5 celdas

Análogo tetradimensional del tetraedro.

Una proyección 3D de una celda de 5 que realiza una rotación simple.

Red de cinco tetraedros (uno oculto)

En geometría , las 5 celdas son los 4 politopos convexos con el símbolo de Schläfli {3,3,3}. Es un objeto tetradimensional de cinco vértices delimitado por cinco celdas tetraédricas. ^[a] También se le conoce como C ₅ , pentacoron , ^[1] pentatopo , pentaedroide , ^[2] o pirámide tetraédrica . Es el 4- símplex (politopo de Coxeter ), ^[3] el 4-politopo convexo más simple posible, y es análogo al tetraedro en tres dimensiones y al triángulo en dos dimensiones. La pirámide de 5 celdas es una pirámide de 4 dimensiones con una base tetraédrica y cuatro lados tetraédricos. ${\displaystyle \alpha _{4}}$

El 5-celda regular está delimitado por cinco tetraedros regulares y es uno de los seis 4-politopos convexos regulares (los análogos de cuatro dimensiones de los sólidos platónicos ). Se puede construir una celda regular de 5 celdas a partir de un tetraedro regular agregando un quinto vértice a una longitud de arista distante de todos los vértices del tetraedro. Esto no se puede hacer en un espacio tridimensional. La solución normal de 5 celdas es una solución al problema: haz 10 triángulos equiláteros, todos del mismo tamaño, usando 10 cerillas, donde cada lado de cada triángulo sea exactamente una cerilla, y ninguno de los triángulos y cerillas se cruce entre sí. No existe ninguna solución en tres dimensiones.

Nombres alternativos

• Pentacoron (5 puntos y 4 politopos)
• Hipertetraedro (análogo de 4 dimensiones del tetraedro )
• 4-símplex ( símplex de 4 dimensiones )
• Pirámide tetraédrica ( hiperpirámide de 4 dimensiones con base tetraédrica)
• pentatopo
• Pentaedroide (Henry Parker Manning)
• Pluma (Jonathan Bowers: para pentacoron) ^[4]

Geometría

El de 5 celdas es el simplex de 4 dimensiones , el politopo de 4 dimensiones más simple posible . Como tal, es el primero de la secuencia de 6 4 politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). ^[b]

Una celda de 5 está formada por cinco puntos cualesquiera que no están todos en el mismo hiperplano (como un tetraedro está formado por cuatro puntos cualesquiera que no están todos en el mismo plano, y un triángulo está formado por tres puntos cualesquiera que no están todos). en la misma línea). Cualquiera de estos cinco puntos constituye una celda de 5, aunque generalmente no una celda de 5 normal. El de 5 celdas regulares no se encuentra dentro de ninguno de los otros 4 politopos convexos regulares excepto uno: el de 120 celdas de 600 vértices es un compuesto de 120 5 celdas regulares. ^[C]

Estructura

Cuando una red de cinco tetraedros se pliega en un espacio de 4 dimensiones de modo que cada tetraedro esté unido por sus caras a los otros cuatro, las 5 celdas resultantes tienen un total de 5 vértices, 10 aristas y 10 caras. Cuatro aristas se encuentran en cada vértice y tres celdas tetraédricas se encuentran en cada arista.

El de 5 celdas es autodual (como lo son todos los símplex ), y su figura de vértice es el tetraedro . ^[e] Su intersección máxima con el espacio tridimensional es el prisma triangular . Su ángulo diédrico es cos ⁻¹ (1/4), o aproximadamente 75,52°.

El casco convexo de dos 5 celdas en configuración dual es el disfenoidal de 30 celdas , dual del de 5 celdas bitruncado .

Como configuración

Esta matriz de configuración representa las 5 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en las 5 celdas completas. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. La matriz de este politopo autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^[7] Las k -caras se pueden leer como filas a la izquierda de la diagonal, mientras que las k -figuras se leen como filas después de la diagonal. ^[8]

Diagrama de Venn de 5 conjuntos rotacionalmente simétrico de Grünbaum, 1975

Todos estos elementos de las 5 celdas están enumerados en el diagrama de Venn de 5 puntos de Branko Grünbaum , que es literalmente una ilustración de las 5 celdas regulares en proyección al plano.

