Dodecaedro regular

Poliedro convexo con 12 caras pentagonales regulares

Un dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal es un dodecaedro compuesto por caras pentagonales regulares , tres de ellas unidas en cada vértice . Es un ejemplo de los sólidos platónicos , descritos como estelación cósmica por Platón en sus diálogos, y fue utilizado como parte del Sistema Solar propuesto por Johannes Kepler . Sin embargo, el dodecaedro regular, incluyendo los demás sólidos platónicos, ya había sido descrito por otros filósofos desde la antigüedad.

El dodecaedro regular es de la familia de los trapezoedros truncados porque es el resultado de truncar los vértices axiales de un trapezoedro pentagonal . También es un poliedro de Goldberg porque es el poliedro inicial para construir nuevos poliedros mediante el proceso de achaflanado . Tiene relación con otros sólidos platónicos, uno de ellos es el icosaedro regular por ser su poliedro dual . Se pueden construir otros poliedros nuevos mediante el uso del dodecaedro regular.

Las propiedades métricas y la construcción del dodecaedro regular están asociadas con la proporción áurea . El dodecaedro regular se puede encontrar en muchas culturas populares: dodecaedro romano , cuentos infantiles, juguetes y artes pictóricas. También se puede encontrar en la naturaleza y en las supramoléculas, así como en la forma del universo. El esqueleto de un dodecaedro regular se puede representar como el gráfico llamado grafo dodecaédrico , un grafo platónico . Su propiedad del hamiltoniano , un camino visita todos sus vértices exactamente una vez, se puede encontrar en un juguete llamado juego icosiano .

Como un sólido platónico

El dodecaedro regular es un poliedro con doce caras pentagonales, treinta aristas y veinte vértices. ^[1] Es uno de los sólidos platónicos , un conjunto de poliedros en el que las caras son polígonos regulares congruentes y el mismo número de caras se encuentran en un vértice. ^[2] Este conjunto de poliedros recibe su nombre de Platón . En Teeteto , un diálogo de Platón, Platón planteó la hipótesis de que los elementos clásicos estaban formados por los cinco sólidos regulares uniformes. Platón describió el dodecaedro regular y comentó de forma oscura: "... el dios lo utilizó para organizar las constelaciones en todo el cielo". Timeo , como personaje del diálogo de Platón, asocia los otros cuatro sólidos platónicos (tetraedro regular , cubo , octaedro regular e icosaedro regular ) con los cuatro elementos clásicos , añadiendo que hay un quinto patrón sólido que, aunque comúnmente se asocia con el dodecaedro regular, nunca se menciona directamente como tal; "este Dios lo usó en la delineación del universo". ^[3] Aristóteles también postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, al que llamó aithêr ( aether en latín, ether en inglés americano). ^[4]

Tras su atribución a la naturaleza por parte de Platón, Johannes Kepler en su Harmonices Mundi esbozó cada uno de los sólidos platónicos, uno de ellos es un dodecaedro regular. ^[5] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos colocados en otro y separándolos con seis esferas que se asemejaban a los seis planetas. Los sólidos ordenados comenzaban desde el más interno hasta el más externo: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo. ^[6]

Modelo 3D de un dodecaedro regular

Muchos filósofos de la Antigüedad describieron el dodecaedro regular, incluido el resto de los sólidos platónicos. Teeteto dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos. Euclides describió matemáticamente por completo los sólidos platónicos en los Elementos , cuyo último libro (Libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13-17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de la arista. En la Proposición 18 argumenta que no existen más poliedros regulares convexos. Jámblico afirma que Hípaso , un pitagórico, pereció en el mar porque se jactó de haber divulgado por primera vez "la esfera con los doce pentágonos". ^[7]

Relación con el icosaedro regular

El icosaedro regular dentro del dodecaedro regular

El poliedro dual de un dodecaedro es el icosaedro regular . Una propiedad del poliedro dual en general es que el poliedro original y su dual comparten el mismo grupo de simetría tridimensional . En el caso del dodecaedro regular, tiene la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica . ^[8] El dodecaedro regular tiene diez ejes triples que pasan por pares de vértices opuestos, seis ejes quíntuples que pasan por los centros de las caras opuestas y quince ejes dobles que pasan por los puntos medios de los lados opuestos. ^[9] ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

