En geometría , una red de un poliedro es una disposición de polígonos unidos por sus aristas que no se superponen en el plano y que pueden doblarse (a lo largo de las aristas) para convertirse en las caras del poliedro. Las redes poliédricas son una ayuda útil para el estudio de los poliedros y la geometría de sólidos en general, ya que permiten construir modelos físicos de poliedros a partir de materiales como cartón fino. [1]
Un ejemplo temprano de redes poliédricas aparece en las obras de Alberto Durero , cuyo libro de 1525 Un curso sobre el arte de medir con compás y regla ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) incluía redes para los sólidos platónicos y varios de los sólidos arquimedianos . [2] [3] Estas construcciones fueron llamadas redes por primera vez en 1543 por Augustin Hirschvogel . [4]
Pueden existir muchas redes diferentes para un poliedro dado, dependiendo de las opciones de qué aristas se unen y cuáles se separan. Las aristas que se cortan de un poliedro convexo para formar una red deben formar un árbol de expansión del poliedro, pero cortar algunos árboles de expansión puede hacer que el poliedro se superponga a sí mismo cuando se desdobla, en lugar de formar una red. [5] Por el contrario, una red dada puede plegarse en más de un poliedro convexo diferente, dependiendo de los ángulos en los que se doblan sus aristas y de la elección de qué aristas pegar. [6] Si se da una red junto con un patrón para pegar sus aristas, de modo que cada vértice de la forma resultante tenga un defecto angular positivo y de modo que la suma de estos defectos sea exactamente 4 π , entonces necesariamente existe exactamente un poliedro que se puede plegar a partir de ella; este es el teorema de unicidad de Alexandrov . Sin embargo, el poliedro formado de esta manera puede tener caras diferentes a las especificadas como parte de la red: algunos de los polígonos de la red pueden tener pliegues a lo largo de ellos, y algunos de los bordes entre los polígonos de la red pueden permanecer sin plegar. Además, la misma red puede tener múltiples patrones de pegado válidos, lo que da lugar a diferentes poliedros plegados. [7]
En 1975, GC Shephard preguntó si cada poliedro convexo tiene al menos una red, o un simple desdoblamiento de aristas. [8] Esta pregunta, que también se conoce como la conjetura de Durero, o el problema de desdoblamiento de Durero, sigue sin respuesta. [9] [10] [11] Existen poliedros no convexos que no tienen redes, y es posible subdividir las caras de cada poliedro convexo (por ejemplo a lo largo de un lugar geométrico de corte ) de modo que el conjunto de caras subdivididas tenga una red. [5] En 2014, Mohammad Ghomi demostró que todo poliedro convexo admite una red después de una transformación afín . [12] Además, en 2019 Barvinok y Ghomi demostraron que una generalización de la conjetura de Durero falla para pseudoaristas , [13] es decir, una red de geodésicas que conectan vértices del poliedro y forman un gráfico con caras convexas.
Una pregunta abierta relacionada pregunta si cada red de un poliedro convexo tiene un florecimiento , un movimiento continuo no autointersecante desde su estado plano a su estado plegado que mantiene cada cara plana durante todo el movimiento. [14]
El camino más corto sobre la superficie entre dos puntos en la superficie de un poliedro corresponde a una línea recta en una red adecuada para el subconjunto de caras tocadas por el camino. La red tiene que ser tal que la línea recta esté completamente dentro de ella, y uno puede tener que considerar varias redes para ver cuál da el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un cubo , si los puntos están en caras adyacentes un candidato para el camino más corto es el camino que cruza el borde común; el camino más corto de este tipo se encuentra usando una red donde las dos caras también son adyacentes. Otros candidatos para el camino más corto pasan por la superficie de una tercera cara adyacente a ambas (de las cuales hay dos), y las redes correspondientes se pueden usar para encontrar el camino más corto en cada categoría. [15]
El problema de la araña y la mosca es un problema matemático recreativo que implica encontrar el camino más corto entre dos puntos de un cuboide.
Una red de un politopo de cuatro dimensiones , está compuesta por celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, al igual que las caras poligonales de una red de un poliedro están conectadas por sus aristas y todas ocupan el mismo plano. La red del teseracto, el hipercubo de cuatro dimensiones , se utiliza de forma destacada en una pintura de Salvador Dalí , Crucifixión (Corpus Hypercubus) (1954). [16] La misma red de teseracto es central para la trama del cuento "—And He Built a Crooked House—" de Robert A. Heinlein . [17]
El número de redes combinatoriamente distintas de hipercubos de dimensiones 2 , 3, 4, ... se puede encontrar al representar estas redes como un árbol en nodos que describe el patrón por el cual los pares de caras del hipercubo se pegan entre sí para formar una red, junto con una coincidencia perfecta en el gráfico de complemento del árbol que describe los pares de caras que están opuestos entre sí en el hipercubo plegado. Usando esta representación, el número de desdoblamientos diferentes para hipercubos de dimensiones 2, 3, 4, ... se han contado como
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