Coordenadas

El conjunto más simple de coordenadas cartesianas es: (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (𝜙 ,𝜙,𝜙,𝜙), con longitud de arista 2 √ 2 , donde 𝜙 es la proporción áurea . ^[9] Si bien estas coordenadas no están centradas en el origen, restar de cada una traslada el circuncentro del 4 politopo al origen con radio , con las siguientes coordenadas: ${\displaystyle (1,1,1,1)/(2-{\tfrac {1}{\phi }})}$ ${\displaystyle 2(\phi -1/(2-{\tfrac {1}{\phi }}))={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

El siguiente conjunto de coordenadas centradas en el origen con el mismo radio y longitud de borde que el anterior puede verse como una hiperpirámide con una base tetraédrica regular en 3 espacios:

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

Escalar estas o el conjunto de coordenadas anterior dando 5 celdas regulares centradas en el origen de radio unitario con longitudes de borde . La hiperpirámide tiene coordenadas: ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(0,0,0,1\right)}$

Las coordenadas para los vértices de otra celda regular de 5 celdas centrada en el origen con longitud de borde 2 y radio son: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

Escalarlos a unidad de radio y longitud de borde da: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left(-1,0,0,0\right)}$

Los vértices de un 4-símplex (con arista √ 2 y radio 1) se pueden construir de manera más simple en un hiperplano en 5 espacios, como permutaciones (distintas) de (0,0,0,0,1) o (0, 1,1,1,1); en estas posiciones es una faceta del 5-ortoplex o del penteracto rectificado, respectivamente .

Geodésicas y rotaciones.

Una proyección 3D de una celda de 5 realizando una doble rotación . ^[F]

El de 5 celdas tiene solo planos centrales digon que pasan por los vértices. Tiene 10 planos centrales digonales, donde cada par de vértices es un borde, no un eje, de las 5 celdas. ^[d] Cada plano digón es ortogonal a otros 3, pero completamente ortogonal a ninguno de ellos. ^{[h] La} rotación isoclínica característica de las 5 celdas tiene, como pares de planos invariantes, esos 10 planos digonales y sus planos centrales completamente ortogonales, que son planos de 0 gon que no intersecan ningún vértice de 5 celdas.

Solo hay dos formas de hacer un circuito de 5 celdas a través de los 5 vértices a lo largo de 5 aristas, ^[e] por lo que hay dos fibraciones de Hopf discretas de los grandes digones de 5 celdas. Cada una de las dos fibraciones corresponde a un par de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha, cada una de las cuales gira los 5 vértices en un circuito de período 5. La celda de 5 tiene solo dos isoclinas de período 5 distintas (esos círculos que pasan por los 5 vértices), cada una de que actúa como la isoclina única de una rotación hacia la derecha y la isoclina única de una rotación hacia la izquierda en dos fibraciones diferentes. ^[gramo]

A continuación, se visualiza una celda giratoria de 5 con la cuarta dimensión aplastada y mostrada en color. El toroide de Clifford se representa en su forma rectangular (envolvente).

• Visualización de rotaciones 4D.
• Simplemente girando en el plano XY
• Simplemente girando en el plano ZW
• Doble rotación en planos XY y ZW con velocidades angulares en una proporción de 4:3
• Rotación isoclínica izquierda
• Rotación isoclínica derecha

Hélice de Boerdijk-Coxeter

Se puede construir una celda de 5 como una hélice de Boerdijk-Coxeter de cinco tetraedros encadenados, plegados en un anillo de 4 dimensiones. ^[10] Las 10 caras del triángulo se pueden ver en una red 2D dentro de un mosaico triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice, aunque plegarlo en 4 dimensiones hace que los bordes coincidan. Los bordes morados forman un pentágono regular que es el polígono de Petrie de las 5 celdas. Los bordes azules conectan cada segundo vértice, formando un pentagrama que es el polígono de Clifford de 5 celdas. Los bordes azules del pentagrama son las cuerdas de la isoclina de 5 celdas , la trayectoria de rotación circular que toman sus vértices durante una rotación isoclínica , también conocida como desplazamiento de Clifford . ^[i]

Proyecciones

Estructura alámbrica de proyección estereográfica (borde proyectado sobre una esfera de 3 )

El plano A ₄ Coxeter proyecta las 5 celdas en un pentágono y un pentagrama regulares . La proyección del plano A ₃ Coxeter de las 5 celdas es la de una pirámide cuadrada . La proyección del plano A ₂ Coxeter de las 5 celdas regulares es la de una bipirámide triangular (dos tetraedros unidos cara a cara) con los dos vértices opuestos centrados.

