centro de cara regular de 4 politopos, un centro de celda regular de 4 politopos y el centro regular de 4 politopos. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro bordes mutuamente perpendiculares (que forman tres giros en ángulo recto), el rasgo característico de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas diferentes del 3-ortosquema.
91. La superficie reflectante de un poliedro (tridimensional) consta de caras bidimensionales; la superficie reflectante de un policorón (de 4 dimensiones) consta de células tridimensionales.
92. Una rotación isoclínica de 36 ° son dos rotaciones simples de 36 ° al mismo tiempo. ^[dz] Mueve todos los vértices 60° al mismo tiempo, en varias direcciones diferentes. Quince incrementos de rotación diagonales sucesivos, de 36°×36° cada uno, mueven cada vértice 900° a través de 15 vértices en un doble bucle de Möbius de circunferencia 5𝝅 llamado isoclina , enrollando alrededor de las 600 celdas y regresando a su punto de origen, en uno -y la mitad del tiempo (15 incrementos de rotación) que tomaría una rotación simple para tomar el vértice una vez alrededor de las 600 celdas en un gran círculo ordinario {10} (en 10 incrementos de rotación). ^[ct] La isoclina helicoidal de doble bucle 5𝝅 es solo un tipo especial de círculo completo único , de 1,5 del período (15 cuerdas en lugar de 10) que el círculo máximo simple. La isoclina es un círculo verdadero, tan perfectamente redondo y geodésico como el círculo máximo simple, aunque sus cuerdas son φ más largas, su circunferencia es 5𝝅 en lugar de 2𝝅, gira en cuatro dimensiones en lugar de dos y actúa en dos formas quirales. (izquierda y derecha) aunque todos esos círculos de la misma circunferencia son directamente congruentes. Sin embargo, para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano. ^[ap]
93. Cualquier rotación doble (incluida una rotación isoclínica) puede verse como la composición de dos rotaciones simples a y b : la doble rotación izquierda como a luego b , y la doble rotación derecha como b luego a . Las rotaciones simples no son conmutativas; Las rotaciones izquierda y derecha (en general) llegan a destinos diferentes. La diferencia entre una doble rotación y las dos rotaciones simples que la componen es que la doble rotación es una diagonal de 4 dimensiones: cada vértice en movimiento llega a su destino directamente sin pasar por el punto intermedio tocado por a y luego b , o por el otro punto intermedio tocado por b. luego a , girando sobre una sola geodésica helicoidal (por lo que es el camino más corto). ^[bf] Por el contrario, cualquier rotación simple puede verse como la composición de dos rotaciones dobles de ángulos iguales (una rotación isoclínica izquierda y una rotación isoclínica derecha), como lo descubrió Cayley ; Quizás sea sorprendente que esta composición sea conmutativa y también sea posible para cualquier doble rotación. ^[69]
94. Cayley demostró que cualquier rotación en el 4 espacio se puede descomponer en dos rotaciones isoclínicas, ^[co] lo que intuitivamente podríamos ver se deriva del hecho de que cualquier transformación de un sistema de referencia inercial a otro se puede expresar como una rotación en euclidiano de 4 dimensiones. espacio .
95. Las 600 celdas tienen 7200 desplazamientos de rotación distintos, cada uno con su plano de rotación invariante. Los 7200 planos centrales distintos se pueden agrupar en conjuntos de planos de rotación invariantes paralelos de Clifford de 25 rotaciones isoclínicas distintas , y generalmente se dan como esos conjuntos. ^[72]
96. Las rotaciones isoclínicas llevan cada vértice a un vértice no adyacente al menos a dos longitudes de borde de distancia. En las rotaciones isoclínicas características de las celdas de 5, 16, 24 y 600 celdas, el vértice no adyacente está exactamente a dos longitudes de borde a lo largo de una de varias rutas geodésicas de gran círculo: el vértice opuesto de un vecino celúla. En las 8 celdas, está a tres longitudes de arista en zig-zag de distancia en la misma celda: el vértice opuesto de un cubo. En el de 120 celdas, está a cuatro bordes en zig-zag de distancia en la misma celda: el vértice opuesto de un dodecaedro.
97. En una rotación isoclínica , cada punto en cualquier lugar del politopo de 4 se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, en una diagonal de 4 dimensiones . ^[ap] El punto se desplaza una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Todos los vértices se desplazan a un vértice que está al menos a dos longitudes de arista de distancia. ^[cr] Por ejemplo, cuando la celda de 600 radios unitarios gira isoclínicamente 36 grados en un plano invariante decágono y 36 grados en su plano invariante completamente ortogonal, ^[ao] cada vértice se desplaza a otro vértice √ 1 (60°) distante , moviéndose √ 1/4 = 1/2 unidad de radio en cuatro direcciones ortogonales.
98. Debido a que la geodésica helicoidal de pentadecagram2 de 600 celdas está doblada en un anillo retorcido en la cuarta dimensión como una tira de Möbius , la rosca de su tornillo se duplica sobre sí misma después de cada revolución, sin nunca invertir su dirección de rotación (izquierda o derecha). El camino isoclínico de 30 vértices sigue un doble bucle de Möbius, formando un único bucle continuo de 15 vértices atravesado en dos revoluciones. La hélice de Möbius es una "línea recta" geodésica o isoclina . La isoclina conecta los vértices de un poligrama sesgado de frecuencia más baja (longitud de onda más larga) que el polígono de Petrie. El triacontagono de Petrie tiene aristas √ 0.𝚫 ; el pentadecagrama isoclínico ₂ tiene √ 1 aristas que unen vértices que están separados por dos √ 0.𝚫 aristas. Cada arista √ 1 pertenece a un gran hexágono diferente, y las aristas √ 1 sucesivas pertenecen a 24 celdas diferentes, ya que la rotación isoclínica lleva los hexágonos a los hexágonos paralelos de Clifford y pasa a través de las 24 celdas paralelas de Clifford sucesivas.
99. Todas las isoclinas son geodésicas , y las isoclinas en las 3 esferas son círculos (curvándose igualmente en cada dimensión), pero no todas las isoclinas en las 3 variedades en el 4 espacio son círculos.