Cuando un dodecaedro regular está inscrito en una esfera , ocupa más volumen de la esfera (66,49%) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,55%). ^[10] El resultado de los volúmenes de ambas esferas comenzó inicialmente a partir del problema de los antiguos griegos, determinar cuál de dos formas tiene un volumen mayor: un icosaedro inscrito en una esfera, o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Herón de Alejandría , Pappus de Alejandría y Fibonacci , entre otros. ^[11] Apolonio de Perga descubrió el curioso resultado de que la relación de los volúmenes de estas dos formas es la misma que la relación de sus áreas superficiales. ^[12] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea pero se llevan a diferentes potencias. ^[1]

El rectángulo áureo también puede relacionarse con el icosaedro regular y el dodecaedro regular. El icosaedro regular se puede construir intersectando perpendicularmente tres rectángulos áureos, dispuestos en ortogonalidad de dos por dos, y conectando cada uno de los vértices del rectángulo áureo con una línea de segmento. Hay 12 vértices del icosaedro regular, considerados como el centro de 12 caras del dodecaedro regular. ^[13]

Relación con el tetraedro regular

Cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro. También pueden inscribirse cinco tetraedros opuestos (no se muestran).

Así como en un cubo se pueden inscribir dos tetraedros opuestos y en un dodecaedro se pueden inscribir cinco cubos, en un dodecaedro se pueden inscribir diez tetraedros en cinco cubos: dos conjuntos opuestos de cinco, cada uno de los cuales cubre los 20 vértices y cada vértice en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no del par opuesto). Como citan Coxeter et al. (1938), ^[14]

"Así como un tetraedro puede inscribirse en un cubo, un cubo puede inscribirse en un dodecaedro. Por reciprocidad, esto conduce a un octaedro circunscrito a un icosaedro. De hecho, cada uno de los doce vértices del icosaedro divide una arista del octaedro según la " sección áurea ". Dado el icosaedro, el octaedro circunscrito puede elegirse de cinco maneras, dando un compuesto de cinco octaedros , que entra dentro de nuestra definición de icosaedro estrellado . (El compuesto recíproco, de cinco cubos cuyos vértices pertenecen a un dodecaedro, es un triacontaedro estrellado .) Otro icosaedro estrellado puede deducirse de inmediato, estelando cada octaedro en una stella octangula , formando así un compuesto de diez tetraedros . Además, podemos elegir un tetraedro de cada stella octangula, de modo que se deriva un compuesto de cinco tetraedros , que todavía tiene toda la simetría de rotación del icosaedro (es decir, el grupo icosaédrico), aunque ha perdido las reflexiones. Al reflejar esta figura en cualquier plano de simetría del icosaedro, obtenemos el conjunto complementario de cinco tetraedros. Estos dos conjuntos de cinco tetraedros son enantiomorfos, es decir, no directamente congruentes, sino relacionados como un par de zapatos. [Tal] figura que no posee plano de simetría (de modo que es enantiomorfa con su imagen especular) se dice que es quiral .

Matriz de configuración

La matriz de configuración es una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro, como vértices, aristas y caras. La diagonal de una matriz indica el número de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la no diagonal de una matriz indica el número de elementos de la columna que aparecen en el elemento de la fila o en él. El dodecaedro regular se puede representar en la siguiente matriz: ^{[15] [16]} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$$

Relación con la proporción áurea

La proporción áurea es la relación entre dos números igual al cociente de su suma con la mayor de las dos cantidades. ^[17] Es una de las dos raíces de un polinomio, expresada como . ^[18] La proporción áurea se puede aplicar a las propiedades métricas del dodecaedro regular, así como para construir el dodecaedro regular. ${\textstyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

El área superficial y el volumen de un dodecaedro regular de longitud de arista son: ^[19] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}a^{2},\qquad V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}a^{3}.}$$

Coordenadas cartesianas de un dodecaedro regular en el siguiente:

•  :los vértices naranjas se encuentran en (±1, ±1, ±1) .
•  : los vértices verdes se encuentran en (0, ± ϕ , ± ⁠1/ϕ) y forman un rectángulo en el plano yz .
•  :los vértices azules se encuentran en (± ⁠1/ϕ⁠ , 0, ± ϕ ) y forman un rectángulo en el plano xz .
•  : los vértices rosados ​​se encuentran en (± ϕ , ± ⁠1/ϕ⁠ , 0) y forman un rectángulo en el plano xy .