5 celdas irregulares

En el caso de los simples como el de 5 celdas, ciertas formas irregulares son, en cierto sentido, más fundamentales que la forma regular. Aunque las 5 celdas regulares no pueden llenar el 4 espacio o los 4 politopos regulares, hay 5 celdas irregulares que sí lo hacen. Estas 5 células características son los dominios fundamentales de los diferentes grupos de simetría que dan lugar a los distintos 4 politopos.

Ortoesquemas

Un ortoesquema de 4 es un esquema de 5 celdas donde las 10 caras son triángulos rectángulos . ^[a] Un ortosquema es un simplex irregular que es la cáscara convexa de un árbol en el que todos los bordes son mutuamente perpendiculares. ^[j] En un ortoesquema de 4 dimensiones, el árbol consta de cuatro aristas perpendiculares que conectan los cinco vértices en una trayectoria lineal que forma tres giros en ángulo recto. Los elementos de un ortoesquema también son ortoesquemas (así como los elementos de un simplex regular también lo son simplex regulares). Cada celda tetraédrica de un 4-ortoesquema es un 3-ortoesquema , y ​​cada cara triangular es un 2-ortoesquema (un triángulo rectángulo).

Los ortoesquemas son los símplex característicos de los politopos regulares, porque cada politopo regular se genera por reflejos en las facetas delimitadoras de su ortosquema característico particular. ^[11] Por ejemplo, el caso especial del 4-ortosquema con bordes perpendiculares de igual longitud es el ortosquema característico del 4-cubo (también llamado tesseract u 8-cell ), el análogo 4-dimensional del 3-dimensional. cubo. Si las tres aristas perpendiculares del 4-ortosquema tienen una longitud unitaria, entonces todas sus aristas tienen una longitud √ 1 , √ 2 , √ 3 o √ 4 , precisamente las longitudes de las cuerdas del cubo unitario de 4 (las longitudes de los 4 aristas del cubo y sus distintas diagonales). Por lo tanto, este 4-ortosquema encaja dentro del 4-cubo, y el 4-cubo (como todo politopo convexo regular) puede diseccionarse en instancias de su ortosquema característico .

"Un cubo de 3 disecado en seis ortoesquemas de 3" . Tres son zurdos y tres diestros. Una izquierda y una derecha se encuentran en cada cara cuadrada.

Un esquema de 3 ortos se ilustra fácilmente, pero un esquema de 4 ortos es más difícil de visualizar. Un 4-ortosquema es una pirámide tetraédrica con un 3-ortosquema como base. Tiene cuatro aristas más que el ortoesquema de 3, uniendo los cuatro vértices de la base a su ápice (el quinto vértice del ortoesquema de 5 celdas). Elija cualquiera de los 3 ortoesquemas de los seis que se muestran en la ilustración de 3 cubos. Observe que toca cuatro de los ocho vértices del cubo, y esos cuatro vértices están unidos por un camino de 3 aristas que forma dos giros en ángulo recto. Imagine que este 3-ortosquema es la base de un 4-ortosquema, de modo que desde cada uno de esos cuatro vértices, un borde invisible de 4-ortosquema se conecta a un quinto vértice (que está fuera del 3-cubo y no aparece en el ilustración en absoluto). Aunque los cuatro bordes adicionales llegan al mismo vértice, todos tendrán diferentes longitudes. El primero de ellos, en un extremo del camino ortogonal de 3 bordes, extiende ese camino con un cuarto borde ortogonal √ 1 haciendo un tercer giro de 90 grados y alcanzando perpendicularmente la cuarta dimensión hasta el ápice. La segunda de las cuatro aristas adicionales es una diagonal √ 2 de la cara de un cubo (no del cubo de 3 ilustrado, sino de otro de los ocho cubos de 3 del teseracto). ^[k] La tercera arista adicional es una diagonal √ 3 de un cubo de 3 (nuevamente, no el cubo de 3 ilustrado original). El cuarto borde adicional (en el otro extremo del camino ortogonal) es un diámetro largo del propio teseracto, de longitud √ 4 . Llega a través del centro exacto del teseracto hasta el vértice antípoda (un vértice del cubo 3 opuesto), que es el vértice. Por lo tanto, la característica de 5 celdas del cubo de 4 tiene cuatro aristas √ 1 , tres aristas √ 2 , dos aristas √ 3 y una arista √ 4 .