100. Rotaciones isoclínicas ^[ap] dividen las 600 celdas (y los 120 vértices) de las 600 celdas en dos subconjuntos separados de 300 celdas (y 60 vértices), pares e impares (o blanco y negro), que cambian de lugar entre sí en isoclinas blancas o negras, de una manera dimensionalmente análoga ^[b] a la forma en que los movimientos diagonales de los alfiles los restringen a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez . ^[dx] Los subconjuntos en blanco y negro también se dividen entre polígonos de círculo máximo invariantes en blanco y negro de la rotación isoclínica. En una rotación discreta (a partir de un politopo de 4 con un número finito de vértices), los subconjuntos en blanco y negro corresponden a conjuntos de grandes polígonos inscritos {p} en polígonos de círculo máximo invariantes {2p}. Por ejemplo, en las 600 celdas, un gran pentágono blanco y negro {5} están inscritos en un gran decágono invariante {10} de la característica rotación isoclínica decagonal. Es importante destacar que un par de polígonos {p} en blanco y negro de la misma rotación isoclínica distinta nunca se inscriben en el mismo polígono {2p}; Siempre hay un polígono {p} negro y uno blanco inscrito en cada polígono {2p} invariante, pero pertenecen a rotaciones isoclínicas distintas: la rotación izquierda y derecha del mismo fibratón, que comparten el mismo conjunto de planos invariantes. Las isoclinas negras (blancas) intersecan solo los grandes polígonos {p} negros (blancos), por lo que cada vértice es blanco o negro.
101. La trayectoria de cuerda de una isoclina puede denominarse polígono de Clifford de 4 politopos , ya que es la forma poligonal sesgada de los círculos de rotación atravesados ​​por los vértices de los 4 politopos en su característico desplazamiento de Clifford . ^[84] La isoclina es un doble bucle helicoidal de Möbius que invierte su quiralidad dos veces en el transcurso de un doble circuito completo. Los dos bucles están completamente contenidos dentro del mismo anillo de celdas, donde ambos siguen cuerdas que conectan vértices pares (impares): típicamente vértices opuestos de celdas adyacentes, separados por dos longitudes de borde. ^[cv] ​​Ambas "mitades" del bucle doble pasan a través de cada celda en el anillo de celdas, pero intersectan solo dos vértices pares (impares) en cada celda par (impar). Cada par de vértices intersecados en una celda par (impar) se encuentran uno frente al otro en la franja de Möbius , exactamente a una longitud de borde de distancia. Así, cada célula tiene dos hélices que la atraviesan, que son paralelos de Clifford ^[ag] de quiralidad opuesta en cada par de puntos paralelos. Globalmente, estas dos hélices son un único círculo conectado de ambas quiralidades, ^[cn] sin torsión neta . Una isoclina actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando la atraviesa una rotación izquierda (o derecha) (de diferentes fibraciones).
102. Las isoclinas en las 3 esferas ocurren en pares que no se cruzan de paridad de coordenadas pares/impares. ^[cv] ​​Una sola isoclina negra o blanca forma un bucle de Möbius llamado nudo toro {1,1} o círculo de Villarceau ^[71] en el que cada uno de los dos "círculos" unidos en un bucle de "figura de ocho" de Möbius atraviesa las cuatro dimensiones. . ^[cw] El doble bucle es un círculo verdadero en cuatro dimensiones. ^[cn] Las isoclinas pares e impares también están unidas, no en un bucle de Möbius sino como un enlace de Hopf de dos círculos que no se cruzan, ^[ag] al igual que todas las isoclinas paralelas de Clifford de un haz de fibras de Hopf .
103. Una rotación en 4 espacios se caracteriza completamente al elegir un plano invariante y un ángulo y dirección (izquierda o derecha) a través del cual gira, y otro ángulo y dirección a través del cual gira su plano invariante ^{[p] completamente ortogonal.} Dos desplazamientos rotacionales son idénticos si tienen el mismo par de planos de rotación invariantes, a través de los mismos ángulos en las mismas direcciones (y por tanto también el mismo par de direcciones quirales). Así, la rotación general en el 4 espacio es una rotación doble , caracterizada por dos ángulos. Una rotación simple es un caso especial en el que un ángulo de rotación es 0. ^[co] Una rotación isoclínica es un caso especial diferente, similar pero no idéntico a dos rotaciones simples a través del mismo ángulo. ^[ap]
104. Hay un único plano invariante en cada rotación simple y un plano fijo completamente ortogonal. Hay un número infinito de pares de planos invariantes ^[p] completamente ortogonales en cada rotación isoclínica, todos girando en el mismo ángulo; ^[bg] sin embargo, no todos los planos centrales son planos de rotación invariantes . Los planos invariantes de una rotación isoclínica constituyen una fibración de todo el 4 politopo. ^[74] En cada rotación isoclínica de las 600 celdas que toman vértices a vértices, 12 grandes decágonos paralelos a Clifford, o 20 grandes hexágonos paralelos a Clifford o 30 grandes cuadrados paralelos a Clifford son planos de rotación invariantes.
105. En un desplazamiento de Clifford , también conocido como rotación isoclínica , todos los planos invariantes [ ^{cz ] paralelos de Clifford [ag} ] se desplazan en cuatro direcciones ortogonales (dos planos completamente ortogonales) a la vez: se giran en el mismo ángulo, y en al mismo tiempo están inclinados hacia los lados en ese mismo ángulo. Un desplazamiento de Clifford es una diagonal de 4 dimensiones . ^[cs] Cada plano que es paralelo a Clifford a uno de los planos completamente ortogonales es invariante bajo la rotación isoclínica: todos los puntos en el plano giran en círculos pero permanecen en el plano, incluso cuando todo el plano gira hacia los lados.Todos los polígonos centrales (de todo tipo) giran en el mismo ángulo (aunque no todos lo hacen invariablemente) y también se desplazan lateralmente en el mismo ángulo con respecto a un polígono paralelo de Clifford (del mismo tipo).
106. Las tres celdas de 16 en las de 24 celdas se giran 60° (𝜋/3) isoclínicamente entre sí. Debido a que una rotación isoclínica es una rotación en dos planos completamente ortogonales al mismo tiempo, esto significa que sus vértices correspondientes son de 120° (2𝜋/3) aparte. En un politopo de 4 radios unitarios, los vértices separados por 120° están unidos por una cuerda √ 3 .
107. Cualquier rotación isoclínica por𝜋/5en planos invariantes decagonales ^[di] lleva cada polígono central, anillo de celdas geodésicas o 4 politopos inscritos ^[i] en las 600 celdas a un politopo paralelo de Clifford 𝜋/5lejos.
108. Cinco 24 celdas se encuentran en cada vértice de las 600 celdas, ^[l] por lo que hay cuatro direcciones diferentes en las que los vértices pueden moverse para rotar las 24 celdas (o todas las 24 celdas a la vez en una rotación isoclínica ^[dc] ) directamente hacia una celda adyacente de 24.
