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En matemáticas y física , la noción de entrelazamiento de orientación se utiliza a veces [1] para desarrollar la intuición relacionada con la geometría de los espinores o, alternativamente, como una realización concreta del fracaso de los grupos ortogonales especiales de estar simplemente conectados .
Los vectores espaciales por sí solos no son suficientes para describir completamente las propiedades de las rotaciones en el espacio.
Consideremos el siguiente ejemplo. [2] Una taza de café está suspendida en una habitación mediante un par de bandas elásticas de goma fijadas a las paredes de la habitación. La taza gira por su asa con un giro completo de 360°, de modo que el asa recorra todo el eje vertical central de la taza y vuelva a su posición original.
Obsérvese que después de esta rotación, la taza ha vuelto a su orientación original, pero que su orientación con respecto a las paredes está torcida . En otras palabras, si bajamos la taza de café al suelo de la habitación, las dos bandas se enrollarán una alrededor de la otra en un giro completo de una doble hélice . Este es un ejemplo de enredo de orientación : la nueva orientación de la taza de café incrustada en la habitación no es en realidad la misma que la orientación anterior, como lo demuestra la torsión de las bandas de goma. Dicho de otra manera, la orientación de la taza de café se ha enredado con la orientación de las paredes circundantes.
Es evidente que la geometría de los vectores espaciales por sí sola no es suficiente para expresar el entrelazamiento de la orientación (la torsión de las bandas elásticas). Consideremos que dibujamos un vector a lo largo de la taza. Una rotación completa moverá el vector de manera que la nueva orientación del vector sea la misma que la anterior. El vector por sí solo no sabe que la taza de café está entrelazada con las paredes de la habitación.
De hecho, la taza de café está inextricablemente enredada. No hay manera de desenrollar las bandas sin girar la taza. Sin embargo, considere lo que sucede cuando la taza gira, no solo un giro de 360°, sino dos giros de 360° para una rotación total de 720°. Luego, si la taza se baja al suelo, las dos bandas de goma se enrollan una alrededor de la otra en dos giros completos de una doble hélice. Si ahora se sube la taza a través del centro de una de las vueltas de esta hélice y se pasa al otro lado, el giro desaparece. Las bandas ya no están enrolladas una alrededor de la otra, aunque no haya sido necesario realizar ninguna rotación adicional. (Este experimento se realiza más fácilmente con una cinta o cinturón. Vea a continuación).
Así, mientras que la orientación de la copa se torció con respecto a las paredes después de una rotación de solo 360°, ya no se torció después de una rotación de 720°. Sin embargo, si solo consideramos el vector asociado a la copa, es imposible distinguir entre estos dos casos. Solo cuando adjuntamos un espinor a la copa podemos distinguir entre el caso torcido y el no torcido.
En esta situación, un espinor es una especie de vector polarizado . En el diagrama adyacente, un espinor puede representarse como un vector cuya cabeza es una bandera que se encuentra sobre un lado de una cinta de Möbius , apuntando hacia adentro. Inicialmente, supongamos que la bandera está sobre la cinta como se muestra. A medida que la taza de café gira, lleva el espinor, y su bandera, a lo largo de la cinta. Si la taza gira 360°, el espinor vuelve a la posición inicial, pero la bandera ahora está debajo de la cinta, apuntando hacia afuera. Se necesita otra rotación de 360° para que la bandera regrese a su orientación original.
Un puente detallado entre lo anterior y las matemáticas formales se puede encontrar en el artículo sobre tangloides .
En tres dimensiones, el problema ilustrado anteriormente corresponde al hecho de que el grupo de Lie SO(3) no está simplemente conexo . Matemáticamente, se puede abordar este problema mostrando el grupo unitario especial , SU(2) , que también es el grupo de espín en tres dimensiones euclidianas , como una doble cobertura de SO(3). Si X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) es un vector en R 3 , entonces identificamos X con la matriz 2 × 2 con entradas complejas
Nótese que −det( X ) da el cuadrado de la longitud euclidiana de X considerado como un vector, y que X es una matriz hermítica sin trazas o, mejor aún, con trazas cero .
El grupo unitario actúa sobre X a través de
donde M ∈ SU(2). Nótese que, dado que M es unitario,
Por lo tanto, SU(2) actúa mediante rotación sobre los vectores X . A la inversa, dado que cualquier cambio de base que envíe matrices hermíticas de traza cero a matrices hermíticas de traza cero debe ser unitario, se deduce que cada rotación también eleva a SU(2). Sin embargo, cada rotación se obtiene a partir de un par de elementos M y − M de SU(2). Por lo tanto, SU(2) es una doble cobertura de SO(3). Además, se ve fácilmente que SU(2) está simplemente conectado al realizarlo como el grupo de cuaterniones unitarios , un espacio homeomorfo a la 3-esfera .
Un cuaternión unitario tiene como parte escalar el coseno de la mitad del ángulo de rotación y como parte vectorial (también llamada parte imaginaria, véase la fórmula de Euler-Rodrigues ) el seno de la mitad del ángulo de rotación multiplicado por un vector unitario a lo largo de algún eje de rotación (aquí asumido fijo). Si la orientación inicial de un cuerpo rígido (con conexiones no entrelazadas con su entorno fijo) se identifica con un cuaternión unitario que tiene una parte vectorial cero y +1 para la parte escalar, entonces después de una rotación completa (2π rad) la parte vectorial vuelve a cero y la parte escalar se ha convertido en −1 (enredada). Después de dos rotaciones completas (4π rad) la parte vectorial vuelve de nuevo a cero y la parte escalar vuelve a +1 (no entrelazada), completando el ciclo.