El 4-cubose puede diseccionar en 24 de estos 4-ortoesquemas ocho formas diferentes, con seis 4-ortosquemas que rodean cada uno de los cuatro diámetros largos ortogonales √ 4 tesseract. El 4-cubo también se puede diseccionar en 384 instancias más pequeñas de este mismo 4-ortoesquema característico, de una sola manera, por todos sus hiperplanos de simetría a la vez, que lo dividen en 384 4-ortoesquemas que se encuentran en el centro de los 4. -cubo. ^[l]

De manera más general, cualquier politopo regular se puede diseccionar en g instancias de su ortosquema característico que se encuentran en el centro del politopo regular. ^[12] El número g es el orden del politopo, el número de instancias reflejadas de su ortosquema característico que comprenden el politopo cuando una única instancia de ortosquema con superficie especular se refleja en sus propias facetas. ^[m] Más generalmente aún, los símplex característicos son capaces de llenar politopos uniformes porque poseen todos los elementos necesarios del politopo. También poseen todos los ángulos necesarios entre elementos (desde 90 grados hacia abajo). Los símplex característicos son los códigos genéticos de los politopos: como una navaja suiza , contienen uno de todo lo necesario para construir el politopo mediante replicación.

Cada politopo regular, incluido el de 5 celdas regular, tiene su ortosquema característico. ^[n] Hay un ortoesquema de 4 que es el característico de 5 celdas del de 5 celdas regular . Es una pirámide tetraédrica basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . El de 5 celdas normal.se puede diseccionar en 120 instancias de este característico 4-ortosquemasolo en una dirección, por todos sus hiperplanos de simetría a la vez, que lo dividen en 120 4-ortoesquemas que se encuentran en el centro de las 5 celdas regulares. ^[o]

El característico de 5 celdas (4-ortosquema) del regular de 5 celdas tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico de base (3-ortosquema), que unen los cuatro vértices de la base con su vértice (el quinto vértice del 4-ortoesquema). ortosquema, en el centro del regular de 5 celdas). ^[q] Si el elemento regular de 5 celdas tiene un radio unitario y una longitud de arista 𝒍 = , sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[p] más , , (los otros tres bordes de la faceta exterior del 3-ortoesquema del tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más , , , (bordes que son los radios característicos del tetraedro regular de 5 celdas ). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice regular de 5 celdas hasta un centro de arista regular de 5 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara regular de 5 celdas y luego gira 90° a un centro de celda tetraédrico regular de 5 celdas, luego girando 90 ° hasta el centro de celda regular de 5 celdas. ^[r] ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{25}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{50}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{43}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{100}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{100}}}}$

Isometrias

Hay muchas formas de simetría inferior de las 5 celdas, incluidas estas que se encuentran como figuras de vértice de politopo uniforme :

La pirámide tetraédrica es un caso especial de una pirámide poliédrica de 5 celdas , construida como una base de tetraedro regular en un hiperplano de 3 espacios y un punto vértice por encima del hiperplano. Los cuatro lados de la pirámide están formados por celdas piramidales triangulares .

Muchos 5 politopos uniformes tienen figuras de vértice de pirámide tetraédrica con símbolos de Schläfli ( )∨{3,3}.

Otros 5 politopos uniformes tienen figuras de vértices irregulares de 5 celdas. La simetría de una figura de vértice de un politopo uniforme se representa eliminando los nodos anillados del diagrama de Coxeter.

Compuesto

El compuesto de dos celdas de 5 en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano A5 de Coxeter , con vértices y bordes de 5 celdas en rojo y azul. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3]], orden 240. La intersección de estas dos 5 celdas es una 5 celdas bitruncada uniforme .=∩.

