En geometría , el panal icosaédrico es una de las cuatro teselaciones (o panales ) compactas y regulares que llenan el espacio en el espacio tridimensional hiperbólico . Con el símbolo de Schläfli {3,5,3}, hay tres icosaedros alrededor de cada arista y 12 icosaedros alrededor de cada vértice en una figura de vértice dodecaédrica regular .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abejas se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abejas uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abejas uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abejas uniforme en el espacio esférico.
El ángulo diedro de un icosaedro regular es de aproximadamente 138,2°, por lo que es imposible que quepan tres icosaedros alrededor de una arista en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, los icosaedros correctamente escalados pueden tener ángulos diedros de exactamente 120 grados, por lo que tres de ellos pueden caber alrededor de una arista.
Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
Es miembro de una secuencia de policoras y panales regulares {3, p ,3} con células deltraédricas :
También es miembro de una secuencia de policoras y panales regulares { p ,5, p }, con figuras de vértice compuestas por pentágonos:
Hay nueve panales uniformes en la familia de grupos de Coxeter [3,5,3] , incluida esta forma regular así como la forma bitruncada , t 1,2 {3,5,3},
, también llamado panal dodecaédrico truncado , cada una de cuyas celdas son dodecaedros truncados .
El panal icosaédrico rectificado , t 1 {3,5,3},, tiene celdas alternas de dodecaedro e icosidodecaedro , con figura de vértice de prisma triangular :
Hay cuatro panales regulares compactos rectificados:
El panal icosaédrico truncado , t 0,1 {3,5,3},, tiene celdas alternadas de dodecaedro y de icosaedro truncado , con figura de vértice de pirámide triangular .
El panal icosaédrico bitruncado , t 1,2 {3,5,3},, tiene células dodecaédricas truncadas con figura de vértice difenoide tetragonal .
El panal icosaédrico cantelado , t 0,2 {3,5,3},, tiene celdas rombicosidodecaedro , icosidodecaedro y prisma triangular , con figura de vértice en cuña .
El panal icosaédrico cantitruncado , t 0,1,2 {3,5,3},, tiene células de icosidodecaedro truncado , dodecaedro truncado y prisma triangular , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal icosaédrico runcinado , t 0,3 {3,5,3},, tiene celdas icosaédricas y prismáticas triangulares , con figura de vértice de antiprisma pentagonal .
El panal icosaédrico runcitruncado , t 0,1,3 {3,5,3},, tiene celdas de icosaedro truncado , rombicosidodecaedro , prisma hexagonal y prisma triangular , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
El panal icosaédrico runcicantelado es equivalente al panal icosaédrico runcitruncado.
El panal icosaédrico omnitruncado , t 0,1,2,3 {3,5,3},, tiene células de icosidodecaedro truncado y prisma hexagonal , con figura de vértice difenoidal fílica .
El panal icosaédrico omnisnub , h(t 0,1,2,3 {3,5,3}),
, tiene celdas romos dodecaedro , octaedro y tetraedro , con una figura de vértice irregular. Es transitivo por vértice , pero no se puede formar con celdas uniformes.
El panal icosaédrico parcialmente disminuido o panal icosaédrico parabidiminado , pd{3,5,3}, es un panal uniforme no wythoffiano con celdas dodecaédricas y antiprismáticas pentagonales , con una figura de vértice dodecaédrica disminuida tetraédricamente . Las celdas icosaédricas del {3,5,3} se disminuyen en los vértices opuestos (parabidiminado), dejando un núcleo antiprismático pentagonal ( icosaedro parabidiminado ) y creando nuevas celdas dodecaédricas arriba y abajo. [1] [2]
