120 celdas

Análogo tetradimensional del dodecaedro.

Neto

En geometría , el de 120 celdas es el politopo regular convexo de 4 (análogo de cuatro dimensiones de un sólido platónico ) con el símbolo de Schläfli {5,3,3}. También se le llama C ₁₂₀ , dodecaplex (abreviatura de "complejo dodecaédrico"), hiperdodecaedro , polidodecaedro , hecatonicosachoron , dodecacontachoron ^[1] y hecatonicosaedroide . ^[2]

El límite de las 120 celdas está compuesto por 120 celdas dodecaédricas y 4 se encuentran en cada vértice. Juntos forman 720 caras pentagonales , 1200 aristas y 600 vértices. Es el análogo tetradimensional del dodecaedro regular , ya que así como un dodecaedro tiene 12 facetas pentagonales, con 3 alrededor de cada vértice, el dodecaplex tiene 120 facetas dodecaédricas, con 3 alrededor de cada borde. ^[a] Su politopo dual es el de 600 celdas .

Geometría

Las 120 celdas incorporan las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones (excepto los polígonos {7} y ​​superiores). ^[b] Como sexto y más grande 4 politopo convexo regular, ^[c] contiene instancias inscritas de sus cuatro predecesores (recursivamente). También contiene 120 instancias inscritas del primero de la secuencia, el de 5 celdas , ^[d] que no se encuentra en ninguno de los demás. ^{[4] La de 120 celdas es una} navaja suiza de cuatro dimensiones : contiene uno de todo.

Es desalentador pero instructivo estudiar las 120 celdas, porque contiene ejemplos de cada relación entre todos los politopos regulares convexos que se encuentran en las primeras cuatro dimensiones. Por el contrario, sólo puede entenderse comprendiendo primero a cada uno de sus predecesores y la secuencia de simetrías cada vez más complejas que exhiben. ^[5] Es por eso que Stillwell tituló su artículo sobre los 4 politopos y la historia de las matemáticas ^[6] de más de 3 dimensiones La historia de las 120 celdas . ^[7]

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas naturales para un 4 politopo centrado en el origen del 4 espacio ocurren en diferentes marcos de referencia, dependiendo del radio largo (centro a vértice) elegido.

√8 coordenadas de radio

Las 120 celdas con radio largo √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 tienen una longitud de borde 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0,764.

En este marco de referencia, sus 600 coordenadas de vértice son las { permutaciones } y [ permutaciones pares ] de lo siguiente: ^[8]

donde φ (también llamada 𝝉) ^[f] es la proporción áurea ,1 + √ 5/2≈ 1,618.

Coordenadas del radio unitario

La unidad de radio de 120 celdas tiene una longitud de borde1/φ ² √ 2≈ 0,270.

En este marco de referencia, el vértice de 120 celdas se encuentra en la orientación estándar, y sus coordenadas ^[9] son ​​las { permutaciones } y [ permutaciones pares ] en la columna izquierda a continuación:

La tabla proporciona las coordenadas de al menos una instancia de cada 4 politopos, pero las 120 celdas contienen múltiplos de cinco instancias inscritas de cada uno de sus 4 politopos precursores, que ocupan diferentes subconjuntos de sus vértices. Las 120 celdas (600 puntos) son el casco convexo de 5 600 celdas disjuntas (120 puntos). Cada 600 celdas (120 puntos) es el casco convexo de 5 24 celdas disjuntas (24 puntos), por lo que 120 celdas es el casco convexo de 25 24 celdas disjuntas. Cada 24 celdas es el casco convexo de 3 16 celdas disjuntas (8 puntos), por lo que 120 celdas es el casco convexo de 75 16 celdas disjuntas. Excepcionalmente, el (600 puntos) 120 celdas es el casco convexo de 120 5 celdas disjuntas (5 puntos). ^[k]

Acordes

Polígonos de círculo máximo de 120 celdas, que se encuentran en los planos centrales invariantes de sus rotaciones isoclínicas ^[o] . Las aristas de 120 celdas de longitud 𝜁 ≈ 0,270 ocurren solo en el gran hexágono irregular rojo , que también tiene aristas de longitud √ 2,5 . Los 1200 bordes de las 120 celdas no forman polígonos de círculo máximo por sí mismos, pero al alternarlos con √ 2,5 bordes de 5 celdas regulares inscritas ^[d] forman 400 grandes hexágonos irregulares. ^[p] Las 120 celdas también contienen un compuesto de varios de estos polígonos de círculo máximo en el mismo plano central, ilustrados por separado. ^[q] Una implicación de la composición es que los bordes y las rotaciones características ^[r] del hipercubo regular de 5 celdas, el hipercubo de 8 celdas, el de 24 celdas y el de 120 celdas se encuentran en los mismos planos de rotación, el Planos centrales hexagonales de las 24 celdas. ^[s]

El de 600 puntos y 120 celdas tiene las 8 longitudes de cuerdas distintas del de 120 puntos y 600 celdas, además de dos acordes importantes adicionales: sus propios bordes más cortos y los bordes de sus 120 celdas regulares inscritas. ^[d] Estas dos cuerdas adicionales le dan al 120 celdas su rotación isoclínica característica , ^[ab] además de todas las rotaciones de los otros 4 politopos regulares que hereda. ^[14] También le dan al polígono de 120 celdas un característico polígono de gran círculo: un gran hexágono irregular en el que tres bordes de 120 celdas se alternan con tres bordes de 5 celdas. ^[pag]

Los bordes de las 120 celdas no forman polígonos de círculo máximo regulares en un solo plano central como lo hacen los bordes de las 600 celdas, 24 celdas y 16 celdas. Al igual que los bordes del teseracto de 5 y 8 celdas , en su lugar forman polígonos de Petrie en zigzag . ^[aa] El polígono de Petrie de 120 celdas es un triacontagon {30} polígono sesgado en zig-zag . ^[C.A]

Dado que las 120 celdas tienen una circunferencia de 30 aristas, tiene 15 longitudes de cuerda distintas, que van desde la longitud de su arista hasta su diámetro. ^[ai] Cada 4 politopo regular convexo está inscrito en las 120 celdas, y las 15 cuerdas enumeradas en las filas de la siguiente tabla son todas las cuerdas distintas que componen los 4 politopos regulares y sus polígonos de círculo máximo. ^[Alabama]

Lo primero que hay que notar acerca de esta tabla es que tiene ocho columnas, no seis; Además de los seis 4 politopos convexos regulares, dos 4 politopos irregulares ocurren naturalmente en la secuencia de 4 politopos anidados: el desaire de 96 puntos de 24 celdas y el de 480 puntos disminuido de 120 celdas. ^[C]

Lo segundo que debes notar es que cada fila numerada está marcada con un triángulo △, un cuadrado ☐ o un pentágono ✩. Las 15 cuerdas se encuentran en planos centrales de tres tipos: gran cuadrado ☐ planos característicos de las 16 celdas , gran hexágono y gran triángulo △ planos característicos de las 24 celdas , o gran decágono y gran pentágono ✩ planos característicos de las 600 celdas . ^[s]

Los acordes mayores ^[al] #1 - #15 unen pares de vértices que están separados por 1 - 15 aristas en un polígono de Petrie.

La tabla de acordes anotada es una lista completa de materiales para construir el modelo de 120 celdas. Todos los 2 politopos, 3 politopos y 4 politopos de las 120 celdas están hechos de los 15 1 politopos de la tabla.

Los números enteros negros en las celdas de la tabla son recuentos de incidencia de la cuerda de la fila en el politopo de 4 columnas. Por ejemplo, en la fila de acordes n.° 3 , los 72 grandes decágonos de las 600 celdas contienen 720 acordes n.° 3 en total.

Los números enteros rojos son el número de 4 politopos disjuntos arriba (la etiqueta de la columna) que, combinados, forman un total de 120 celdas. Por ejemplo, las 120 celdas son un compuesto de 25 24 celdas disjuntas (25 * 24 vértices = 600 vértices).

Los números enteros verdes son el número de 4 politopos distintos arriba (la etiqueta de la columna) que se pueden seleccionar en las 120 celdas. Por ejemplo, el de 120 celdas contiene 225 celdas distintas de 24 que comparten componentes.

Los números enteros azules en la columna de la derecha son recuentos de incidencia de la cuerda de la fila en cada vértice de 120 celdas. Por ejemplo, en la fila de cuerdas #3 , 24 cuerdas #3 convergen en cada uno de los 600 vértices de las 120 celdas, formando una figura de vértice icosaédrico doble 2{3,5}. En total, 300 acordes mayores ^[al] de 15 longitudes distintas se encuentran en cada vértice de las 120 celdas.

Relaciones entre politopos interiores.

El de 120 celdas es el compuesto de los cinco otros 4 politopos convexos regulares. Todas las relaciones entre los politopos regulares de 1, 2, 3 y 4 ocurren en las 120 celdas. ^[b] Es un rompecabezas de cuatro dimensiones en el que todos esos politopos son las piezas. ^[19] Aunque hay muchas secuencias para construir las 120 celdas juntando esas partes, en última instancia, solo encajan de una manera. El de 120 celdas es la solución única para la combinación de todos estos politopos. ^[7]

El 1-politopo regular ocurre en solo 15 longitudes distintas en cualquiera de los politopos componentes de las 120 celdas. ^[Alabama]

Sólo 4 de esos 15 acordes ocurren en 16 celdas, 8 celdas y 24 celdas. Las cuatro cuerdas hipercúbicas √ 1 , √ 2 , √ 3 y √ 4 son suficientes para construir las 24 celdas y todos sus componentes. El de 24 celdas es la solución única para la combinación de estos 4 acordes y todos los politopos regulares que se pueden construir a partir de ellos.

Se requieren 4 cuerdas adicionales de las 15 para construir las 600 celdas. Las cuatro cuerdas áureas son raíces cuadradas de fracciones irracionales que son funciones de √ 5 . El de 600 celdas es la solución única para la combinación de estos 8 acordes y todos los politopos regulares que se pueden construir a partir de ellos. Entre las partes nuevas que se encuentran en las 600 celdas y que no se encuentran en las 24 celdas se encuentran los pentágonos y los icosaedros.

Los 15 acordes y otras 15 distancias de acordes distintas que se enumeran a continuación se producen en las 120 celdas. Entre las piezas nuevas que se encuentran en el modelo de 120 celdas y que no se encuentran en el de 600 celdas se encuentran las de 5 celdas normales. ^[aw] Las relaciones entre los 5 politopos regulares (el politopo simplex regular de 4) y los otros 4 politopos regulares se manifiestan directamente solo en el de 120 celdas. ^[i] La celda de 120 puntos de 600 puntos es un compuesto de 120 celdas de 5 puntos de 5 puntos disjuntos, y también es un compuesto de 5 celdas de 600 puntos de 120 puntos disjuntos (dos formas diferentes). Cada 5 celdas tiene un vértice en cada una de las 5 600 celdas disjuntas y, por lo tanto, en cada una de las 5 24 celdas disjuntas, 5 8 celdas disjuntas y 5 16 celdas disjuntas. ^[ba] Cada 5 celdas es un anillo (de dos maneras diferentes) que une 5 instancias disjuntas de cada uno de los otros 4 politopos regulares. ^[w]

Rectángulos geodésicos

Los 30 acordes distintos ^[al] que se encuentran en las 120 celdas se presentan como 15 pares de complementos de 180°. Forman 15 tipos distintos de polígonos de círculo máximo que se encuentran en planos centrales de varios tipos: △ planos que intersecan {12} vértices en un dodecágono irregular, ^[q] ✩ planos que intersecan {10} vértices en un decágono regular y ☐ planos que intersectan {4} vértices en varios tipos de rectángulo, incluido un cuadrado.