109. Una 24 celdas disjuntas alcanzada por una rotación isoclínica no es ninguna de las cuatro 24 celdas adyacentes; la doble rotación ^[cy] lo lleva más allá (no a través) de las 24 celdas adyacentes hacia las que gira, ^[dd] y hacia la izquierda o hacia la derecha hasta una 24 celdas más distante de la cual está completamente separado. ^[j] Las cuatro direcciones alcanzan 8 24 celdas diferentes ^[g] porque en una rotación isoclínica cada vértice se mueve en espiral a lo largo de dos grandes círculos completamente ortogonales a la vez. Cuatro caminos tienen rosca a la derecha (como la mayoría de tornillos y pernos), moviéndose a lo largo de los círculos en las "mismas" direcciones, y cuatro tienen rosca a la izquierda (como un perno con rosca invertida), moviéndose a lo largo de los círculos en lo que convencionalmente digamos que son direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la cual convencionalmente decimos qué dirección está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). ^[75]
110. los polígonos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente separados). ^[j] Los poliedros (3 politopos) y los policoras (4 politopos) pueden ser isoclínicos y no disjuntos, si todos sus polígonos centrales correspondientes son paralelos a Clifford, cocelulares (en el mismo hiperplano) o coincidentes (el mismo objeto, compartido). Por ejemplo, las celdas de 24, 600 y 120 celdas contienen pares de teseractos inscritos (8 celdas) que están rotados isoclínicamente por𝜋/3entre sí, pero no son disjuntos: comparten 16 celdas (8 vértices, 6 grandes cuadrados y 4 hiperplanos centrales octaédricos), y algunos pares correspondientes de sus grandes cuadrados son cocelulares (que se cruzan) en lugar de paralelos de Clifford (disjuntos). ).
111. En cada vértice, una celda de 600 tiene cuatro celdas adyacentes (no separadas) ^{[j] de} 24 celdas, cada una de las cuales se puede alcanzar mediante una simple rotación en esa dirección. ^[dd] Cada 24 celdas tiene 4 grandes hexágonos que se cruzan en cada uno de sus vértices, uno de los cuales comparte con cada una de las 24 celdas adyacentes; en una rotación simple, ese plano hexagonal permanece fijo (sus vértices no se mueven) mientras las 600 celdas giran alrededor del plano hexagonal común. El de 24 celdas tiene 16 grandes hexágonos en total, por lo que es adyacente (no separado) a otros 16 de 24 celdas. ^[g] Además de ser accesible mediante una simple rotación, cada uno de los 16 también puede ser alcanzado mediante una rotación isoclínica en la que el plano hexagonal compartido no está fijo: gira (de forma no invariable) a través de𝜋/5. La doble rotación llega a una de 24 celdas adyacentes directamente como indirectamente mediante dos rotaciones simples sucesivas: ^[co] primero a una de las otras 24 celdas adyacentes, y luego a las 24 celdas de destino (adyacente a ambas).
112. En las 600 celdas, hay una rotación simple que llevará cualquier vértice directamente a cualquier otro vértice, moviendo también la mayoría o todos los demás vértices, pero dejando como máximo otros 6 vértices fijos (los vértices que cruza el plano central fijo). ). El vértice se mueve a lo largo de un gran círculo en el plano invariante de rotación entre vértices adyacentes de un gran decágono, un gran hexágono, un gran cuadrado o un gran digon , ^[av] y el plano fijo completamente ortogonal intersecta 0 vértices (un gran círculo de 30 gón ), ^[ao] 2 vértices (un digon), 4 vértices (un cuadrado) o 6 vértices (un hexágono) respectivamente. Dos celdas de 24 no separadas están relacionadas mediante una simple rotación a través de𝜋/5del plano central digón completamente ortogonal a su plano central hexagonal común. En esta simple rotación, el hexágono no se mueve. Las dos 24 celdas no separadas también están relacionadas por una rotación isoclínica en la que el plano hexagonal compartido se mueve. ^[dg]
113. Cualquier rotación isoclínica en un plano decagonal invariante es una rotación isoclínica en 24 planos invariantes: 12 planos decagonales paralelos de Clifford, ^[cz] y los 12 planos de 30 gónes paralelos de Clifford completamente ortogonales a cada uno de esos planos decagonales. ^[ao] A medida que los planos invariantes giran en dos direcciones completamente ortogonales a la vez, ^[bf] todos los puntos en los planos se mueven con ellos (permanecen en sus planos y giran con ellos), describiendo isoclinas helicoidales ^[ap] a través del 4-espacio. Sin embargo, tenga en cuenta que en una fibración decagonal discreta de 600 celdas (donde 120 vértices son los únicos puntos considerados), los 12 planos de 30 gon no contienen puntos.
114. Observe la aparente incongruencia de los hexágonos giratorios al 𝜋/5, ya que sólo sus vértices opuestos son un múltiplo integral de𝜋/5aparte. Sin embargo, recuerde que los vértices de 600 celdas que están separados por un borde de hexágono están separados exactamente por dos bordes de decágono y dos celdas tetraédricas (una bipirámide triangular). Los hexágonos tienen sus propias 10 fibraciones discretas y anillos de celdas, no paralelos a Clifford a las fibraciones decagonales sino también por cinco ^[n] en el sentido de que cinco 24 celdas se encuentran en cada vértice, cada par comparte un hexágono. ^[l] Cada hexágono gira de forma no invariable por𝜋/5en una rotación isoclínica hexagonal entre 24 celdas no disjuntas . ^[dg] Por el contrario, en todas las rotaciones isoclínicas 𝜋/5 en planos invariantes decagonales, todos los vértices viajan a lo largo de isoclinas ^[ap] que siguen las aristas de los hexágonos .
115. Todas las isoclinas de 3 esferas ^[ap] de la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. ^[cu] Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia 2𝝅; Las rotaciones simples tienen lugar en isoclinas de 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas de hasta 8 de circunferencia. Debido a que las rotaciones características de varios 4 politopos regulares tienen lugar en los mismos planos invariantes (los planos hexagonales de las 24 celdas), todas esas rotaciones tienen isoclinas congruentes de circunferencia 4𝝅. Los 4 politopos regulares que giran característicamente en isoclinas de 4𝝅 (cuando giran en los planos isoclínicos invariantes que contienen sus bordes) son los de 5 celdas, los de 8 celdas, los de 24 celdas y los de 120 celdas.