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los veinte vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen y adecuadamente escalado y orientado: ^[20] $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$$

Si la longitud de la arista de un dodecaedro regular es , el radio de una esfera circunscrita (una que toca al dodecaedro regular en todos los vértices), el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del dodecaedro regular), y el radio medio (uno que toca el medio de cada arista) son: ^[21] Nótese que, dado un dodecaedro regular con una longitud de arista uno, es el radio de una esfera circunscrita alrededor de un cubo con una longitud de arista , y es la apotema de un pentágono regular con una longitud de arista . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{u}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \phi }$

El ángulo diedro de un dodecaedro regular entre cada dos caras pentagonales adyacentes es , aproximadamente 116,565°. ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$

Otros objetos geométricos relacionados

El dodecaedro regular puede interpretarse como un trapezoedro truncado . Es el conjunto de poliedros que se puede construir truncando los dos vértices axiales de un trapezoedro . Aquí, el dodecaedro regular se construye truncando el trapezoedro pentagonal.

El dodecaedro regular puede interpretarse como el poliedro de Goldberg . Es un conjunto de poliedros que contienen caras hexagonales y pentagonales. Aparte de dos sólidos platónicos (el tetraedro y el cubo), el dodecaedro regular es el inicio de la construcción del poliedro de Goldberg, y el siguiente poliedro se obtiene truncando todas sus aristas, un proceso llamado chaflán . Este proceso puede repetirse continuamente, lo que da como resultado más poliedros de Goldberg nuevos. Estos poliedros se clasifican como la primera clase de un poliedro de Goldberg. ^[22]

Las estelaciones del dodecaedro regular forman tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . La primera estelación de un dodecaedro regular se construye uniendo su capa con pirámides pentagonales, formando un pequeño dodecaedro estrellado . La segunda estelación se construye uniendo el pequeño dodecaedro estrellado con cuñas , formando un gran dodecaedro . La tercera estelación se construye uniendo el gran dodecaedro con las pirámides triangulares puntiagudas, formando un gran dodecaedro estrellado . ^[23]

Apariciones

En las artes visuales

Dodecaedro romano

Los dodecaedros regulares se han utilizado como dados y probablemente también como dispositivos adivinatorios. Durante la era helenística se fabricaron pequeños dodecaedros romanos huecos de bronce que se han encontrado en varias ruinas romanas de Europa. ^{[24] [25]} Su propósito no es seguro.

En el arte del siglo XX , el dodecaedro aparece en la obra de MC Escher , como en sus litografías Reptiles (1943) y Gravitación (1952). En el cuadro de Salvador Dalí El sacramento de la Última Cena (1955), la sala es un dodecaedro regular hueco. Gerard Caris basó toda su obra artística en el dodecaedro regular y el pentágono, presentado como un nuevo movimiento artístico acuñado como pentagonismo.

En los juguetes y la cultura popular

En los juegos de rol modernos , el dodecaedro regular se utiliza a menudo como dado de doce caras, uno de los dados poliédricos más comunes . El rompecabezas Megaminx tiene la forma de un dodecaedro regular junto con sus análogos de orden mayor y menor.