Cada polígono de círculo máximo se caracteriza por su par de cuerdas complementarias de 180°. Los pares de cuerdas forman polígonos de círculo máximo con bordes opuestos paralelos, por lo que cada gran polígono es un rectángulo o un compuesto de un rectángulo, con las dos cuerdas como los bordes del rectángulo.

Cada uno de los 15 pares de cuerdas complementarias corresponde a un par distinto de secciones poliédricas opuestas de las 120 celdas, comenzando con un vértice, la sección 0 ₀ . La correspondencia es que cada vértice de 120 celdas está rodeado por los vértices de cada sección poliédrica a una distancia uniforme (la longitud de la cuerda), de la misma manera que los vértices de un poliedro rodean su centro a la distancia de su radio largo. ^[bb] El acorde #1 es el "radio" de la sección 1 ₀ , la figura del vértice tetraédrico de las 120 celdas. ^[ar] El acorde #14 es el "radio" de su sección opuesta congruente 29 ₀ . El acorde #7 es el "radio" de la sección central de las 120 celdas, en la que dos secciones opuestas de 15 ₀ coinciden.

Cada tipo de polígono de círculo máximo (cada par distinto de cuerdas complementarias de 180°) desempeña un papel en una rotación isoclínica discreta ^[n] de una clase distinta, ^[r] que lleva sus bordes de gran rectángulo a bordes similares en grandes polígonos de Clifford paralelos. el mismo tipo. ^[bl] Hay una rotación distinta hacia la izquierda y hacia la derecha de esta clase para cada haz de fibras de polígonos de círculo máximo paralelos de Clifford en los planos invariantes de la rotación. ^[bm] En cada clase de rotación, los vértices ^[bk] giran en un tipo distinto de isoclina geodésica circular ^[m] que tiene una circunferencia característica, un poligrama de Clifford sesgado ^[ah] y un número de cuerda, enumerados en la columna Rotación de arriba. ^[ag]

Cascos concéntricos

La proyección ortogonal de las 120 celdas utilizando 3 de estas dimensiones de coordenadas cartesianas forma un casco exterior de un dodecaedro biselado de Norma = √ 8 .
Los cascos 1, 2 y 7 son pares superpuestos de dodecaedros .
El casco 3 es un par de icosidodecaedros .
Los cascos 4 y 5 son cada uno pares de icosaedros truncados .
Los cascos 6 y 8 son pares de rombicosidodecaedros .

Gráfico poliédrico

Considerando la matriz de adyacencia de los vértices que representan el gráfico poliédrico del radio unitario de 120 celdas, el diámetro del gráfico es 15, conectando cada vértice con su negación de coordenadas a una distancia euclidiana de 2 (su circundiámetro), y hay 24 diferentes caminos para conectarlos a lo largo de los bordes del politopo. De cada vértice, hay 4 vértices a la distancia 1, 12 a la distancia 2, 24 a la distancia 3, 36 a la distancia 4, 52 a la distancia 5, 68 a la distancia 6, 76 a la distancia 7, 78 a la distancia 8, 72 a la distancia 9, 64 a la distancia 10, 56 a la distancia 11, 40 a la distancia 12, 12 a la distancia 13, 4 a la distancia 14 y 1 a la distancia 15. La matriz de adyacencia tiene 27 valores propios distintos que van desde1/φ ² √ 2≈ 0,270, con una multiplicidad de 4, a 2, con una multiplicidad de 1. La multiplicidad del valor propio 0 es 18 y el rango de la matriz de adyacencia es 582.

Los vértices del gráfico poliédrico de 120 celdas se pueden colorear en 3 colores .

La gráfica es euleriana y tiene grado 4 en cada vértice. Su conjunto de aristas se puede descomponer en dos ciclos hamiltonianos . ^[24]

Construcciones

El de 120 celdas es el sexto en la secuencia de 6 4 politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). ^[c] Se puede deconstruir en diez instancias distintas (o cinco instancias separadas) de su predecesor (y dual) el de 600 celdas , ^[h] al igual que el de 600 celdas se puede deconstruir en veinticinco instancias distintas (o cinco instancias disjuntas) de su predecesor el de 24 celdas , ^[bn] el de 24 celdas se puede deconstruir en tres instancias distintas de su predecesor el teseracto (8 celdas), y el de 8 celdas se puede deconstruir en dos instancias disjuntas de su predecesor (y dual) el de 16 celdas . ^[27] Las 120 celdas contienen 675 instancias distintas (75 instancias separadas) de las 16 celdas. ^[j]

El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de borde menor. La longitud del borde de las 600 celdas es ~0,618 veces su radio (la proporción áurea inversa ), pero la longitud del borde de las 120 celdas es ~0,270 veces su radio.

Doble 600 celdas

Cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro. También se pueden inscribir cinco tetraedros opuestos (no mostrados).

Dado que el de 120 celdas es el dual del de 600 celdas, se puede construir a partir del de 600 celdas colocando sus 600 vértices en el centro de volumen de cada una de las 600 celdas tetraédricas. De 600 celdas de radio unitario de largo, esto da como resultado 120 celdas de radio largo ligeramente más pequeño (ϕ2^​/√ 8≈ 0,926) y una longitud de borde de exactamente 1/4. Por lo tanto, la unidad de longitud de borde de 120 celdas (con radio largo φ ² √ 2 ≈ 3.702) se puede construir de esta manera justo dentro de una unidad de 600 celdas de radio largo 4. La unidad de radio de 120 celdas (con longitud de borde1/φ ² √ 2≈ 0,270) se puede construir de esta manera justo dentro de un radio largo de 600 celdas√ 8/ϕ2^​≈ 1.080.

Uno de los cinco cubos distintos inscritos en el dodecaedro (líneas discontinuas). Dos tetraedros opuestos (no mostrados) se encuentran inscritos en cada cubo, por lo que diez tetraedros distintos (uno de cada 600 celdas en el de 120 celdas) están inscritos en el dodecaedro. ^[ap]

Recíprocamente, la celda de 120 radio unitario se puede construir justo afuera de una celda de 600 de radio largo ligeramente más pequeño.ϕ2^​/√ 8≈ 0,926, colocando el centro de cada celda dodecaédrica en uno de los 120 vértices de 600 celdas. Las 120 celdas cuyas coordenadas se dan arriba de radio largo √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2.828 y longitud del borde2/ϕ2^​= 3− √ 5 ≈ 0,764 se puede construir de esta manera justo fuera de una celda de 600 de radio largo φ ² , que es menor que √ 8 en la misma proporción de ≈ 0,926; está en la proporción áurea con respecto a la longitud del borde de las 600 celdas, por lo que debe ser φ. Las 120 celdas de longitud de borde 2 y radio largo φ ² √ 8 ≈ 7.405 dadas por Coxeter ^[3] se pueden construir de esta manera justo afuera de 600 celdas de radio largo φ ⁴ y longitud de borde φ ³ .

Por lo tanto, el radio unitario de 120 celdas se puede construir a partir de su predecesor, el radio unitario de 600 celdas, en tres pasos alternativos.

Rotaciones de celdas de duales inscritos.

Dado que las 120 celdas contienen 600 celdas inscritas, contiene su propio dual del mismo radio. Las 120 celdas contienen cinco 600 celdas disjuntas (diez 600 celdas inscritas superpuestas de las cuales podemos distinguir cinco 600 celdas disjuntas de dos maneras diferentes), por lo que puede verse como un compuesto de cinco de su propio dual (en dos caminos). Los vértices de cada 600 celdas inscritas son vértices de las 120 celdas, y (dualmente) cada centro de celda dodecaédrico es un centro de celda tetraédrico en cada una de las 600 celdas inscritas.

Las celdas dodecaédricas de las 120 celdas tienen celdas tetraédricas de las 600 celdas inscritas en ellas. ^[29] Así como el de 120 celdas es un compuesto de cinco de 600 celdas (de dos maneras), el dodecaedro es un compuesto de cinco tetraedros regulares (de dos maneras). Así como se pueden inscribir dos tetraedros opuestos en un cubo y se pueden inscribir cinco cubos en un dodecaedro, en un dodecaedro se pueden inscribir diez tetraedros en cinco cubos: dos conjuntos opuestos de cinco, cada conjunto cubriendo los 20 vértices y cada vértice en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero obviamente no el par opuesto de un cubo). ^[30] Esto muestra que las 120 celdas contienen, entre sus muchas características interiores, 120 compuestos de diez tetraedros , cada uno de los cuales es dimensionalmente análogo al conjunto de 120 celdas como un compuesto de diez 600 celdas. ^[h]

Los diez tetraedros pueden generarse mediante dos rotaciones quirales de cinco clics de cualquier tetraedro. En cada celda dodecaédrica, una celda tetraédrica proviene de cada una de las diez celdas de 600 inscritas en las 120 celdas. ^[bo] Por lo tanto, las 120 celdas completas, con las diez 600 celdas inscritas, se pueden generar a partir de una sola 600 celdas rotando sus celdas.

Aumento

Otra consecuencia de que las 120 celdas contengan 600 celdas inscritas es que es posible construirla colocando 4 pirámides de algún tipo en las celdas de las 600 celdas. Estas pirámides tetraédricas deben ser bastante irregulares en este caso (con el vértice romo en cuatro 'ápices'), pero podemos discernir su forma en la forma en que un tetraedro se encuentra inscrito en un dodecaedro . ^[pb]

Sólo 120 celdas tetraédricas de cada 600 celdas pueden inscribirse en el dodecaedro de 120 celdas; sus otros 480 tetraedros abarcan células dodecaédricas. Cada tetraedro con inscripciones en un dodecaedro es la celda central de un grupo de cinco tetraedros , y los otros cuatro unidos cara a cara a su alrededor se encuentran sólo parcialmente dentro del dodecaedro. El tetraedro central está unido por sus bordes a 12 celdas tetraédricas adicionales, que también se encuentran solo parcialmente dentro del dodecaedro. ^[bq] La celda central está unida por vértice a otras 40 celdas tetraédricas que se encuentran completamente fuera del dodecaedro.

Órbitas de Weyl

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo Weyl de orden 120. ^[32] A continuación se describen 24 celdas como pesos de órbita de cuaterniones de D4 bajo el grupo Weyl W(D4): O(0100): T = { ±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000) : V1 O(0010) : V2 O(0001) : V3 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};}$$

Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Dado tal que y como un intercambio de inside , podemos construir: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• el desaire de 24 celdas ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• el de 600 celdas ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• el de 120 celdas ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• el desaire alternativo de 24 celdas ${\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}$
• el doble desaire de 24 celdas = . ${\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}$

Como configuración

Esta matriz de configuración representa las 120 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en las 120 celdas completas. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. ^{[33] [34]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Aquí está la configuración ampliada con k -elementos de caras y k -figuras. El recuento de elementos diagonales es la relación del orden completo del grupo Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación del espejo.