116. Considere la afirmación: en una revolución completa de una rotación isoclínica, cada punto en el espacio recorre exactamente una vez su gran círculo de fibra de Hopf. Se puede encontrar en la literatura, expresado en el lenguaje matemático de la fibración de Hopf, ^[76] pero como una declaración en lenguaje sencillo de la geometría euclidiana, ¿cómo deberíamos visualizarlo exactamente? Pinta una imagen clara de todos los grandes círculos de una fibración de Hopf que giran como ruedas rígidas, en paralelo. Esa es una visualización correcta, excepto por el hecho de que los puntos que se mueven bajo rotación isoclínica atraviesan un gran círculo invariante solo en el sentido de que permanecen en ese círculo mientras todo el círculo se inclina hacia los lados, girando en paralelo con el gran círculo completamente ortogonal. ^[ap] Con respecto al sistema de referencia estacionario, los puntos se mueven diagonalmente en una isoclina helicoidal, no se mueven en un círculo máximo plano. ^[bf] Cada isoclina helicoidal es en sí misma una especie de círculo, pero no es un círculo máximo plano de la fibración de Hopf : es un tipo especial de círculo geodésico cuya circunferencia es mayor que 2 r , y no se representa explícitamente en absoluto. por la declaración simple que estamos tratando de visualizar. No podemos visualizar fácilmente esta afirmación sobre los grandes círculos de Hopf en un sistema de referencia estacionario. La afirmación no significa simplemente que en una rotación isoclínica cada punto de un gran círculo estacionario de Hopf pasa por su gran círculo estacionario. Más bien, significa que cada punto en cada círculo máximo de Hopf recorre su círculo máximo mientras cada círculo máximo se mueve ortogonalmente , lanzando al aire como una moneda en el plano completamente ortogonal a su propio plano (en cualquier instante, debido por supuesto al plano completamente ortogonal). el avión también se está moviendo). Esta rotación de torsión simultánea en dos planos completamente ortogonales es una doble rotación; si el ángulo de rotación en los dos planos completamente ortogonales es exactamente el mismo, es isoclínico. Una rotación isoclínica lleva cada gran círculo de Hopf plano rígido a la posición estacionaria de otro gran círculo de Hopf, mientras que simultáneamente cada gran círculo de Hopf también gira como una rueda. Esta fibración de ruedas rígidas doblemente giratorias es sin duda difícil de visualizar. En cualquier animación gráfica (ya sea real o simplemente imaginada) será difícil seguir los movimientos de las diferentes ruedas giratorias, porque los círculos paralelos de Clifford no son paralelos en el sentido ordinario, y cada círculo máximo se mueve en una dirección diferente en cualquier momento. un instante. Hay una forma más en la que esta simple afirmación contradice toda la complejidad del movimiento isoclínico. Si bien es cierto que cada punto recorre su gran círculo de Hopf exactamente una vezEn una revolución isoclínica completa, cada vértice se mueve más de 360 ​​grados, medido en el sistema de referencia estacionario. En cualquier rotación isoclínica distinta, todos los vértices se mueven la misma distancia angular en el sistema de referencia estacionario en una revolución completa, pero cada par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha corresponde a una fibración de Hopf única, ^[74] y la distancia característica movida es diferente para cada tipo de fibración de Hopf. Por ejemplo, en la rotación isoclínica de una fibración de gran hexágono de 24 celdas , cada vértice se mueve 720 grados en el marco de referencia estacionario (2 veces la distancia que se mueve dentro de su gran círculo de Hopf en movimiento); ^[dk] pero en la rotación isoclínica de una fibración de gran decágono de 600 celdas, cada vértice se mueve 900 grados en el marco de referencia estacionario (2,5 veces su distancia del círculo máximo).
117. Cada isoclina no tiene quiralidad inherente pero puede actuar como isoclina izquierda o derecha; es compartido por una rotación izquierda distinta y una rotación derecha distinta de diferentes fibraciones.
118. Las relaciones análogas entre tres tipos de rotaciones isoclínicas {2p}, en haces paralelos de Clifford de {4}, {6} o {10} grandes planos invariantes poligonales respectivamente, están en el corazón de la compleja relación anidada entre los convexos regulares 4 politopos. ^[c] En las rotaciones de √ 1 hexágono {6} características de las 24 celdas, las cuerdas isoclinas (bordes de poligrama) son simplemente √ 3 cuerdas del gran hexágono, por lo que la rotación simple del hexágono {6} y la isoclínica {6/ 2} rotación de hexagrama, ambos giran círculos de 6 vértices. La isoclina del hexagrama, un tipo especial de círculo máximo, tiene una circunferencia de 4𝝅 en comparación con el círculo máximo del hexágono 2𝝅. ^[ds] El plano central invariante completamente ortogonal a cada {6} gran hexágono es un {2} gran digon, ^[av] por lo que una rotación isoclínica {6} de hexagramas también es una {2} rotación de ejes . ^[dh] En las rotaciones de √ 2 cuadrados {4} características de las 16 celdas, las cuerdas isoclinas son √ 4 aristas (ejes) de digon y el poligrama isoclino es un octagrama, por lo que la isoclina tiene una circunferencia de 8𝝅. La rotación isoclínica del octagrama {8/2} gira un círculo de dos veces más vértices que la rotación simple del cuadrado {4} al mismo tiempo (número de incrementos de rotación). El plano central invariante completamente ortogonal a cada {4} gran cuadrado es otro {4} gran cuadrado a solo una cuerda isoclina de distancia, por lo que una rotación de cuadrados hacia la derecha {4} es también una rotación de cuadrados hacia la izquierda {4}. El politopo dual de 16 celdas, el teseracto de 8 celdas, hereda las mismas rotaciones simples {4} e isoclínicas {8/2}, pero su rotación isoclínica característica tiene lugar en planos invariantes completamente ortogonales que contienen un gran rectángulo {4} o un { 2} gran digon (de su sucesor el de 24 celdas). En el modelo de 8 celdas, esta es una rotación de √ 1 × √ 3 grandes rectángulos, y también una rotación de √ 4 ejes, pero es la misma rotación isoclínica que la rotación característica de grandes hexágonos del modelo de 24 celdas (en la que los grandes rectángulos están inscritos), como consecuencia de la circunstancia única de que las celdas de 8 y 24 celdas tienen la misma longitud de borde . En las rotaciones de √ 0.𝚫 decágono {10} características de las 600 celdas, las cuerdas isoclinas son aristas de √ 1 hexágono, el poligrama isoclino es un pentadecagramo y la isoclina tiene una circunferencia de 5𝝅. ^[cn] La rotación isoclínica de pentadecagramo {15/2} gira un círculo de {15} vértices al mismo tiempo que la rotación decágono simple de {10} vértices. El plano central invariante completamente ortogonal a cada {10} gran decágono es un {0} gran 0-gón, ^[am] por lo que una rotación {10} de decágonos también es una rotación {0} de planos que no contienen vértices. El politopo dual de 600 celdas, el de 120 celdas, hereda las mismas rotaciones simples {10} e isoclínicas {15/2}, pero su rotación isoclínica característica tiene lugar en planos invariantes completamente ortogonales que contienen {2} grandes digones (de su sucesor el 5 celdas). ^[dt] Esta es una rotación de grandes hexágonos irregulares {6} de dos longitudes de aristas alternas (análogas a los grandes rectángulos del teseracto), donde las dos aristas de diferentes longitudes son tres aristas de 120 celdas y tres aristas de 5 celdas .