En la novela infantil El peaje fantasma , el dodecaedro regular aparece como un personaje en el mundo de las matemáticas. Cada cara del dodecaedro regular describe las distintas expresiones faciales , girando hacia adelante según sea necesario para adaptarse a su estado de ánimo. ^{[ cita requerida ]}

En la naturaleza y supramoléculas

El cocolitóforo fósil Braarudosphaera bigelowii (ver figura), un alga fitoplanctónica costera unicelular , tiene una cubierta de carbonato de calcio con una estructura dodecaédrica regular de unos 10 micrómetros de diámetro. ^[27]

Algunos cuasicristales y jaulas tienen forma dodecaédrica (véase la figura). También se dice que algunos cristales regulares, como el granate y el diamante , presentan un hábito "dodecaédrico" , pero esta afirmación en realidad se refiere a la forma de dodecaedro rómbico . ^{[28] [26]}

Forma del universo

Se han propuesto varios modelos para la geometría global del universo. Estas propuestas incluyen el espacio dodecaédrico de Poincaré , un espacio de curvatura positiva que consiste en un dodecaedro regular cuyas caras opuestas se corresponden (con un pequeño giro). Este fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y colegas en 2003, ^{[29] [30]} y una orientación óptima en el cielo para el modelo fue estimada en 2008. ^[31]

En el cuento de Bertrand Russell de 1954 "La pesadilla del matemático: la visión del profesor Squarepunt", el número 5 decía: "Soy el número de dedos de una mano. Hago pentágonos y pentagramas. Y sin mí, los dodecaedros no podrían existir; y, como todo el mundo sabe, el universo es un dodecaedro. Por lo tanto, sin mí, no podría haber universo". ^{[ cita requerida ]}

Gráfico dodecaédrico

La propiedad hamiltoniana del grafo dodecaédrico y el juego matemático icosiano

Según el teorema de Steinitz , el grafo puede representarse como el esqueleto de un poliedro; en términos generales, un armazón de un poliedro. Un grafo de este tipo tiene dos propiedades. Es plano , lo que significa que las aristas de un grafo están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas. También es un grafo triconexo , lo que significa que, siempre que un grafo con más de tres vértices, y se eliminan dos de los vértices, las aristas permanecen conectadas. ^{[32] [33]} El esqueleto de un dodecaedro regular puede representarse como un grafo, y se llama grafo dodecaédrico , un grafo platónico . ^[34]

Este gráfico también se puede construir como el gráfico de Petersen generalizado , donde los vértices de un decágono están conectados a los de dos pentágonos, un pentágono conectado a los vértices impares del decágono y el otro pentágono conectado a los vértices pares. ^[35] Geométricamente, esto se puede visualizar como el cinturón ecuatorial de diez vértices del dodecaedro conectado a las dos regiones polares de 5 vértices, una en cada lado. ${\displaystyle G(10,2)}$

El alto grado de simetría del polígono se replica en las propiedades de este grafo, que son distancia transitiva , distancia regular y simétrica . El grupo de automorfismos tiene orden ciento veinte. Los vértices se pueden colorear con 3 colores, al igual que las aristas, y el diámetro es cinco. ^[36]

El grafo dodecaédrico es hamiltoniano , lo que significa que un camino visita todos sus vértices exactamente una vez. El nombre de esta propiedad se debe a William Rowan Hamilton , quien inventó un juego matemático conocido como el juego icosiano . El objetivo del juego era encontrar un ciclo hamiltoniano a lo largo de los bordes de un dodecaedro. ^[37]

Véase también

• 120 células , un policoron regular (politopo 4D cuya superficie consta de ciento veinte células dodecaédricas)
• Braarudosphaera bigelowii - Un cocolitóforo con forma de dodecaedro (un alga fitoplanctónica unicelular ).
• Dodecaedrano (molécula)
• Dodecaedro de pentakis
• Dodecaedro romo
• Dodecaedro truncado

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Dodecaedro regular". MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3o5x – doe".
• Red editable e imprimible de un dodecaedro con vista 3D interactiva
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de Origami – Modelos realizados con Origami Modular
• Dodecaedro: modelo 3D que funciona en tu navegador
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
  • VRML #Dodecaedro regular
• KJM MacLean, Un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
• Visualización tridimensional del dodecaedro
• Stella: Polyhedron Navigator: Software utilizado para crear algunas de las imágenes de esta página.
• Cómo hacer un dodecaedro a partir de un cubo de poliestireno
• Los elementos griegos, indios y chinos: teoría de los siete elementos