Visualización

El de 120 celdas consta de 120 celdas dodecaédricas. Para fines de visualización, es conveniente que el dodecaedro tenga caras paralelas opuestas (rasgo que comparte con las células del teseracto y el de 24 células ). Se pueden apilar dodecaedros uno frente al otro en una línea recta doblada en la cuarta dirección formando un círculo máximo con una circunferencia de 10 celdas. A partir de esta construcción inicial de diez celdas, hay dos visualizaciones comunes que se pueden usar: una proyección estereográfica en capas y una estructura de anillos entrelazados. ^[35]

Proyección estereográfica en capas

Las ubicaciones de las células se prestan a una descripción hiperesférica. ^[36] Elija un dodecaedro arbitrario y etiquételo como "polo norte". Doce meridianos del gran círculo (de cuatro celdas de largo) se irradian en 3 dimensiones y convergen en la quinta celda del "polo sur". Este esqueleto representa 50 de las 120 células (2 + 4 × 12).

Comenzando en el Polo Norte, podemos construir las 120 células en 9 capas latitudinales, con alusiones a la topografía terrestre de 2 esferas en la siguiente tabla. Con la excepción de los polos, los centroides de las células de cada capa se encuentran en dos esferas separadas, y los centroides ecuatoriales se encuentran en una gran dos esferas. Los centroides de las 30 células ecuatoriales forman los vértices de un icosidodecaedro , con los meridianos (como se describió anteriormente) pasando por el centro de cada cara pentagonal. Las celdas etiquetadas como "intersticiales" en la siguiente tabla no se encuentran en los círculos máximos de los meridianos.

Las celdas de las capas 2, 4, 6 y 8 están ubicadas sobre las caras de la celda polar. Las celdas de las capas 3 y 7 están ubicadas directamente sobre los vértices de la celda polar. Las celdas de la capa 5 están ubicadas sobre los bordes de la celda polar.

Anillos entrelazados

Dos anillos entrelazados de 120 celdas.

Dos anillos ortogonales en una proyección centrada en celdas

Las 120 celdas se pueden dividir en 12 anillos de gran círculo separados de 10 celdas, formando una fibración de Hopf discreta/cuantizada . ^{[37] [38] [39] [40] [35]} Comenzando con un anillo de 10 celdas, se puede colocar otro anillo a su lado que gire en espiral alrededor del anillo original una revolución completa en diez celdas. Se pueden colocar cinco de estos anillos de 10 celdas adyacentes al anillo de 10 celdas original. Aunque los anillos exteriores forman una espiral alrededor del anillo interior (y entre sí), en realidad no tienen torsión helicoidal . Todos son equivalentes. La espiral es el resultado de la curvatura de 3 esferas. El anillo interior y los cinco anillos exteriores forman ahora un toro sólido de seis anillos y 60 células. Se pueden seguir añadiendo anillos de 10 celdas adyacentes a los anteriores, pero es más instructivo construir un segundo toro, desunido del anterior, a partir de las 60 celdas restantes, que se entrelaza con el primero. El de 120 celdas, al igual que el de 3 esferas, es la unión de estos dos toros ( Clifford ). Si el anillo central del primer toro es un gran círculo meridiano como se define anteriormente, el anillo central del segundo toro es el gran círculo ecuatorial que está centrado en el círculo meridiano. ^[41] También tenga en cuenta que la capa en espiral de 50 celdas alrededor de un anillo central puede ser para diestros o zurdos. Es sólo una cuestión de dividir las celdas en el caparazón de manera diferente, es decir, elegir otro conjunto de grandes círculos disjuntos ( paralelos de Clifford ).

Otras construcciones del gran círculo

Hay otra ruta de gran círculo de interés que pasa alternativamente a través de vértices de celda opuestos y luego a lo largo de un borde. Este camino consta de 6 aristas que se alternan con cuerdas de 6 celdas de diámetro, formando un dodecágono irregular en un plano central. ^[q] Ambas trayectorias de círculo máximo tienen trayectorias de círculo máximo duales en las 600 celdas . El camino cara a cara de 10 celdas de arriba se asigna a un camino de 10 vértices que atraviesa únicamente los bordes en las 600 celdas, formando un decágono . ^[t] La ruta alterna de celda/borde se asigna a una ruta que consta de 12 tetraedros que se encuentran alternativamente cara a cara y luego de vértice a vértice (seis bipirámides triangulares ) en las 600 celdas. Este último camino corresponde a un anillo de seis icosaedros que se encuentran cara a cara en el chato de 24 celdas (o pirámides icosaédricas en el de 600 celdas).

Existe otra ruta de polígono de círculo máximo que es exclusiva de las 120 celdas y no tiene una contraparte dual en las 600 celdas. Este camino consta de 3 bordes de 120 celdas que se alternan con 3 bordes inscritos de 5 celdas (cuerdas n.° 8), formando el gran hexágono irregular con bordes cortos y largos alternos ilustrados arriba. ^[p] Cada borde de 5 celdas atraviesa el volumen de tres celdas dodecaédricas (en un anillo de diez celdas dodecaédricas unidas por caras), hasta la cara pentagonal opuesta del tercer dodecaedro. Este gran hexágono irregular se encuentra en el mismo plano central (en el mismo gran círculo) que el gran dodecágono irregular descrito anteriormente, pero intersecta sólo {6} de los {12} vértices del dodecágono. Hay dos grandes hexágonos irregulares inscritos en cada gran dodecágono irregular, en posiciones alternas. ^[q]

Proyecciones en perspectiva

Como en todas las ilustraciones de este artículo, en estas representaciones solo aparecen los bordes de las 120 celdas. Todos los demás acordes no se muestran. Las complejas partes interiores del modelo de 120 celdas, todas sus inscripciones de 600 celdas, 24 celdas, 8 celdas, 16 celdas y 5 celdas, son completamente invisibles en todas las ilustraciones. El espectador debe imaginarlos.

Estas proyecciones utilizan la proyección en perspectiva , desde un punto de vista específico en cuatro dimensiones, proyectando el modelo como una sombra 3D. Por lo tanto, las caras y celdas que parecen más grandes simplemente están más cerca del punto de vista 4D.

Una comparación de las proyecciones en perspectiva del dodecaedro 3D con 2D (abajo a la izquierda) y las proyecciones del 4D de 120 celdas con 3D (abajo a la derecha) demuestra dos métodos de proyección en perspectiva relacionados, por analogía dimensional. Los diagramas de Schlegel utilizan la perspectiva para mostrar la profundidad de la dimensión que ha sido aplanada, eligiendo un punto de vista sobre una celda específica, haciendo así que esa celda sea la envoltura del modelo, mientras que otras celdas parecen más pequeñas dentro de ella. Las proyecciones estereográficas utilizan el mismo enfoque, pero se muestran con bordes curvos, lo que representa el politopo esférico como un mosaico de tres esferas . Ambos métodos distorsionan el objeto, porque las celdas en realidad no están anidadas una dentro de la otra (se encuentran cara a cara) y todas son del mismo tamaño. Existen otros métodos de proyección en perspectiva, como las animaciones giratorias anteriores, que no exhiben este tipo particular de distorsión, sino algún otro tipo de distorsión (como deben hacerlo todas las proyecciones).

Proyecciones ortogonales

Las proyecciones ortogonales de 120 celdas se pueden realizar en 2D definiendo dos vectores de base ortonormales para una dirección de vista específica. La proyección de 30 gonales fue realizada en 1963 por BL Chilton. ^[43]

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

También se pueden realizar proyecciones ortogonales tridimensionales con tres vectores de base ortonormales, mostrarlas como un modelo 3D y luego proyectar una determinada perspectiva en 3D para una imagen 2D.

Poliedros y panales relacionados

H 4 politopos

El de 120 celdas es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría H ₄ [3,3,5]: ^[45]

{p,3,3} politopos

El de 120 celdas es similar a tres 4 politopos regulares : el de 5 celdas {3,3,3} y el teseracto {4,3,3} del 4 espacio euclidiano, y el panal de mosaico hexagonal {6,3,3 } del espacio hiperbólico. Todos estos tienen una figura de vértice tetraédrico {3,3}:

{5,3,p} politopos

Las 120 células son parte de una secuencia de 4 politopos y panales con células dodecaédricas :

Tetraédricamente disminuido de 120 celdas.

Dado que las 120 celdas de 600 puntos tienen 5 600 celdas inscritas disjuntas, se puede disminuir eliminando una de esas 600 celdas de 120 puntos, creando un politopo irregular de 480 puntos. ^[bt]

En el dodecaedro tetraédricamente disminuido , 4 vértices están truncados formando triángulos equiláteros. Las 12 caras del pentágono pierden un vértice, convirtiéndose en trapecios.

Cada celda dodecaédrica de las 120 celdas se reduce mediante la eliminación de 4 de sus 20 vértices, creando un poliedro irregular de 16 puntos llamado dodecaedro tetraédricamente disminuido porque los 4 vértices eliminados formaron un tetraedro inscrito en el dodecaedro. Dado que la figura del vértice del dodecaedro es el triángulo, cada vértice truncado se reemplaza por un triángulo. Las 12 caras del pentágono se reemplazan por 12 trapecios, ya que se elimina un vértice de cada pentágono y dos de sus aristas se reemplazan por la cuerda diagonal del pentágono. ^[aq] El dodecaedro tetraédricamente disminuido tiene 16 vértices y 16 caras: 12 caras trapezoidales y cuatro caras de triángulos equiláteros.

Dado que la figura del vértice de las 120 celdas es el tetraedro, ^[pb] cada vértice truncado se reemplaza por un tetraedro, dejando 120 celdas de dodecaedro tetraédricamente disminuido y 120 celdas de tetraedro regular. El dodecaedro regular y el dodecaedro tetraédricamente disminuido tienen 30 aristas, y el dodecaedro regular de 120 celdas y el tetraédrico disminuido de 120 celdas tienen 1200 aristas.

Las 120 celdas disminuidas de 480 puntos pueden denominarse 120 celdas disminuidas tetraédricamente porque sus celdas están disminuidas tetraédricamente, o las 120 celdas disminuidas de 600 celdas porque los vértices eliminados formaron una celda de 600 inscritas en las 120 celdas, o incluso las 5 celdas regulares disminuyeron en 120 celdas porque al eliminar los 120 vértices se elimina un vértice de cada una de las 120 5 celdas regulares inscritas, dejando 120 tetraedros regulares. ^[d]

Davis 120 celdas

La Davis de 120 celdas , introducida por Davis (1985), es una variedad hiperbólica compacta de 4 dimensiones obtenida identificando las caras opuestas de las 120 celdas, cuya cubierta universal da el panal regular {5,3,3,5} de 4 -espacio hiperbólico dimensional.