Este compuesto puede verse como el análogo 4D del hexagrama 2D {6/2} y el compuesto 3D de dos tetraedros .

Politopos y panales relacionados

El pentácoro (5 celdas) es el más simple de los 9 policoras uniformes construidos a partir del grupo [3,3,3] Coxeter .

Está en la secuencia {p,3,3} de policora regular con una figura de vértice tetraédrica : el teseracto {4,3,3} y el {5,3,3} de 120 celdas del 4 espacio euclidiano, y el hexagonal mosaico en forma de panal {6,3,3} del espacio hiperbólico. ^[mi]

Es uno de los tres {3,3,p} 4 politopos regulares con celdas tetraédricas, junto con el {3,3,4} de 16 celdas y el {3,3,5} de 600 celdas . El panal tetraédrico de orden 6 {3,3,6} del espacio hiperbólico también tiene células tetraédricas.

Es autodual como el {3,4,3} de 24 celdas , y tiene un símbolo de Schläfli palindrómico {3,p,3} .

Notas

1. Los 5 vértices de una celda de 5 forman 5 celdas tetraédricas unidas cara a cara entre sí, con un total de 10 aristas y 10 caras triangulares.
2. Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido ^[5] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérica alternativa para politopos regulares en los que las 5 celdas son los 4 politopos de 5 puntos: primero en la secuencia ascendente que llega hasta los 4 politopos de 600 puntos.
3. El dodecaedro regular de 120 celdas tiene una superficie límite tridimensional curva que consta de 120 celdas de dodecaedro regulares. También tiene 120 5 celdas regulares separadas inscritas en él. ^[6] Estas no son celdas tridimensionales sino objetos de 4 dimensiones que comparten el punto central de las 120 celdas y cubren colectivamente los 600 vértices.
4. En un politopo con una figura de vértice tetraédrico, ^[e] un camino geodésico a lo largo de los bordes no se encuentra en un círculo máximo ordinario en un solo plano central: cada borde sucesivo se encuentra en un plano central diferente al borde anterior. No obstante, el polígono de Clifford con trayectoria de borde es el conjunto de cuerdas oblicuas de un verdadero gran círculo geodésico, que gira en cuatro dimensiones en lugar de sólo en dos dimensiones: pero no es un gran círculo ordinario "plano" de circunferencia 2𝝅𝑟, es una isoclina . ^[gramo]
5. El diagrama de Schlegel de 5 celdas (en la parte superior de este artículo) ilustra su figura de vértice tetraédrico . Seis de los 10 bordes de las 5 celdas son los bordes delimitadores del tetraedro regular de Schlegel. Las otras cuatro aristas convergen en el quinto vértice, en el centro de volumen del tetraedro. Considere cualquier camino geodésico circular (el más corto) a lo largo de los bordes. ^[d] Hay cuatro formas de llegar a un vértice (como el quinto vértice "central") viajando a lo largo de una arista. La celda de 5 tiene exactamente dos círculos geodésicos pentagonales distintos, y las cuatro direcciones de llegada a un vértice corresponden a llegar a uno de dos circuitos, viajando en una de las dos direcciones de rotación de un circuito. Estos dos pentágonos sesgados geodésicos son los dos polígonos de Petrie distintos de las 5 celdas . En el gráfico de proyección ortogonal, uno aparece como el perímetro del pentágono (secuencia de vértices 1 2 3 4 5) y el otro es el pentagrama inscrito (secuencia de vértices 1 3 5 2 4), pero en realidad son pentágonos sesgados regulares idénticos , cada uno de los cuales sesga a través de las 4 dimensiones. Cada una es una secuencia diferente de 5 de los 10 bordes, y sólo hay dos secuencias distintas.
6. La rotación general en 4 espacios es una rotación doble , por un ángulo distinto en cada uno de dos planos de rotación completamente ortogonales. Hay dos casos especiales de doble rotación, la rotación simple (con un ángulo de rotación de 0°) y la rotación isoclínica (con dos ángulos de rotación iguales).
7. El de 5 celdas (4-simplex) es único entre los 4 politopos regulares porque sus cuerdas isoclinas ^[i] son ​​sus propios bordes. En los otros 4 politopos regulares, la cuerda isoclina es el borde más largo de otro politopo regular que está inscrito. Otro aspecto de esta singularidad es que el polígono isoclino de Clifford de 5 celdas (un pentagrama sesgado) y su polígono de Petrie en zigzag (un pentágono sesgado) son exactamente el mismo objeto; en los otros 4 politopos regulares son bastante diferentes.
8. Cada arista cruza a otras 6 (3 en cada extremo) y está separada de las otras 3, a las que es ortogonal como la arista de un tetraedro a su arista opuesta.
9. Cada cuerda isoclina (borde azul del pentagrama) va desde uno de los 5 vértices, a través del volumen interior de una de las 5 celdas tetraédricas, a través de la cara triangular de la celda opuesta al vértice, y luego sigue recto a través del volumen de la celda vecina. que comparte la cara, hasta su vértice opuesto a la cara. La cuerda isoclina es una línea recta entre los dos vértices que pasa por el volumen de las dos celdas. Como puedes ver en la ilustración, la cuerda isoclina azul no pasa por el centro exacto de la cara compartida, sino por un punto más cercano al vértice de una cara. De hecho, hay dos pentagramas isoclinos diferentes en las 5 celdas, uno de los cuales aparece como el pentagrama azul en la ilustración. Cada uno de estos dos pentagramas de Clifford es una secuencia circular diferente de 5 de los 10 bordes de las 5 celdas. ^[e] Las 10 aristas están presentes en cada una de las 5 celdas tetraédricas: cada celda está limitada por 6 de las 10 aristas y tiene las otras 4 de las 10 aristas recorriendo su volumen como cuerdas isoclinas, desde sus 4 vértices hasta sus 4 caras opuestas. ^[gramo]