119. Cada fibración discreta de un 4 politopo convexo regular se caracteriza por un par único de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha y un paquete único de polígonos de círculo máximo {2p} (0 ≤ p ≤ 5) en los planos invariantes de ese par de rotaciones . Cada rotación distinta tiene un paquete único de polígonos {p} izquierdo (o derecho) inscritos en los polígonos {2p}, y un paquete único de poligramas {2p} sesgados que son sus isoclinas izquierda (o derecha) discretas. Los polígonos {p} entrelazan los poligramas {2p} en un paquete, y viceversa.
120. Las 600 celdas tienen cuatro hiperplanos centrales ortogonales, cada uno de los cuales es un icosidodecaedro. ^[w]
121. Hay seis fibraciones decagonales congruentes de las 600 celdas. Elegir una fibración decagonal significa elegir un conjunto de 12 grandes círculos decagonales paralelos de Clifford directamente congruentes y un conjunto de celdas disjuntas de 20 anillos de 30 celdas directamente congruentes que teselan las 600 celdas. La fibración y sus grandes círculos no son quirales, pero tienen expresiones distintas de izquierda y derecha en un par de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha. En la rotación derecha (izquierda), los vértices se mueven a lo largo de un haz de fibras de Hopf derecho (izquierdo) de isoclinas paralelas de Clifford y se cruzan con un haz de fibras de Hopf derecho (izquierdo) de grandes pentágonos paralelos de Clifford. Los anillos de 30 células son los únicos objetos quirales, además de los haces de isoclinas o pentágonos. ^[80] Un paquete de pentágonos derecho (izquierdo) contiene 12 grandes pentágonos, inscritos en los 12 grandes decágonos paralelos de Clifford. Un haz de isoclinas derecha (izquierda) contiene 20 pentadecagramos paralelos de Clifford, uno en cada anillo de 30 celdas.
122. La composición de dos rotaciones simples de 60 ° en un par de planos invariantes completamente ortogonales es una rotación isoclínica de 60 ° en cuatro pares de planos invariantes completamente ortogonales. ^[co] Por lo tanto, la rotación isoclínica es el compuesto de cuatro rotaciones simples, y los 24 vértices giran en planos hexagonales invariantes, frente a solo 6 vértices en una rotación simple.
123. Una rotación isoclínica de 60° son dos rotaciones simples de 60° al mismo tiempo. ^[dr] Mueve todos los vértices 120° al mismo tiempo, en varias direcciones diferentes. Seis incrementos de rotación diagonales sucesivos, de 60°x60° cada uno, mueven cada vértice a través de 720° en un doble bucle de Möbius llamado isoclina , dos veces alrededor de las 24 celdas y de regreso a su punto de origen, al mismo tiempo (seis unidades de rotación). ) que se necesitaría una simple rotación para tomar el vértice una vez alrededor de las 24 celdas en un círculo máximo ordinario. La isoclina helicoidal de doble bucle 4𝝅 es simplemente otro tipo de círculo completo , del mismo intervalo de tiempo y período (6 cuerdas) que el círculo máximo simple. La isoclina es un círculo verdadero, ^[cf] tan perfectamente redondo y geodésico como el círculo máximo simple, aunque sus cuerdas son √ 3 más largas, su circunferencia es 4𝝅 en lugar de 2𝝅, ^[dk] gira en cuatro dimensiones en lugar de dos, ^[cx] y actúa en dos formas quirales (izquierda y derecha) aunque todos esos círculos de la misma circunferencia son directamente congruentes. ^[cw] Sin embargo, para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano.
124. 120 celdas regulares de 5 están inscritas en las 120 celdas. Las 5 celdas tienen planos centrales digón , de los cuales no hay dos ortogonales. Tiene 10 planos centrales digonales, donde cada par de vértices es una arista, no un eje. La de 5 celdas es autodual, por lo que, mediante reciprocidad, la de 120 celdas se puede inscribir en una de 5 celdas regular de mayor radio. Por lo tanto, la secuencia finita de 6 4 politopos regulares ^[c] anidados como muñecas rusas también puede verse como una secuencia infinita.
125. En el anillo de 30 celdas, cada isoclina va desde un vértice hasta un vértice no adyacente en la tercera capa de vértices que lo rodea. Se pueden ver otros tres vértices entre estos dos vértices en el anillo de 30 celdas, dos adyacentes en el primer capa circundante y uno en el segundo capa circundante.
126. Como es difícil colorear puntos y líneas de blanco, a veces usamos negro y rojo en lugar de blanco y negro. En particular, las cuerdas de isoclina a veces se muestran como líneas discontinuas negras o rojas.
127. La quiralidad y la paridad par/impar son sabores distintos. Las cosas que tienen paridad de coordenadas pares/impares son blancas o negras: los cuadrados del tablero de ajedrez , las celdas ^[dv] , los vértices y las isoclinas que los conectan mediante rotación isoclínica. ^[ap] Todo lo demás es blanco y negro: por ejemplo, pares de células adyacentes unidas por caras , o bordes y cuerdas que son negros en un extremo y blancos en el otro. Las cosas que tienen quiralidad vienen en formas enantiomorfas derecha o izquierda : rotaciones isoclínicas y objetos quirales que incluyen ortoesquemas característicos , pares de grandes planos poligonales paralelos de Clifford , ^[83] haces de fibras de círculos paralelos de Clifford (sean o no los círculos quirales), y los anillos de células quirales que se encuentran en los de 16 y 600 células. Las cosas que no tienen paridad par/impar ni quiralidad incluyen todos los bordes y caras (compartidos por celdas blancas y negras), polígonos de círculo máximo y sus fibraciones , y anillos de células no quirales, como los anillos de octaedros de 24 células . Algunas cosas tienen una paridad par/impar y una quiralidad: las isoclinas son blancas o negras porque conectan vértices que son todos del mismo color, y actúan como objetos quirales de izquierda o derecha cuando son trayectorias de vértices en una rotación hacia la izquierda o hacia la derecha. , aunque ellos mismos no tienen quiralidad inherente. ^[dm] Cada rotación hacia la izquierda (o hacia la derecha) atraviesa un número igual de isoclinas en blanco y negro. ^[cw]
128. Las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha dividen las 600 celdas (y 120 vértices) en blanco y negro de la misma manera. ^[14] Las rotaciones de todas las fibraciones del mismo tipo de gran polígono utilizan el mismo tablero de ajedrez, que es una convención del sistema de coordenadas basado en coordenadas pares e impares. ^[82] La izquierda y la derecha no son colores: en una rotación hacia la izquierda (o hacia la derecha), la mitad de los vértices en movimiento son negros y corren a lo largo de isoclinas negras a través de vértices negros, y la otra mitad son vértices blancos que giran entre sí. ^[dw]
129. Cada eje de las 600 celdas toca una isoclina izquierda de cada fibración en un extremo y una isoclina derecha de la fibración en el otro extremo. La isoclina axial de cada anillo de 30 celdas pasa a través de solo uno de los dos vértices antípodas de cada uno de los 30 (de 60) ejes de 600 celdas que toca el anillo de 30 celdas y 30 vértices de la isoclina (en solo un extremo).