Ver también

• Familia uniforme de 4 politopos con simetría [5,3,3]
• 57 celdas : un politopo regular abstracto de 4 construido a partir de 57 hemidodecaedros.
• 600 celdas : el politopo dual de 4 celdas al de 120 celdas

Notas

1. En las 120 celdas, 3 dodecaedros y 3 pentágonos se encuentran en cada borde. En cada vértice se encuentran 4 dodecaedros, 6 pentágonos y 4 aristas. El ángulo diédrico (entre hiperplanos dodecaédricos) es de 144°. ^[3]
2. Las 120 celdas contienen instancias de todos los 1 politopos, 2 politopos, 3 politopos y 4 politopos convexos regulares, excepto los polígonos regulares {7} y ​​superiores, la mayoría de los cuales no ocurren. {10} es una excepción notable que ocurre . Varios polígonos sesgados regulares {7} y ​​superiores aparecen en las 120 celdas, en particular {11}, ^[an] {15} ^[ab] y {30}. ^[t]
3. Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido de 4 dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérica alternativa para politopos regulares en el que las 120 celdas son los 4 politopos de 600 puntos: sexto y último en la secuencia ascendente que comienza con los 4 politopos de 5 puntos.

4. 

   En el triacontagrama {30/12}=6{5/2} ,
   seis de las 120 5 celdas regulares disjuntas de longitud de borde √ 2,5 que están inscritas en las 120 celdas aparecen como seis pentagramas, el polígono de Clifford de las 5- celúla . Los 30 vértices comprenden un polígono de Petrie de 120 celdas, ^[t] con 30 aristas en zig-zag (no se muestran) y 3 grandes decágonos inscritos (aristas no mostradas) que se encuentran en Clifford paralelo al plano de proyección. ^[v]

   Inscritas en las 120 celdas de radio unitario hay 120 5 celdas regulares separadas, ^[12] de longitud de borde √ 2,5 . No hay 4 politopos regulares, excepto el de 5 celdas y el de 120 celdas, que contienen cuerdas √ 2,5 (la cuerda #8). ^[e] Las 120 celdas contienen 10 celdas de 600 inscritas distintas que pueden tomarse como 5 celdas de 600 separadas de dos maneras diferentes. Cada acorde √ 2,5 conecta dos vértices en 600 celdas disjuntas y, por lo tanto, en 24, 8 y 16 celdas disjuntas. ^[i] Tanto los bordes de 5 celdas como los de 120 celdas conectan vértices en 600 celdas disjuntas. Los politopos correspondientes del mismo tipo en 600 celdas disjuntas son paralelos a Clifford y están separados por √ 2,5 . Cada 5 celdas contiene un vértice de cada una de las 5 600 celdas disjuntas. ^[w] .
5. Se pueden inscribir varias instancias de cada uno de los 4 politopos convexos regulares en cualquiera de sus 4 politopos sucesores más grandes, excepto el más pequeño, el regular de 5 celdas, que aparece inscrito solo en el más grande, el de 120 celdas. ^[i] Para comprender la forma en que los 4 politopos anidan entre sí, es necesario distinguir cuidadosamente las instancias múltiples disjuntas de las instancias múltiples meramente distintas de 4 politopos inscritos. Por ejemplo, la celda de 120 puntos de 600 puntos es el casco convexo de un compuesto de 75 celdas de 16 puntos de 8 puntos que están completamente separadas: no comparten vértices y 75 * 8 = 600. Pero también es posible seleccionar 675 16 celdas distintas dentro de las 120 celdas, la mayoría de los pares de las cuales comparten algunos vértices, porque dos celdas concéntricas de 16 radios iguales pueden rotarse entre sí de modo que compartan 2 vértices (un eje), o incluso 4 vértices (un gran plano cuadrado), mientras que los vértices restantes no son coincidentes. ^[j] En el 4-espacio, dos 4-politopos regulares congruentes pueden ser concéntricos pero rotados entre sí de modo que compartan solo un subconjunto común de sus vértices. Solo en el caso del 4-simplex (el 5-celda regular de 5 puntos) ese subconjunto común de vértices siempre debe estar vacío, a menos que sean los 5 vértices. Es imposible rotar dos 4-simplex concéntricos entre sí de manera que algunos, pero no todos, sus vértices coincidan: solo pueden ser completamente coincidentes o completamente disjuntos. Sólo el 4-simplex tiene esta propiedad; el politopo de 16 celdas, y por extensión cualquier politopo regular de 4 más grande, puede estar girado con respecto a sí mismo de manera que el par comparta algunos, pero no todos, sus vértices. Intuitivamente podemos ver cómo esto se deriva del hecho de que sólo el 4-simplex no posee ningún vértice opuesto (cualquier eje central de 2 vértices) que pueda ser invariante después de una rotación. Las 120 celdas contienen 120 5 celdas regulares completamente separadas, que son las únicas 5 celdas regulares inscritas distintas, pero cualquier otro anidamiento de 4 politopos regulares presenta una cierta cantidad de 4 politopos inscritos disjuntos y un número mayor de 4 politopos distintos inscritos. -politopos.
6. (Coxeter 1973) usa la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, , 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
7. Para obtener las 600 coordenadas mediante la multiplicación cruzada de cuaterniones de las coordenadas de estos tres 4 politopos con menos redundancia, es suficiente incluir solo un vértice de las 24 celdas: ( √ 1/2 , √ 1/2 , 0, 0). ^[9]
8. Los 600 vértices de las 120 celdas se pueden dividir en los de 5 600 celdas de 120 vértices inscritas disjuntas de dos maneras diferentes. ^[31] La geometría de esta partición 4D es dimensionalmente análoga a la partición 3D de los 20 vértices del dodecaedro en 5 tetraedros inscritos disjuntos, que también se puede hacer de dos maneras diferentes porque cada celda dodecaédrica contiene dos conjuntos opuestos de 5 inscritos disjuntos. células tetraédricas. Las 120 celdas se pueden dividir de manera análoga al dodecaedro porque cada una de sus celdas dodecaédricas contiene una celda tetraédrica de cada una de las 10 celdas de 600 inscritas.
9. Existe una relación geométrica entre el regular de 5 celdas (4-simplex) y el regular de 16 celdas (4-orthoplex), pero se manifiesta solo indirectamente a través de 3-simplex y 5-orthoplex . Un -simplex está delimitado por +1 vértices y +1 ( −1) facetas -simplex, y no tiene ejes que pasen por el centro y dos vértices. Un -orthoplex está delimitado por vértices y facetas ( −1) -simples , y tiene ejes de radios de longitud. Un cubo está delimitado por vértices y facetas del cubo ( −1 ) y tiene ejes de radios de longitud. ^[ax] Las coordenadas del 4-ortoplex son las permutaciones de , y las coordenadas del 4-espacio de una de sus 16 facetas (un 3-símplex) son las permutaciones de . ^[ay] Las coordenadas del 5-ortoplex son las permutaciones de , y las coordenadas del 5-espacio de una de sus 32 facetas (un 4-simplex) son las permutaciones de . ^[Arizona] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{(n-1)}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$
10. Las 120 celdas tienen 600 vértices distribuidos simétricamente en la superficie de una 3 esferas en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Los vértices vienen en pares de antípodas, y las líneas que atraviesan pares de vértices de antípodas definen los 300 rayos [o ejes] de las 120 celdas. Llamaremos base a cualquier conjunto de cuatro rayos (o direcciones) mutuamente ortogonales . Los 300 rayos forman 675 bases, cada rayo ocurre en 9 bases y es ortogonal a sus 27 compañeros distintos en estas bases y a ningún otro rayo. Los rayos y las bases constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 300 ₉ 675 ₄ para indicar que cada rayo pertenece a 9 bases, y cada base contiene 4 rayos. ^[28] Cada base corresponde a 16 celdas distintas que contienen cuatro ejes ortogonales y seis grandes cuadrados ortogonales. Se pueden seleccionar 75 16 celdas completamente separadas que contienen los 600 vértices de las 120 celdas de las 675 16 celdas distintas. ^[mi]
11. Las 120 celdas se pueden construir como un compuesto de 5 600 celdas disjuntas, ^[h] o 25 24 celdas disjuntas, o 75 16 celdas disjuntas, o 120 5 celdas disjuntas. Excepto en el caso de las 120 5 celdas, ^[e] estos no son recuentos de todos los distintos 4 politopos regulares que se pueden encontrar inscritos en las 120 celdas, solo los recuentos de 4 politopos inscritos completamente disjuntos que cuando se combinan Forman el casco convexo de las 120 celdas. Las 120 celdas contienen 10 600 celdas distintas, 225 24 celdas distintas y 675 16 celdas distintas. ^[j]
12. Todas las isoclinas de 3 esferas de la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia ; Las rotaciones simples de politopos de radio unitario tienen lugar en isoclinas de 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas distintas a la circunferencia. La rotación característica de un politopo regular de 4 es la rotación isoclínica en la que los planos centrales que contienen sus bordes son planos de rotación invariantes. Los bordes de 16 y 24 celdas giran en isoclinas de 4𝝅 de circunferencia. El borde de 600 celdas gira en isoclinas de 5𝝅 de circunferencia. ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$
13. Una isoclina es un gran círculo helicoidal, curvo y cerrado que atraviesa las cuatro dimensiones. A diferencia de un círculo máximo ordinario, no se encuentra en un solo plano central, pero como cualquier círculo máximo, cuando se ve dentro del espacio tridimensional curvo de la superficie límite del politopo de 4, es una línea recta , una geodésica . Tanto los círculos máximos ordinarios como los círculos máximos isoclinos son helicoidales en el sentido de que haces paralelos de círculos máximos están unidos y forman espirales entre sí, pero ninguno de ellos está realmente retorcido (no tienen torsión inherente). Su curvatura no es suya, sino una propiedad de la curvatura natural de las 3 esferas, dentro de cuyo espacio curvo son segmentos de línea recta finitos (cerrados). ^[l] Para evitar confusiones, siempre nos referimos a una isoclina como tal y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano. ^[l]
14. Una rotación isoclínica ^{[o] es una} doble rotación en ángulo de equi-rotación en dos planos de rotación centrales invariantes completamente ortogonales al mismo tiempo. Cada rotación isoclínica discreta tiene dos ángulos de arco característicos (longitudes de cuerda), su ángulo de rotación y su ángulo isoclino . ^[r] En cada paso de rotación incremental desde el vértice al vértice vecino, cada plano de rotación invariante gira según el ángulo de rotación y también se inclina hacia los lados (como al lanzar una moneda al aire) según un ángulo de rotación igual. ^[bg] Por lo tanto, cada vértice gira en un círculo máximo en un incremento de ángulo de rotación, mientras que simultáneamente todo el círculo máximo gira con el círculo máximo completamente ortogonal en un incremento de ángulo de rotación igual. ^[bj] El producto de estos dos incrementos de rotación del círculo máximo simultáneos e iguales es un desplazamiento general de cada vértice por el incremento del ángulo isoclino (la longitud de la cuerda isoclina). Por lo tanto, el ángulo de rotación mide el desplazamiento del vértice en el marco de referencia de un círculo máximo en movimiento, y también el desplazamiento lateral del círculo máximo en movimiento (la distancia entre el polígono del círculo máximo y el polígono del círculo máximo paralelo de Clifford adyacente al que lo lleva la rotación) en el sistema de referencia estacionario. La longitud de la cuerda isoclina es el desplazamiento total del vértice en el sistema de referencia estacionario, que es una cuerda oblicua entre los dos polígonos del círculo máximo adyacentes (la distancia entre sus vértices correspondientes en la rotación).
15. Se requieren dos ángulos para especificar la separación entre dos planos en 4 espacios. ^[11] Si los dos ángulos son idénticos, los dos planos se llaman isoclínicos (también paralelo de Clifford ) y se cortan en un solo punto. En rotaciones dobles , los puntos giran dentro de planos de rotación centrales invariantes en algún ángulo, y todo el plano de rotación central invariante también se inclina hacia los lados (en un plano de rotación central invariante ortogonal) en algún ángulo. Por lo tanto, cada vértice atraviesa una curva helicoidal suave llamada isoclina ^[m] entre dos puntos en diferentes planos centrales, mientras atraviesa un círculo máximo ordinario en cada uno de dos planos centrales ortogonales (a medida que los planos se inclinan con respecto a sus planos originales). Si los dos ángulos ortogonales son idénticos, la distancia recorrida a lo largo de cada círculo máximo es la misma y la doble rotación se llama isoclínica (también desplazamiento de Clifford ). Una rotación que acerca planos centrales isoclínicos es una rotación isoclínica. ^[norte]
16. El plano central invariante de la rotación isoclínica característica de 120 celdas ^[ab] contiene un gran hexágono irregular {6} con aristas alternas de dos longitudes diferentes: 3 aristas de 120 celdas de longitud 𝜁 = √ 0.𝜀 (cuerdas #1 ), y 3 aristas regulares inscritas de 5 celdas de longitud √ 2,5 (cuerdas #8). Estos son, respectivamente, los bordes más corto y más largo de cualquier 4 politopo regular. ^[anuncio] Cada gran hexágono irregular se encuentra completamente ortogonal a otro gran hexágono irregular. ^[ae] Las 120 celdas contienen 400 grandes hexágonos irregulares distintos (200 pares completamente ortogonales), que se pueden dividir en 100 grandes hexágonos irregulares disjuntos (una fibración discreta de las 120 celdas) de cuatro maneras diferentes. Cada fibración tiene su rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta en 50 pares de planos centrales invariantes completamente ortogonales. Dos grandes hexágonos irregulares ocupan el mismo plano central, en posiciones alternas, del mismo modo que dos grandes pentágonos ocupan un gran plano decágono. Los dos grandes hexágonos irregulares forman un gran dodecágono irregular, un polígono de círculo máximo compuesto de 120 celdas que se ilustra por separado. ^[q]