10. Un triángulo rectángulo es un ortosquema bidimensional; Los ortoesquemas son la generalización de triángulos rectángulos en n dimensiones. Un ortoesquema tridimensional es un tetraedro con 4 caras de triángulos rectángulos (no necesariamente similares).
11. El cubo de 4 (tesseract) contiene ocho cubos de 3 (por eso también se le llama de 8 celdas). Cada 3 cubos está unido por la cara a otros seis (que lo rodean por completo), pero completamente separados del otro 3 cubos que se encuentra opuesto y paralelo a él en el otro lado de las 8 celdas.
12. La disección del 4-cubo en 384 4-ortoesquemas es 16 de las disecciones en 24 4-ortoesquemas. Primero, cada arista de 4 cubos se divide en 2 aristas más pequeñas, por lo que cada cara cuadrada se divide en 4 cuadrados más pequeños, cada celda cúbica se divide en 8 cubos más pequeños y los 4 cubos completos se dividen en 16 4 cubos más pequeños. Luego, cada 4-cubo más pequeño se divide en 24 4-ortoesquemas que se encuentran en el centro del 4-cubo original.
13. k -politopo regular , el diagrama de Coxeter-Dynkin del ortoesquema k característico es el diagrama del k -politopo sin el anillo del punto generador . El k- politopo regular se subdivide por sus elementos de simetría ( k -1) en g instancias de su k- ortosquema característico que rodean su centro, donde g es el orden del grupo de simetría del k -politopo . ^[13]
14. Un politopo regular de dimensión k tiene un k -ortosquema característico, y también un característico ( k -1) -ortosquema. Un 4-politopo regular tiene un característico 5 celdas (4-ortosquema) en el cual está subdividido por sus hiperplanos de simetría (tridimensionales), y también un tetraedro característico (3-ortosquema) en el cual su superficie está subdividida por sus planos de simetría (bidimensionales) de las células. Después de subdividir su superficie (tridimensional) en tetraedros característicos que rodean el centro de cada celda, su interior (cuatridimensional) se puede subdividir en 5 celdas características agregando radios que unen los vértices de los tetraedros característicos de la superficie al centro del politopo de 4. ^[14] Los tetraedros interiores y los triángulos así formados también serán ortoesquemas.
15. Los 120 4-ortoesquemas congruentes ^[15] del 5-celda regular ocurren en dos formas de imagen especular, 60 de cada una. Cada 4-ortoesquema está unido por células a otras 4 de quiralidad opuesta (por 4 de sus 5 células tetraédricas que se encuentran en el interior del 5-célula regular). Si los 60 4 ortoesquemas para zurdos están coloreados en rojo y los 60 4 ortoesquemas para diestros están coloreados en negro, cada 5 celdas rojas está rodeada por 4 5 celdas negras y viceversa, en un patrón de 4 dimensiones análogo a un tablero de ajedrez (si los tableros de ajedrez tuvieran triángulos rectángulos en lugar de cuadrados).
16. (Coxeter 1973) usa la letra griega (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
17. Los cuatro bordes de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen una longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro del borde, una cara radio central y un radio central de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice regular de 4 politopos, un centro de borde regular de 4 politopos, un centro de cara regular de 4 politopos, un centro de celda regular de 4 politopos y el centro regular de 4 politopos. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro bordes mutuamente perpendiculares (que forman tres giros en ángulo recto), el rasgo característico de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas diferentes del 3-ortosquema.
18. Si las 5 celdas regulares tienen un radio y una longitud de arista 𝒍 = 1, las diez aristas características de sus 5 celdas tienen longitudes , , (la cara exterior del triángulo rectángulo, el triángulo característico ), más , , (las otras tres aristas del exterior Faceta del 3 ortoesquema el tetraedro característico ), más , , , (aristas que son los radios característicos del regular de 5 celdas). ^[16] El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortosquema es , , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{5}}}\approx 0.632}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}{=}0.5}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}\approx 0.612}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{8}}}\approx 0.354}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{24}}}\approx 0.204}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{10}}}\approx 0.632}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}\approx 0.387}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{8.6}}}\approx 0.341}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{40}}}\approx 0.158}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{24}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{40}}}}$