130. La composición de dos rotaciones simples de 36 ° en un par de planos invariantes completamente ortogonales es una rotación isoclínica de 36 ° en doce pares de planos invariantes completamente ortogonales. ^[co] Por lo tanto, la rotación isoclínica es el compuesto de doce rotaciones simples, y los 120 vértices giran en planos decágonos invariantes, frente a solo 10 vértices en una rotación simple.
131. El de 24 celdas rota hexágonos en hexagramas , mientras que el de 600 celdas rota hexágonos en decagramos, pero estos son casos discretos del mismo tipo de rotación isoclínica en planos invariantes de hexágonos. En particular, sus isoclinas congruentes son todas exactamente el mismo círculo geodésico de circunferencia 4𝝅. ^[dk] Tienen diferentes poligramas de isoclina solo porque la curva de isoclina cruza más vértices en las 600 celdas que en las 24 celdas. El icosagrama helicoidal {20/6}=2{10/3} de 600 celdas es un compuesto del hexagrama helicoidal {6/2} de 24 celdas, que está inscrito dentro de él tal como el de 24 celdas está inscrito en el icosagrama de 600 celdas. -celúla.
132. El de 16 celdas gira cuadrados en {8/3} octagramos , mientras que el de 600 celdas gira cuadrados en {24/5} 24 gramos , pero estos son casos discretos del mismo tipo de rotación isoclínica en planos cuadrados invariantes. En particular, sus isoclinas congruentes son todas exactamente el mismo círculo geodésico de circunferencia 8𝝅. Tienen poligramas de isoclina diferentes solo porque la curva de isoclina cruza más vértices en las 600 celdas que en las 16 celdas. El helicoidal de 24 gramos {24/5} de las 600 celdas es un compuesto del octagrama helicoidal {8/3} de las 16 celdas, que está inscrito en su interior tal como el de 16 celdas está inscrito en el de 600 celdas.

Citas

1. NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11,5 grupos esféricos de Coxeter , p.249
2. Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68
3. Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4 politopos en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
4. Coxeter 1973, pag. 153, §8.51; "De hecho, los vértices de {3, 3, 5}, cada uno tomado 5 veces, son los vértices de 25 {3, 4, 3}".
5. Coxeter 1973, pág. 305, Tabla VII: Compuestos regulares en cuatro dimensiones.
6. Coxeter 1973, págs. 156-157, §8.7 Coordenadas cartesianas.
7. Coxeter 1973, págs. 151-153, §8.4 El desaire {3,4,3}.
8. Waegell & Aravind 2009, págs. 3–4, §3.2 Las 75 bases de las 600 celdas; En la configuración de 600 celdas, los "puntos" y las "líneas" de la configuración son ejes ("rayos") y 16 celdas ("bases"), respectivamente.
9. Denney y col. 2020, pág. 438.
10. Zamboj 2021, págs. 10-11, §Coordenadas de Hopf.
11. Coxeter 1973, pag. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas (§13.1); (iii) Secciones de {3, 3, 5} (arista 2𝜏 ⁻¹ ) que comienzan con un vértice.
12. Oss 1899; van Oss no menciona las distancias de arco entre los vértices de las 600 celdas.
13. Buekenhout y Parker 1998.
14. Dechant 2021, págs. 18-20, §6. El avión Coxeter.
15. Coxeter 1973, pag. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas (§13.1); (iii) Secciones de {3, 3, 5} (arista 2𝜏 ⁻¹ ) comenzando con un vértice; ver columna a .
16. Steinbach 1997, pag. 23, Figura 3; Steinbach derivó una fórmula que relaciona las diagonales y las longitudes de los bordes de polígonos regulares sucesivos y la ilustró con un diagrama de "abanico de cuerdas" como el que se muestra aquí.
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22. Waegell y Aravind 2009, pág. 5, §3.4. Las 24 celdas: puntos, rectas y configuración de Reye; Aquí los "puntos" y las "líneas" de Reye son ejes y hexágonos, respectivamente. Los planos hexagonales duales no son ortogonales entre sí, sólo sus pares de ejes duales. Los pares de hexágonos duales no ocurren en 24 celdas individuales, solo entre 24 celdas en las 600 celdas.
23. Sadoc 2001, págs. 576–577, §2.4 Discretización de la fibración para el politopo {3, 3, 5}: el eje del tornillo séxtuple.
24. Sadoc 2001, pág. 577, §2.4 Discretizando la fibración para el politopo {3, 3, 5}: el eje del tornillo cuádruple.
25. Copher 2019, pag. 6, §3.2 Teorema 3.4.
26. Kim y Rote 2016, pag. 7, §6 Ángulos entre dos planos en 4 espacios; "En cuatro (y superiores) dimensiones, necesitamos dos ángulos para fijar la posición relativa entre dos planos. (De manera más general, k ángulos se definen entre subespacios de k dimensiones)".
27. Lemmens y Seidel 1973.
28. Mamone, Pileio y Levitt 2010, pág. 1433, §4.1; Un punto cartesiano de 4 coordenadas (w,x,y,z) es un vector en el espacio 4D desde (0,0,0,0). El espacio real de cuatro dimensiones es un espacio vectorial: dos vectores cualesquiera se pueden sumar o multiplicar por un escalar para obtener otro vector. Los cuaterniones amplían la estructura vectorial del espacio real 4D al permitir la multiplicación de dos vectores 4D y de acuerdo con ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
29. Sadoc 2001, págs. 575–578, §2 Geometría del politopo {3,3,5} en S ₃ ; Sadoc estudió todas las fibraciones de Hopf de las 600 células en conjuntos de {4}, {6} o {10} fibras de gran círculo en diferentes ejes de tornillo, dio sus mapas de Hopf e ilustró completamente los característicos anillos de células decagonales.