17. 

    Las 120 celdas tienen 200 planos centrales que intersecan cada uno de ellos con 12 vértices, formando un dodecágono irregular con aristas alternas de dos longitudes diferentes. En el dodecágono están inscritos dos grandes hexágonos regulares (negro), ^[at] dos grandes hexágonos irregulares ( rojo ), ^[p] y cuatro grandes triángulos equiláteros (solo se muestra uno, en verde ).

    Las 120 celdas tienen un dodecágono irregular {12} polígono de círculo máximo de 6 aristas (cuerdas n.° 1 marcadas con 𝜁 ) que se alternan con 6 diámetros de celda de dodecaedro ( cuerdas n.° 4 ). ^[ap] El gran dodecágono irregular contiene dos grandes hexágonos irregulares ( rojo ) inscritos en posiciones alternas. ^[p] Dos grandes hexágonos regulares con aristas de un tercer tamaño ( √ 1 , la cuerda #5) también están inscritos en el dodecágono. ^[en] Las doce aristas del hexágono regular (cuerdas n.° 5), las seis aristas de diámetro de celda del dodecágono (cuerdas n.° 4) y las seis aristas de 120 celdas del dodecágono (acordes n.° 1) son todas cuerdas del mismo gran círculo, pero las otras 24 aristas en zig-zag (cuerdas #1, no mostradas) que unen las seis aristas #4 del dodecágono no se encuentran en este plano del círculo máximo. Los planos del gran dodecágono irregular de 120 celdas, sus planos del gran hexágono irregular, sus planos del gran hexágono regulares y sus planos del gran triángulo equilátero son el mismo conjunto de planos del dodecágono. Las 120 celdas contienen 200 de estos {12} planos centrales (100 pares completamente ortogonales), los mismos 200 planos centrales que contienen cada uno un hexágono que se encuentran en cada una de las 10 600 celdas inscritas. ^[como]
18. Cada clase de rotación isoclínica discreta ^[n] se caracteriza por sus ángulos de rotación e isoclina y por qué conjunto de planos centrales paralelos de Clifford son sus planos de rotación invariantes. La rotación isoclínica característica de un 4 politopo es la clase de rotación isoclínica discreta en la que el conjunto de planos de rotación invariantes contiene los bordes del 4 politopo; hay una rotación distinta hacia la izquierda (y hacia la derecha) para cada conjunto de planos centrales paralelos de Clifford (cada fibración de Hopf de los planos de borde). Si los bordes del politopo de 4 forman círculos máximos regulares, el ángulo de rotación de la rotación característica es simplemente el ángulo del arco del borde (la cuerda del borde es simplemente la cuerda de rotación). Pero en un politopo regular de 4 con una figura de vértice tetraédrica ^[aa] las aristas no forman círculos máximos regulares, sino círculos máximos irregulares en combinación con otra cuerda. Por ejemplo, las aristas de cuerda n.° 1 de las 120 celdas son aristas de un gran dodecágono irregular que también tiene aristas de cuerda n.° 4. ^[q] En tal politopo de 4, el ángulo de rotación no es el ángulo del arco del borde; de hecho, no es necesariamente el arco de ninguna cuerda de vértice. ^[af]
19. Las aristas y las 4𝝅 rotaciones características de las 16 celdas se encuentran en los planos centrales del gran cuadrado ☐. Las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría ${\displaystyle B_{4}}$ . Las aristas y las rotaciones características 5𝝅 de las 600 celdas se encuentran en los planos centrales del gran pentágono ✩ (gran decágono). Las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría ${\displaystyle H_{4}}$ . Los bordes y las rotaciones características ^[l] de los otros 4 politopos regulares, el hipercubo regular de 5 celdas , el de 8 celdas , el de 24 celdas y el de 120 celdas, ^[ab] se encuentran todos en el gran triángulo △ ( gran hexágono) planos centrales. ^[q] En conjunto , estas rotaciones son expresiones de los cuatro grupos de simetría , y . ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{4}}$

20. 

    En el triacontagrama {30/9}=3{10/3} vemos el polígono de Petrie de 120 celdas (en la circunferencia del góno de 30, sin que se muestren los bordes de 120 celdas) como un compuesto de tres paralelos de Clifford de 600 celdas. grandes decágonos (vistos como tres decagramos {10/3} separados) que giran en espiral entre sí. Las aristas de 600 celdas (cuerdas n.° 3) conectan vértices que están separados por 3 aristas de 600 celdas (en un círculo máximo) y 9 aristas de 120 celdas (en un polígono de Petrie). Los tres grandes decágonos disjuntos {10/3} de bordes de 600 celdas delinean un único anillo de 30 tetraedros de hélice de Boerdijk-Coxeter de un 600 celdas inscritas.

    Tanto el de 120 celdas como el de 600 celdas tienen polígonos de Petrie de 30 gon. ^[aj] Son dos hélices oblicuas de 30 góndoles distintas, compuestas por 30 aristas de 120 celdas (cuerdas n.° 1) y 30 aristas de 600 celdas (cuerdas n.° 3) respectivamente, pero se presentan en pares completamente ortogonales que giran en espiral alrededor de la misma Eje del gran círculo de 0 gon. La hélice de Petrie de 120 celdas se enrolla más cerca del eje que la hélice de Petrie de 600 celdas , porque sus 30 bordes son más cortos que los 30 bordes de la de 600 celdas (y zigzaguean en ángulos menos agudos). Un par dual ^[aj] de estas hélices de Petrie de diferentes radios que comparten un eje no tienen ningún vértice en común; están completamente desconectados. ^[am] La hélice de Petrie de 120 celdas (en comparación con la hélice de Petrie de 600 celdas) gira alrededor del eje de 0 góndolas 9 veces (en comparación con 11 veces) en el curso de una órbita circular, formando una inclinación { 30/9}=3 Poligramo {10/3} (frente a un poligrama {30/11} sesgado ). ^[un]
21. En § Decágonos y pentadecagramos de 600 celdas , consulte la ilustración del triacontagrama {30/6}=6{5} .
22. Inscritos en los 3 grandes decágonos paralelos de Clifford de cada polígono helicoidal de Petrie de 120 celdas ^[d] hay 6 grandes pentágonos ^[u] en los que los 6 pentagramas (5 celdas normales) parecen estar inscritos, pero los pentagramas están sesgado (no paralelo al plano de proyección); cada 5 celdas en realidad tiene vértices en 5 planos centrales decágono-pentágono diferentes en 5 600 celdas completamente desunidas.
23. Las 120 5 celdas regulares están completamente separadas. Cada 5 celdas contiene dos pentágonos de Petrie distintos en sus bordes n.° 8, circuitos pentagonales , cada uno de los cuales une 5 600 celdas disjuntas en una rotación isoclínica distinta característica de las 5 celdas. Pero los vértices de dos 5 celdas disjuntas no están unidos por aristas de 5 celdas, por lo que cada circuito distinto de cuerdas n.° 8 se limita a una sola 5 celdas, y no hay otros circuitos de aristas de 5 celdas (cuerdas n.° 8). ) en las 120 celdas.
24. Cada isoclina de pentadecagramo blanco o negro actúa como isoclina derecha en una rotación isoclina derecha distinta y como isoclina izquierda en una rotación isoclina izquierda distinta, pero las isoclinas no tienen quiralidad inherente. ^[m] Ninguna isoclina es a la vez una isoclina derecha e izquierda de la misma rotación discreta de izquierda a derecha (la misma fibración).
25. La rotación isoclínica característica de las 120 celdas, en los planos invariantes en los que se encuentran sus bordes (cuerdas n.° 1), lleva esos bordes a bordes similares en los planos centrales paralelos de Clifford. Dado que una rotación isoclínica ^[n] es una rotación doble (en dos planos centrales invariantes completamente ortogonales a la vez), en cada paso de rotación incremental desde el vértice al vértice vecino los vértices viajan entre planos centrales en isoclinas de círculo máximo helicoidales, no en círculos máximos ordinarios. , ^[m] sobre una cuerda isoclina que en esta rotación particular es una cuerda #4 con una longitud de arco de 44,5°. ^{[antes de Cristo]}
26. La isoclina característica ^[m] de las 120 celdas es un pentadecagrama sesgado de 15 cuerdas n.º 4. Las sucesivas cuerdas #4 de cada pentadecagramo se encuentran en diferentes △ planos centrales que están inclinados isoclínicamente entre sí a 12°, lo que es 1/30 de un círculo máximo (pero no el arco de un borde de 120 celdas, la cuerda #1) . ^[af] Esto significa que los dos planos están separados por dos ángulos iguales de 12°, ^[o] y están ocupados por grandes polígonos adyacentes paralelos de Clifford (grandes hexágonos irregulares) cuyos vértices correspondientes están unidos por cuerdas oblicuas #4. Los vértices sucesivos de cada pentadecagrama son vértices en 5 celdas completamente separadas. Cada pentadecagrama es una ruta de cuerda n.° 4 ^[aa] que visita 15 vértices que pertenecen a tres 5 celdas diferentes. Los dos pentadecagramos que se muestran en la proyección {30/8}=2{15/4} ^[ab] visitan las seis celdas de 5 que aparecen como seis pentagramas separados en la proyección {30/12}=6{5/2}. ^[d]
27. Las figuras de 5 celdas, 8 celdas y 120 celdas tienen figuras de vértice tetraédricas. En un politopo de 4 con una figura de vértice tetraédrico, un camino a lo largo de los bordes no se encuentra en un gran círculo ordinario en un solo plano central: cada borde sucesivo se encuentra en un plano central diferente al borde anterior. En el modelo de 120 celdas, el camino circunferencial de 30 aristas a lo largo de las aristas sigue un polígono de Petrie sesgado en zig-zag, que no es un círculo máximo. Sin embargo, existe un camino circunferencial de 15 cuerdas que es un verdadero gran círculo geodésico a través de esos 15 vértices: pero no es un gran círculo ordinario "plano" de circunferencia 2𝝅𝑟, es una isoclina helicoidal ^[m] que se dobla en un círculo. en dos planos centrales completamente ortogonales a la vez, dando vueltas en cuatro dimensiones en lugar de confinarse a un plano bidimensional. ^[z] El conjunto de cuerdas oblicuas de una isoclina se llama polígono de Clifford . ^[ah]