Citas

1. NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11,5 grupos esféricos de Coxeter , p.249
2. Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68
3. Coxeter 1973, pag. 120, §7.2. consulte la ilustración Fig . 7.2 A.
4. Categoría 1: Policora regular
5. Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4 politopos en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
6. Coxeter 1973, pag. 305, Tabla VII: Compuestos regulares en cuatro dimensiones.
7. Coxeter 1973, pag. 12, §1.8. Configuraciones.
8. "Pluma".
9. Coxeter 1991, pag. 30, §4.2. Los politopos regulares cristalográficos.
10. Banchoff 2013.
11. Coxeter 1973, págs. 198-202, §11.7 Figuras regulares y sus truncamientos.
12. Kim & Rote 2016, págs. 17-20, §10 Clasificación Coxeter de grupos de puntos cuatridimensionales.
13. Coxeter 1973, págs. 130-133, §7.6 El grupo de simetría del politopo regular general.
14. Coxeter 1973, pag. 130, §7.6; "subdivisión simple".
15. Coxeter 1973, §3.1 Transformaciones congruentes.
16. Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); "5 celdas, 𝛼 ₄ ".
17. Coxeter 1973, pag. 139, §7.9 La característica simplex.
18. Coxeter 1973, pag. 290, Cuadro I(ii); "ángulos diédricos".

Referencias

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• HSM Coxeter :
  • Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover.
    • pag. 120, §7.2. ver ilustración Fig. 7.2 A
    • pag. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones (n≥5)
  • Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares (2ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press
  • Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter, editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Tiempo. 46 (1940) 380-407, SEÑOR 2,10]
    • (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Tiempo. 188 (1985) 559-591]
    • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Tiempo. 200 (1988) 3-45]
• Kim, Heuna; De memoria, G. (2016). "Prueba de congruencia de conjuntos de puntos en 4 dimensiones". arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26. págs. 409: Hemicubos: 1 _n1 ) 
• Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
  • NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales , Ph.D. (1966)
• Banchoff, Thomas F. (2013). "Descomposiciones toroidales de politopos regulares en 4 espacios". En Senechal, Marjorie (ed.). Dando forma al espacio . Springer Nueva York. págs. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Pentatopo". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o3o3o - bolígrafo".
• Der 5-Zeller (5 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R ⁴ (alemán)
• Jonathan Bowers, Policora regular
• Subprogramas Java 3D
• pirocoron