30. Tyrrell y Semple 1971, págs. 6–7, §4. Planos isoclínicos en el espacio euclidiano E ₄ .
31. Sadoc 2001, págs. 577–578, §2.5 La simetría 30/11: un ejemplo de otro tipo de simetrías.
32. Coxeter 1973, pag. 211, §11.x Observaciones históricas; "El grupo finito [3 ^{2, 2, 1} ] es isomorfo con el grupo de permutaciones que preservan la incidencia de las 27 líneas en la superficie cúbica general. (Para obtener la descripción más antigua de estas líneas, consulte Schlafli 2.)".
33. Schlafli 1858; Este artículo de Schläfli que describe la configuración del doble seis fue uno de los únicos fragmentos de su descubrimiento de los politopos regulares en dimensiones superiores que se publicó durante su vida. ^[32]
34. Coxeter 1973, págs. 141-144, §7. Politopos ordinarios en el espacio superior; §7.x. Comentarios históricos; "Prácticamente todas las ideas de este capítulo... se deben a Schläfli, quien las descubrió antes de 1853, una época en la que Cayley, Grassman y Möbius eran las únicas personas que alguna vez habían concebido la posibilidad de la geometría en más de tres dimensiones".
35. Coxeter 1970, estudió los anillos de células en el caso general de su geometría y teoría de grupos , identificando cada anillo de células como un politopo por derecho propio que llena una variedad tridimensional (como la de 3 esferas ) con su correspondiente panal . ^[az] Encontró que los anillos celulares siguen polígonos de Petrie y algunos (pero no todos) los anillos celulares y sus panales están retorcidos , presentándose en formas quirales izquierdas y derechas . Específicamente, encontró que los 4 politopos regulares con células tetraédricas (5 células, 16 células, 600 células) tienen anillos de células retorcidos, y los demás (cuyas células tienen caras opuestas) no. ^[ba] Por separado, clasificó los anillos de células según si forman sus panales en el espacio hiperbólico o euclidiano, siendo estos últimos los que se encuentran en los 4 politopos que pueden mosaicos de 4 espacios por traducción para formar panales euclidianos (16 celdas, 8- celda, 24 celdas).
36. Banchoff 2013, estudió la descomposición de 4 politopos regulares en panales de tori que forman el toro de Clifford , mostró cómo los panales corresponden a fibraciones de Hopf e hizo descomposiciones compuestas de anillos de células meridianas y ecuatoriales con ilustraciones.
37. Sadoc 2001, pág. 578, §2.6 El politopo {3, 3, 5}: un conjunto de cuatro hélices.
38. Decantar 2021, §1. Introducción.
39. Zamboj 2021.
40. Sadoc y Charvolin 2009, §1.2 El enfoque del espacio curvo; estudia la orientación helicoidal de las moléculas en estructuras cristalinas y sus empaquetamientos imperfectos ("frustraciones") en el espacio tridimensional. "La frustración, que surge cuando la orientación molecular se transporta a lo largo de las dos trayectorias [circulares] AB de la figura 1 [hélice], está impuesta por la naturaleza topológica misma del espacio euclidiano R ^3. No ocurriría si las moléculas estuvieran incrustadas en el espacio no euclidiano de las 3 esferas S ³ , o hiperesfera. Este espacio con una curvatura positiva homogénea puede de hecho describirse mediante fibras equidistantes y uniformemente retorcidas, ^[ag] a lo largo de las cuales las moléculas pueden alinearse sin ningún conflicto entre compacidad y torsión .... Las fibras de esta fibración de Hopf son círculos máximos de S ³ , toda la familia de los cuales también se llama paralelos de Clifford . Dos de estas fibras son ejes de simetría C _∞ para toda la fibración, cada fibra hace una vuelta. alrededor de cada eje y gira regularmente cuando se mueve de un eje a otro. ^[bf] Estas fibras construyen una configuración de doble torsión mientras permanecen paralelas, es decir, sin ninguna frustración, en todo el volumen de S ^{3. [bg]} Por lo tanto , pueden usarse como Modelos para estudiar la condensación de moléculas largas en presencia de una restricción de doble torsión".
41. Coxeter 1973, pág. 303, Tabla VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
42. Coxeter 1973, pag. 153, §8.5 Construcción de Gosset para {3,3,5}.
43. Borovík 2006; "El entorno que dirigió la evolución de nuestro cerebro nunca proporcionó a nuestros antepasados ​​experiencias cuatridimensionales... [Sin embargo] nosotros, los humanos, estamos bendecidos con una notable pieza de software matemático para el procesamiento de imágenes integrada en nuestro cerebro. Coxeter hizo pleno uso de "La visualización es una de las técnicas de interiorización más poderosas. Ancla conceptos e ideas matemáticas en una de las partes más poderosas de nuestro cerebro, el módulo de procesamiento visual. Teoría de Coxeter [de los politopos] generado por] grupos de reflexión finitos permite un enfoque para su estudio basado en una reducción sistemática de configuraciones geométricas complejas a casos especiales bidimensionales y tridimensionales mucho más simples".
44. Miyazaki 1990; Miyazaki demostró que la superficie envolvente de las 600 celdas se puede realizar arquitectónicamente en nuestro espacio tridimensional ordinario como edificios físicos (cúpulas geodésicas).
45. Coxeter 1973, págs. 50–52, §3.7.
46. Coxeter 1973, pag. 293; 164°29'
47. Coxeter 1973, pag. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas.
48. Coxeter 1973, págs. 50–52, §3.7: Coordenadas de los vértices de los sólidos regulares y cuasiregulares.
49. Itoh y Nara 2021, §4. De las 24 celdas a un octaedro; "Este artículo aborda las 24 células y ofrece un movimiento de aplanamiento continuo para su esqueleto de 2 [el cuboctaedro], que está relacionado con el Jitterbug de Buckminster Fuller ".
50. Koca y col. 2016, pág. 145, 4. Grupo piritoédrico y poliedros relacionados; ver Tabla 1.
51. Verheyen, HF (1989). "El conjunto completo de transformadores Jitterbug y el análisis de su movimiento". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 17 (1–3): 203–250. doi : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . SEÑOR  0994201.