28. 

    En el triacontagrama {30/8}=2{15/4} , son visibles 2 isoclinas de pentadecagramo
    disjuntas : una isoclina negra y otra blanca (que se muestra aquí en naranja y amarillo tenue) de la rotación isoclínica característica de las 120 células. ^[x] Los bordes del pentadecagrama son cuerdas #4 ^[y] que unen vértices que están separados por 8 vértices en la circunferencia de 30 vértices de esta proyección, el polígono de Petrie en zig-zag. ^[z]

    La rotación isoclínica característica ^[r] de las 120 celdas tiene lugar en los planos invariantes de sus 1200 bordes ^[aa] y los 1200 bordes opuestos de sus 5 celdas regulares inscritas . ^[p] Hay cuatro rotaciones isoclínicas derecha (e izquierda) características distintas, cada par izquierda-derecha corresponde a una fibración de Hopf discreta . ^[13] En cada rotación los 600 vértices circulan sobre isoclinas helicoidales de 15 vértices, siguiendo un círculo geodésico ^[m] con 15 cuerdas #4 que forman un pentadecagramo {15/4}. ^[z]

29. 

    El polígono de Petrie de 120 celdas es un triacontagono regular sesgado {30}. ^[ai] Los 30 bordes de la cuerda n.° 1 no se encuentran todos en el mismo polígono de círculo máximo {30}, sino que se encuentran en grupos de 6 (equivalentemente espaciados alrededor de la circunferencia) en 5 polígonos de círculo máximo {12} paralelos a Clifford. ^[q]

    Las 120 celdas contienen 80 polígonos de Petrie de 30 gon distintos de sus 1200 aristas y se pueden dividir en 20 polígonos de Petrie de 30 gon separados. ^[aj] El gon de Petrie de 30 gira alrededor de su eje de gran círculo de 0 gon 9 veces en el curso de una órbita circular, y puede verse como un triacontagrama compuesto {30/9}=3{10/3} de 600- bordes de celda (cuerdas #3) que unen pares de vértices que están separados por 9 vértices en el polígono de Petrie. ^[t] El gramo {30/9} (con sus aristas de cuerda n.° 3) es una secuencia alternativa de los mismos 30 vértices que el góno 30 de Petrie (con sus aristas de cuerda n.° 1).
30. Cada cuerda de √ 2,5 está atravesada por 8 bordes en zig-zag de un góno de Petrie de 30, ^[ac] ninguno de los cuales se encuentra en el gran círculo del gran hexágono irregular. Alternativamente, la cuerda √ 2,5 está atravesada por 9 aristas en zig-zag, una de las cuales (sobre su punto medio) se encuentra en el mismo círculo máximo. ^[pag]
31. Aunque son perpendiculares y están unidos (como eslabones adyacentes en una cadena enseñada), los grandes polígonos completamente ortogonales también son paralelos y se encuentran exactamente opuestos entre sí en el politopo de 4, en planos que no se cruzan excepto en un punto, el centro común. de los dos círculos enlazados.
32. En las rotaciones isoclínicas de 120 celdas, el ángulo del arco de rotación es de 12 ° (1/30 de un círculo), no el arco de 15,5 ~ ° de la cuerda del borde n.° 1. Independientemente de qué planos centrales sean los planos de rotación invariantes, cualquier rotación isoclínica de 120 celdas de 12° llevará el gran polígono de cada plano central a un gran polígono congruente en un plano central paralelo de Clifford que está a 12° de distancia. Los grandes polígonos paralelos de Clifford adyacentes (de todo tipo) están completamente separados y sus vértices más cercanos están conectados por dos aristas de 120 celdas (cuerdas n.° 1 con una longitud de arco de 15,5 ~ °). El ángulo de rotación de 12° no es el arco de ninguna cuerda de vértice a vértice en las 120 celdas. Ocurre solo como los dos ángulos iguales entre planos centrales paralelos de Clifford adyacentes , ^[o] y es la separación entre planos de rotación adyacentes en todas las rotaciones isoclínicas de las 120 celdas (no solo en su rotación característica).
33. Las 120 celdas tienen 7200 desplazamientos de rotación distintos, cada uno con su plano de rotación invariante. Los 7200 planos centrales distintos se pueden agrupar en conjuntos de planos de rotación invariantes paralelos de Clifford de 25 clases distintas de rotaciones (dobles), y generalmente se dan como esos conjuntos. ^[23]
34. La trayectoria de cuerda de una isoclina ^[m] puede denominarse polígono de Clifford de 4 politopos , ya que es la forma de poligrama sesgado de los círculos de rotación atravesados ​​por los vértices de los 4 politopos en su característico desplazamiento de Clifford . ^[o]
35. La circunferencia de 30 aristas de las 120 celdas sigue un polígono de Petrie sesgado, no un polígono de círculo máximo. El polígono de Petrie de cualquier 4 politopo es una hélice en zig-zag que gira en espiral a través del 3 espacio curvo de la superficie del 4 politopo. ^[ak] Las 15 cuerdas numeradas de las 120 celdas ocurren como la distancia entre dos vértices en ese anillo helicoidal de 30 vértices. ^[al] Esas 15 distancias pitagóricas distintas a través de 4 espacios van desde la longitud del borde de 120 celdas que une dos vértices cualesquiera más cercanos en el anillo (la cuerda #1), hasta la longitud del eje de 120 celdas (diámetro) que une dos vértices antípodas (los más distantes) cualesquiera en el anillo (el acorde #15).
36. El sesgo regular de 30 gon es el polígono de Petrie de 600 celdas y su dual el de 120 celdas. Los polígonos de Petrie de las 120 celdas ocurren en las 600 celdas como duales de los anillos de hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas (los polígonos de Petrie de las 600 celdas): ^[una] conexión de sus 30 centros de celdas tetraédricas produce el Petrie polígonos del dual de 120 celdas, como lo observó Rolfdieter Frank (alrededor de 2001). Así descubrió que el conjunto de vértices de las 120 celdas se divide en 20 polígonos de Petrie que no se cruzan. Este conjunto de 20 polígonos sesgados paralelos de Clifford disjuntos es una fibración de Hopf discreta de 120 celdas (al igual que sus 20 anillos duales de 30 celdas son una fibración discreta de 600 celdas ). ^[t]
37. El polígono de Petrie de un politopo (poliedro) de 3 con caras triangulares (p. ej., un icosaedro) puede verse como una franja lineal de caras unidas por los bordes dobladas formando un anillo. Dentro de esa franja circular de triángulos unidos por bordes (10 en el caso del icosaedro), el polígono de Petrie se puede seleccionar como un polígono sesgado de bordes que zigzaguean (no circulan) a través del espacio 2 de la superficie del poliedro: doblando alternativamente izquierda y derecha, y haciendo slalom alrededor de un eje de círculo máximo que pasa por los triángulos pero no cruza ningún vértice. El polígono de Petrie de un politopo de 4 (policoron) con células tetraédricas (por ejemplo, de 600 células) puede verse como una hélice lineal de células unidas por caras dobladas formando un anillo: un anillo de hélice de Boerdijk-Coxeter . Dentro de esa hélice circular de tetraedros unidos por caras (30 en el caso de las 600 celdas), el polígono sesgado de Petrie se puede distinguir como una hélice de bordes que zigzaguean (no circulan) a través del espacio tridimensional de la superficie del policorón: se dobla alternativamente hacia la izquierda y hacia la derecha y gira en espiral alrededor de un eje de círculo máximo que pasa por los tetraedros pero no cruza ningún vértice.
38. Las 120 celdas en sí contienen más cuerdas que las 15 cuerdas numeradas del 1 al 15, pero las cuerdas adicionales ocurren solo en el interior de las 120 celdas, no como bordes de ninguno de los seis politopos convexos regulares de 4 o sus anillos característicos del gran círculo. Las 15 cuerdas mayores están numeradas así porque la cuerda # n conecta dos vértices que están separados por n longitudes de arista en un polígono de Petrie. Hay 30 distancias cordales distintas de 4 espacios entre los vértices de las 120 celdas (15 pares de complementos de 180°), incluido el número 15, el diámetro de 180° (y su complemento, la cuerda de 0°). En este artículo, nombramos los 15 acordes menores no numerados por sus ángulos de arco, por ejemplo, 41,4~° que, con una longitud de √ 0,5 , se sitúa entre los acordes n.º 3 y n.º 4.
39. "En un punto de contacto, [los elementos de un politopo regular y los elementos de su dual en el que está inscrito de alguna manera] se encuentran en subespacios completamente ortogonales del hiperplano tangente a la esfera [de reciprocidad], por lo que su único común punto es el punto de contacto mismo.... De hecho, los [diversos] radios ₀ 𝑹, ₁ 𝑹, ₂ 𝑹, ... determinan los politopos... cuyos vértices son los centros de los elementos 𝐈𝐈 ₀ , 𝐈𝐈 ₁ , 𝐈𝐈 ₂ , ... del politopo original." ^[dieciséis]

40. 

    El polígono de Petrie de las 600 celdas inscritas se puede ver en esta proyección al plano de un triacontagrama {30/11}, 30 gramos de cuerdas #11. El Petrie de 600 células es un anillo helicoidal que gira alrededor de su propio eje 11 veces. Esta proyección a lo largo del eje del cilindro anular muestra los 30 vértices separados 12° alrededor de la sección transversal circular del cilindro, con cuerdas n.º 11 que conectan cada 11.º vértice del círculo. Los bordes de 600 celdas (cuerdas n.° 3) que son los bordes del polígono de Petrie no se muestran en esta ilustración, pero se podrían dibujar alrededor de la circunferencia, conectando cada tercer vértice.