52. Coxeter 1973, pag. 299, Tabla V: (iv) Secciones simplificadas de {3,3,5} ... comenzando con una celda.
53. Sadoc 2001, págs. 576–577, §2.4 Discretización de la fibración para {3, 3, 5}; "Procedamos ahora a una descomposición toroidal del politopo {3, 3, 5}".
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55. Sadoc 2001, págs. 576–577, §2.4 Discretización de la fibración para {3, 3, 5}, Fig. 2. Una columna de simetría quíntuple; en el título (sic), los dodecágonos deben ser decágonos.
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57. Banchoff 1988.
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60. Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); "600 celdas".
61. Coxeter 1973, pag. 139, §7.9 La característica simplex.
62. Coxeter 1973, pag. 290, Cuadro I(ii); "ángulos diédricos".
63. Coxeter 1973, págs. 227-233, §12.7 Un collar de cuentas tetraédricas.
64. Coxeter 1973, págs. 33–38, §3.1 Transformaciones congruentes.
65. Dechant 2017, págs. 410–419, §6. El avión de Coxeter; ver pág. 416, Tabla 1. Resumen de las factorizaciones de los versores de Coxeter de los sistemas de raíces 4D; "Los grupos de Coxeter (reflexión) en el marco de Clifford... ofrecen una prescripción excepcionalmente simple para las reflexiones. A través del teorema de Cartan-Dieudonné, realizar dos reflexiones sucesivamente genera una rotación, que en el álgebra de Clifford se describe mediante un espinor que es simplemente el eje geométrico. producto de los dos vectores que generan las reflexiones."
66. Coxeter 1973, págs. 217-218, §12.2 Transformaciones congruentes.
67. Koca, Al-Ajmi y Ozdes Koca 2011, págs. 986–988, 6. Doble del desaire de 24 celdas.
68. Mamone, Pileio y Levitt 2010, págs. 1438-1439, §4.5 4 politopos convexos regulares; las 600 celdas tienen 14,400 operaciones de simetría (rotaciones y reflexiones) como se enumeran en la Tabla 2, grupo de simetría 𝛨 ₄ . ^[cq]
69. Pérez-Gracia y Thomas 2017.
70. Stillwell 2001, pag. 24.
71. Dorst 2019, pag. 44, §1. Círculos de Villarceau; "En matemáticas, el camino que traza el nudo (1, 1) en el toroide también se conoce como círculo de Villarceau . Los círculos de Villarceau generalmente se presentan como dos círculos que se cruzan y que son la sección transversal de un toroide por un plano bien elegido. cortándolo. Escogiendo uno de esos círculos y girándolo alrededor del eje del toro, la familia de círculos resultante se puede usar para gobernar el toro. Al anidar los toros de manera inteligente, la colección de todos esos círculos forma una fibración de Hopf ... preferimos considerar el círculo de Villarceau como el nudo toroidal (1, 1) en lugar de como un corte plano".
72. Mamone, Pileio y Levitt 2010, §4.5 4 politopos convexos regulares, Tabla 2.
73. Waegell y Aravind 2009, págs. 2 a 5, §3. El de 600 celdas.
74. Kim & Rote 2016, págs. 13-14, §8.2 Equivalencia de una familia invariante y un paquete de Hopf.
75. Pérez-Gracia y Thomas 2017, págs. 12-13, §5. Un mapeo útil.
76. Kim & Rote 2016, págs. 12-16, 8 La construcción de fibraciones de Hopf; ver Teorema 13.
77. Pérez-Gracia y Thomas 2017, págs. 2-3, §2. Rotaciones isoclínicas.
78. Kim y Rote 2016, pag. 12-16, §8 La construcción de fibraciones de Hopf; ver §8.3.
79. Pérez-Gracia y Thomas 2017, §1. Introducción; "Este artículo derivará una descomposición espectral de rotaciones isoclínicas y fórmulas explícitas en álgebra matricial y de Clifford para el cálculo de la factorización [isoclínica] de Cayley". ^[co]
80. Kim y Rote 2016, pag. 14, §8.3 Corolario 9. Cada círculo máximo pertenece a un único haz de Hopf derecho [(e izquierdo)].
81. Kim & Rote 2016, págs. 14-16, §8.3 Propiedades de la fibración de Hopf.
82. Coxeter 1973, pag. 156: "... el tablero de ajedrez tiene un análogo n-dimensional".
83. Kim y Rote 2016, pag. 8, Pares de planos isoclínicos izquierdo y derecho.
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89. Stillwell 2001, págs. 22-23, La esfera de homología de Poincaré.
90. Mebius 2015, pag. 1, " El álgebra de cuaterniones es la herramienta por excelencia para el tratamiento de rotaciones tridimensionales y cuatridimensionales (3D y 4D). Obviamente, sólo las rotaciones 3D y, por implicación, 2D tienen un significado práctico cotidiano, pero la teoría de las rotaciones 4D resulta ser Ofrecen el camino más fácil para la representación de rotaciones 3D mediante cuaterniones".
91. Denney y col. 2020, §2 El etiquetado del H ₄ .
92. Oss 1899, págs. 1-18.
93. Dechant 2021, resumen; "[C]ada sistema de raíces 3D permite la construcción de un sistema de raíces 4D correspondiente a través de un 'teorema de inducción'. En este artículo, analizamos el caso icosaédrico de H3 → H4 en detalle y realizamos los cálculos explícitamente. Se utiliza el álgebra de Clifford para realizar cálculos teóricos de grupo basados ​​en el teorema versor y el teorema de Cartan-Dieudonné... arrojar luz sobre los aspectos geométricos del sistema de raíces H4 (las 600 celdas), así como otros politopos relacionados y sus simetrías... incluida la construcción del plano de Coxeter, que se utiliza para visualizar los pares complementarios de politopos invariantes.... Por lo tanto, este enfoque constituye una forma más sistemática y general de realizar cálculos relacionados con grupos, en particular grupos de reflexión y sistemas de raíces, en un modelo Clifford. marco algebraico."
94. Grossman, Wendy A.; Sebline, Édouard, eds. (2015), Ecuaciones humanas de Man Ray: un viaje de las matemáticas a Shakespeare , Hatje Cantz. Véase en particular el objeto matemático mo-6.2 , p. 58; Antonio y Cleopatra , SE-6, p. 59; objeto matemático mo-9 , p. 64; Mercader de Venecia , SE-9, p. 65, y "El Hexacosicoron", Philip Ordning, p. 96.
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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "600 celdas". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o3o5o - ex".
• Der 600-Zeller (600 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R ⁴ (alemán)
• La expansión centrada en el vértice de 600 celdas del modelo de 600 celdas