    El polígono de Petrie de 600 celdas es un anillo helicoidal que gira alrededor de su eje de círculo máximo de 0 góndolos 11 veces en el transcurso de una órbita circular. Proyectado al plano completamente ortogonal al plano de 0 gon, el polígono de Petrie de 600 celdas puede verse como un triacontagrama {30/11} de 30 cuerdas #11 que unen pares de vértices que están separados por 11 vértices en la circunferencia del proyección. ^[17] El gramo {30/11} (con sus aristas de cuerda n.° 11) es una secuencia alternativa de los mismos 30 vértices que el gon de Petrie 30 (con sus aristas de cuerda n.° 3).
41. Las longitudes de las cuerdas de raíz cuadrada fraccionaria se dan como fracciones decimales donde:
           𝚽 ≈ 0,618 es la proporción áurea inversa1/φ
           𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0.382
           𝜀 = √ 𝚫 ² /2 ≈ 0.073
    y la longitud del borde de 120 celdas1/φ ² √ 2es:
           𝛇 = √ 𝜀 ≈ 0.270
    Por ejemplo:
           𝛇 = √ 0.𝜀 = √ 0.073~ ≈ 0.270
42. En la celda dodecaédrica de 120 celdas de radio unitario, la longitud del borde (la cuerda n.° 1 de 120 celdas) es1/φ ² √ 2≈ 0,270. Ocho vértices naranjas se encuentran en las coordenadas cartesianas (±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 ) en relación con el origen en el centro de la celda. Forman un cubo (líneas discontinuas) de longitud de arista.1/ϕ √ 2≈ 0,437 (la diagonal del pentágono y la cuerda n.° 2 de las 120 celdas). Las diagonales de las caras del cubo (no se muestran) de longitud de arista1/φ≈ 0,618 son las aristas de las celdas tetraédricas inscritas en el cubo (aristas de 600 celdas y la cuerda n.° 3 de las 120 celdas). El diámetro del dodecaedro es√ 3/ϕ √ 2≈ 0,757 (la diagonal del cubo y la cuerda n.º 4 de las 120 celdas).
43. La diagonal del pentágono de la cara (la cuerda n.° 2) está en la proporción áurea φ ≈ 1.618 con respecto al borde del pentágono de la cara (la arista de 120 celdas, la cuerda n.° 1). ^[ap]
44. La cuerda n.° 2 une vértices que están separados por 2 longitudes de arista: los vértices de la figura de vértice tetraédrico de 120 celdas, la segunda sección de las 120 celdas comienza con un vértice, denotado 1 ₀ . Las cuerdas n.° 2 son las aristas de este tetraedro y las cuerdas n.° 1 son sus radios largos. Las cuerdas n.° 2 también son cuerdas diagonales de las caras del pentágono de 120 celdas. ^[aq]
45. Las 120 celdas contienen diez celdas de 600 que se pueden dividir en cinco celdas de 600 completamente separadas de dos maneras diferentes. ^[h] Las diez celdas de 600 ocupan el mismo conjunto de 200 planos centrales irregulares del gran dodecágono. ^[q] Hay exactamente 400 hexágonos regulares en las 120 celdas (dos en cada plano central del dodecágono), y cada una de las diez 600 celdas contiene su propio subconjunto distinto de 200 de ellos (uno de cada plano central del dodecágono). Cada 600 celdas contiene sólo uno de los dos hexágonos regulares opuestos inscritos en cualquier plano central del dodecágono, del mismo modo que contiene sólo uno de los dos tetraedros opuestos inscritos en cualquier celda dodecaédrica. Cada 600 celdas está separada de otras 4 600 celdas y comparte hexágonos con otras 5 600 celdas. ^[bs] Cada par disjunto de 600 celdas ocupa el par opuesto de grandes hexágonos disjuntos en cada plano central del dodecágono. Cada par no separado de 600 celdas se cruza en 16 hexágonos que componen un total de 24 celdas. Las 120 celdas contienen 9 veces más 24 celdas distintas (225) que 24 celdas disjuntas (25). ^[j] Cada 24 celdas se encuentra en 9 600 celdas, está ausente en solo una de 600 celdas y es compartida por dos de 600 celdas.

46. 

    Triacontagrama {30/5}=5{6} , el 30-gon sesgado de Petrie de 120 celdas como un compuesto de 5 grandes hexágonos.

    Cada gran borde hexagonal es el eje de un zig-zag de 5 bordes de 120 celdas. El polígono de Petrie de 120 celdas es un zig-zag helicoidal de 30 aristas de 120 celdas, que gira en espiral alrededor de un eje de gran círculo de 0 góndolos que no cruza ningún vértice. ^[t] Hay 5 grandes hexágonos inscritos en cada polígono de Petrie, en cinco planos centrales diferentes. ^[como]
47. El polígono de Petrie de 5 celdas es el pentágono (5 gon) y el polígono de Petrie de 120 celdas es el triacontagon (30 gon). ^[ac] Cada Petrie 30-gon de 120 celdas se encuentra completamente ortogonal a seis Petrie 5-gons de 5 celdas, que pertenecen a seis de las 120 5 celdas regulares disjuntas inscritas en las 120 celdas. ^[d]
48. La suma de las longitudes al cuadrado de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. ^[18]
49. Los dodecaedros emergen como características visibles en las 120 celdas, pero también ocurren en las 600 celdas como politopos interiores . ^[20]
50. Las facetas del -simplex son más grandes que las del -orthoplex. Para = 4 , las longitudes de los bordes de las celdas de 5, 16 y 8 celdas están en la proporción de √ 5 a √ 4 a √ 2 . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
51. Cada 3 facetas del 4-ortoplex, una permutación de tetraedro y su permutación de 3 facetas completamente ortogonal , comprenden los 8 vértices del 4-ortoplex. Excepcionalmente, el 4-ortoplex es también el 4- demicube , la mitad de los vértices del 4-cubo. Esta relación entre 4-simplex, 4-orthoplex y 4-cube es exclusiva de = 4 . Las facetas 3-simples completamente ortogonales del 4-orthoplex son un par de 3-demicubos que ocupan vértices alternos de 3-cubos completamente ortogonales en el mismo 4-cubo. Proyectadas ortogonalmente en el mismo 3-hiperplano, las dos 3-facetas serían dos tetraedros inscritos en el mismo 3-cubo. (De manera más general, los politopos completamente ortogonales son reflejos especulares entre sí). ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,-1)}$ ${\displaystyle n}$
52. Cada 4 facetas del 5 ortoplex, una permutación de 4 símplex (5 celdas) y su permutación de 4 facetas completamente ortogonal , comprenden los 10 vértices del 5 ortoplex. ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,-1)}$
53. Ningún par de vértices de ninguna de las 120 5 celdas (ningún gran plano central digón de 5 celdas ) ocurre en ninguna de las 675 16 celdas (los 675 conjuntos de bases cartesianas de 6 planos centrales ortogonales ). ^[j]
54. En el espacio tridimensional curvo de la superficie de 120 celdas, cada uno de los 600 vértices está rodeado por 15 pares de secciones poliédricas, cada sección a la distancia "radial" de una de las 30 cuerdas distintas. El vértice en realidad no está en el centro del poliedro, porque está desplazado en la cuarta dimensión fuera del hiperplano de la sección, de modo que el vértice del vértice y el poliedro base que lo rodea forman una pirámide poliédrica . La cuerda característica es radial alrededor del vértice, como los bordes laterales de la pirámide.
55. La cuerda isoclina de la rotación característica de 120 celdas ^[ab] es la cuerda # 4 de un ángulo de arco de 44,5 ~ ° (el borde más grande del gran dodecágono irregular), porque en esa rotación isoclínica por dos ángulos de rotación iguales de 12 ° ^[af] cada vértice se mueve a otro vértice a 4 longitudes de arista de distancia en un polígono de Petrie, y la trayectoria geodésica circular sobre la que gira (su isoclina) ^[m] no cruza ningún vértice más cercano.
56. Las rotaciones isoclínicas toman planos de Clifford paralelos entre sí, mientras los planos de rotación se inclinan hacia los lados como monedas al lanzarse al aire. ^[n] El puente de cuerda #4 ^[y] es significativo en una rotación isoclínica en grandes hexágonos regulares (la rotación característica de 24 celdas ), en la que los planos de rotación invariantes son un subconjunto de los mismos planos centrales de 200 dodecágonos que los de 120 Rotación característica de la célula (en grandes hexágonos irregulares ). ^[ab] En cada arco de 12° ^[bc] de la rotación característica de las 24 celdas de las 120 celdas, cada vértice del gran hexágono regular se desplaza a otro vértice, en un gran hexágono regular paralelo de Clifford que está a una cuerda #4 de distancia. Los grandes hexágonos regulares paralelos de Clifford adyacentes tienen seis pares de vértices correspondientes unidos por cuerdas n.° 4. Las seis cuerdas #4 son bordes de seis grandes rectángulos distintos en seis planos centrales de dodecágono separados que son mutuamente paralelos a Clifford.
57. Esta ilustración muestra solo uno de los tres grandes dodecágonos irregulares relacionados que se encuentran en tres △ planos centrales distintos. Dos de ellos (no mostrados) se encuentran en planos dodecágonos paralelos (disjuntos) de Clifford y no comparten vértices. El rectángulo central azul de los bordes #4 y #11 se encuentra en un tercer plano del dodecágono, no Clifford, paralelo a cualquiera de los dos planos del dodecágono disjuntos y que los intersecta a ambos; comparte dos vértices (un eje √ 4 del rectángulo) con cada uno de ellos. Cada plano del dodecágono contiene dos grandes hexágonos irregulares en posiciones alternas (no se muestran). ^[q] Por lo tanto, cada cuerda #4 del gran rectángulo que se muestra es un puente entre dos grandes hexágonos irregulares paralelos de Clifford que se encuentran en los dos planos del dodecágono que no se muestran. ^[bd]
58. El de 5 celdas normal tiene solo planos centrales digon que cruzan dos vértices. Las 120 celdas con 120 5 celdas regulares inscritas contienen grandes rectángulos cuyos bordes más largos son estos digones, los bordes de las 5 celdas inscritas de longitud √ 2,5 . Tres rectángulos disjuntos ocurren en un plano central {12}, donde los seis acordes #8 √ 2.5 pertenecen a seis 5 celdas disjuntas. Las 12 ₀ secciones y las 18 ₀ secciones son tetraedros regulares de longitud de borde √ 2,5 , las celdas de 5 celdas regulares. Las diez caras triangulares de las 5 celdas regulares se encuentran en esas secciones; cada una de las tres aristas √ 2.5 de una cara se encuentra en un plano central {12} diferente.
59. En una rotación isoclínica cada plano invariante es Clifford paralelo al plano al que se mueve y no se cruzan en ningún momento (excepto en el punto central). En una rotación simple , el plano invariante intersecta el plano al que se mueve en una línea y se mueve hacia él girando alrededor de esa línea.
60. El plano en el que gira (se inclina hacia los lados) un plano invariante completo es (incompletamente) ortogonal a ambos planos invariantes completamente ortogonales, y también Clifford paralelo a ambos. ^[ae]
61. La rotación isoclínica de 90 grados de dos planos completamente ortogonales los acerca entre sí. En tal rotación de un politopo rígido de 4, los 6 planos ortogonales giran 90 grados y también se inclinan hacia los lados 90 grados hasta su plano completamente ortogonal (paralelo de Clifford). ^[22] Los vértices correspondientes de los dos grandes polígonos completamente ortogonales están separados por √ 4 (180°); los grandes polígonos (politopos paralelos de Clifford) están separados por √ 4 (180°); pero los dos planos completamente ortogonales están separados 90°, en los dos ángulos ortogonales que los separan. ^[o] Si la rotación isoclínica continúa otros 90°, cada vértice completa una rotación de 360° y cada gran polígono vuelve a su plano original, pero en una orientación diferente (ejes intercambiados): se ha puesto "boca abajo" en la superficie del politopo de 4 (que ahora está "al revés"). Continuando por una segunda rotación isoclínica de 360° (a través de cuatro pasos isoclínicos de 90° por 90°, una rotación de 720°) se devuelve todo a su lugar y orientación original.
62. Es más fácil visualizar esto incorrectamente , porque los grandes círculos completamente ortogonales son paralelos a Clifford y no se cruzan (excepto en el punto central). Tampoco el plano invariante y el plano al que se mueve. Un plano invariante se inclina hacia un lado en un plano central ortogonal que no es su plano completamente ortogonal, sino un plano Clifford paralelo a él. Gira con su plano completamente ortogonal, pero no en él. Es Clifford paralelo a su plano completamente ortogonal y al plano hacia el que se desplaza, y no los intersecta; el plano en el que gira es ortogonal a todos estos planos y los interseca a todos. ^[bh] En la rotación característica de las 120 celdas, ^[ab] cada plano de rotación invariante es Clifford paralelo a su plano completamente ortogonal, pero no adyacente a él; primero llega a algún otro plano paralelo (el más cercano). Pero si la rotación isoclínica que lo lleva a través de sucesivos planos paralelos de Clifford continúa 90°, los vértices se habrán movido 180° y el plano de rotación basculante alcanzará su plano (original) completamente ortogonal. ^[bi]
63. Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones están definidas por al menos un par de planos de rotación centrales ^{[ae] completamente ortogonales que son} invariantes , lo que significa que todos los puntos del plano permanecen en el plano a medida que el avión se mueve. Una rotación isoclínica ^[o] izquierda (y derecha) distinta puede tener múltiples pares de planos invariantes completamente ortogonales, y todos esos planos invariantes son mutuamente paralelos a Clifford . Una clase distinta de rotación isoclínica discreta tiene un tipo característico de gran polígono en sus planos invariantes. ^[r] Tiene múltiples instancias distintas de rotación hacia la izquierda (y hacia la derecha) llamadas fibraciones , que tienen conjuntos disjuntos de planos de rotación invariantes. Las fibraciones son haces disjuntos de fibras circulares paralelas de Clifford , los polígonos de círculo máximo en sus planos invariantes.
64. En el polígono de 120 celdas, completamente ortogonal a cada polígono de círculo máximo, se encuentra otro polígono de círculo máximo del mismo tipo. El conjunto de planos invariantes paralelos de Clifford de una rotación isoclínica distinta es un conjunto de pares completamente ortogonales. ^[bk]
65. Cada tipo de plano de rotación tiene su divisor de fibración característico, que denota el número de haces de fibras de polígonos de círculo máximo paralelos de Clifford (de cada tipo distinto) que se encuentran en planos de rotación de ese tipo. Cada paquete cubre todos los vértices de las 120 celdas exactamente una vez, por lo que el número total de vértices en los polígonos del círculo máximo de un tipo, dividido por el número de paquetes, es siempre 600, el número de vértices distintos. Por ejemplo, "400 grandes hexágonos irregulares / 4".
66. En las 120 celdas, cada 24 celdas pertenece a dos 600 celdas diferentes. ^[25] Las 120 celdas contienen 225 24 celdas distintas y se pueden dividir en 25 24 celdas separadas, por lo que es el casco convexo de un compuesto de 25 24 celdas. ^[26]
67. Los 10 tetraedros de cada dodecaedro se superponen; pero los 600 tetraedros en cada 600 celdas no lo hacen, por lo que cada uno de los 10 debe pertenecer a una 600 celda diferente.
68. Cada figura de vértice de 120 celdas es en realidad una pirámide tetraédrica baja, una pirámide irregular de 5 celdas con una base tetraédrica regular.
69. Como vimos en el de 600 celdas , estos 12 tetraedros pertenecen (en pares) a los 6 grupos icosaédricos de veinte celdas tetraédricas que rodean cada grupo de cinco celdas tetraédricas.
70. Una celda de 24 contiene 16 hexágonos. En el modelo de 600 celdas, con 25 de 24 celdas, cada 24 celdas está separada de 8 de 24 celdas y se cruza con cada una de las otras 16 de 24 celdas en seis vértices que forman un hexágono. ^[42] Una celda de 600 contiene 25・16/2 = 200 de estos hexágonos.
71. Cada gran hexágono regular es compartido por dos 24 celdas en el mismo 600 celdas, ^[br] y cada 24 celdas es compartido por dos 600 celdas. ^[bn] Cada hexágono regular es compartido por cuatro celdas de 600.
72. La disminución del politopo de 600 puntos y 120 celdas a un politopo de 480 puntos mediante la eliminación de una de sus 600 celdas es análoga a la disminución del politopo de 120 puntos y 600 celdas mediante la eliminación de una de sus 5 inscritas disjuntas 24 celdas, creando el desaire de 96 puntos de 24 celdas . De manera similar, el teseracto de 8 celdas puede verse como un 24 celdas disminuido de 16 puntos del cual se ha eliminado una de 16 celdas de 8 puntos.

Citas

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5. Dechant 2021, resumen; "[C]ada sistema de raíces 3D permite la construcción de un sistema de raíces 4D correspondiente a través de un 'teorema de inducción'. En este artículo, analizamos el caso icosaédrico de H3 → H4 en detalle y realizamos los cálculos explícitamente. Se utiliza el álgebra de Clifford para realizar cálculos teóricos de grupo basados ​​en el teorema versor y el teorema de Cartan-Dieudonné... arrojar luz sobre los aspectos geométricos del sistema de raíces H4 (las 600 celdas), así como otros politopos relacionados y sus simetrías... incluida la construcción del plano de Coxeter, que se utiliza para visualizar los pares complementarios de politopos invariantes.... Por lo tanto, este enfoque constituye una forma más sistemática y general de realizar cálculos relacionados con grupos, en particular grupos de reflexión y sistemas de raíces, en un modelo Clifford. marco algebraico."
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10. Mamone, Pileio y Levitt 2010, pág. 1433, §4.1; Un punto cartesiano de 4 coordenadas (w,x,y,z) es un vector en el espacio 4D desde (0,0,0,0). El espacio real de cuatro dimensiones es un espacio vectorial: dos vectores cualesquiera se pueden sumar o multiplicar por un escalar para obtener otro vector. Los cuaterniones amplían la estructura vectorial del espacio real 4D al permitir la multiplicación de dos vectores 4D y de acuerdo con ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
11. Kim y Rote 2016, pag. 7, §6 Ángulos entre dos planos en 4 espacios; "En cuatro (y más) dimensiones, necesitamos dos ángulos para fijar la posición relativa entre dos planos. (De manera más general, k ángulos se definen entre k subespacios dimensionales)".
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13. Mamone, Pileio y Levitt 2010, págs. 1438-1439, §4.5 4 politopos convexos regulares, Tabla 2, Operaciones de simetría; en el grupo de simetría 𝛢 ₄ , la operación [15]𝑹 _q3,q3 son los 15 desplazamientos rotacionales distintos que comprenden la clase de rotaciones isoclínicas de pentagrama de un individuo de 5 celdas ; en el grupo de simetría 𝛨 ₄ la operación [1200]𝑹 _q3,q13 son los 1200 desplazamientos rotacionales distintos que comprenden la clase de rotaciones isoclínicas de pentadecagramo de las 120 celdas, la rotación característica de las 120 celdas.
14. Mamone, Pileio y Levitt 2010, págs. 1438-1439, §4.5 4 politopos convexos regulares, tabla 2, grupo de simetría 𝛨 ₄ ; las 120 celdas tienen 7200 desplazamientos rotacionales distintos (y 7200 reflexiones), que se pueden agrupar como 25 rotaciones isoclínicas distintas . ^[ag]
15. Coxeter 1973, págs. 300–301, Tabla V: (v) Secciones simplificadas de {5,3,3} (arista 2φ ⁻² √2 [radio 4]) que comienzan con un vértice; La tabla de Coxeter enumera 16 secciones no puntuales etiquetadas 1 ₀ − 16 ₀ , poliedros cuyos "radios" sucesivamente crecientes en las 3 esferas (en la columna 2 la ) son los siguientes acordes en nuestra notación: ^[al] #1, #2, #3, 41,4~°, #4, 49,1~°, 56,0~°, #5, 66,1~°, 69,8~°, #6, 75,5~°, 81,1~°, 84,5~°, #7, 95,5~° , ..., #15. Los acordes distintos restantes ocurren como los "radios" más largos del segundo conjunto de 16 secciones poliédricas opuestas (en la columna a para (30− i ) ₀ ) que enumera #15, #14, #13, #12, 138.6~°, #11, 130.1~°, 124~°, #10, 113.9~°, 110.2~°, #9, #8, 98.9~°, 95.5~°, #7, 84.5~°, ..., o al menos ocurren entre los complementos de 180 ° de todos los acordes enumerados en Coxeter. El conjunto ordenado completo de 30 acordes distintos es 0°, #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75,5~°, 81,1~°, 84,5~°, #7, 95,5~°, #8, #9, 110,2°, 113,9°, #10, 124°, 130,1°, #11, 138,6°, #12, # 13, n.º 14, n.º 15. Las cuerdas también ocurren entre las longitudes de los bordes de las secciones poliédricas (en la columna 2 lb , que enumera solo: #2, .., #3, .., 69.8~°, .., .., #3, .. , .., #5, #8, .., .., .., #7, ... porque no se dan las múltiples longitudes de aristas de las secciones poliédricas irregulares).
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31. Waegell y Aravind 2014, págs. 5-6.
32. Koca, Al-Ajmi y Ozdes Koca 2011, págs. 986–988, 6. Doble del desaire de 24 celdas.
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Referencias

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enlaces externos

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• Explorador de 120 celdas: un programa interactivo gratuito que le permite conocer varias de las simetrías de 120 celdas. Las 120 celdas se proyectan en 3 dimensiones y luego se renderizan usando OpenGL.
• Construcción del hiperdodecaedro
• Animación en YouTube de la construcción del Gian Marco Todesco de 120 celdas.