En geometría , un politopo truncado de 5 celdas es un politopo uniforme de 4 dimensiones ( politopo uniforme de 4 dimensiones ) formado como el truncamiento del politopo regular de 5 celdas .
Hay dos grados de truncamiento, incluido un truncamiento de bits .
El pentacoron truncado de cinco celdas , pentacoron truncado o 4-símplex truncado está limitado por diez celdas : cinco tetraedros y cinco tetraedros truncados . Cada vértice está rodeado por tres tetraedros truncados y un tetraedro; la figura del vértice es un tetraedro alargado.
La celda truncada de 5 elementos se puede construir a partir de la celda 5 truncando sus vértices en 1/3 de la longitud de su arista. Esto transforma las 5 celdas tetraédricas en tetraedros truncados e introduce 5 nuevas celdas tetraédricas ubicadas cerca de los vértices originales.
Los tetraedros truncados están unidos entre sí por sus caras hexagonales y a los tetraedros por sus caras triangulares.
Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números del vector f diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [1]
La proyección del diagrama de Schlegel del tetraedro truncado primero de la celda 5 truncada en el espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
Esta disposición de celdas en la proyección es análoga a la disposición de las caras en la proyección de caras primero del tetraedro truncado en el espacio bidimensional. La celda truncada de cinco elementos es el análogo en cuatro dimensiones del tetraedro truncado.
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un sistema truncado de 5 celdas centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:
En términos más simples, los vértices de la celda truncada de 5 elementos se pueden construir en un hiperplano en el espacio de 5 elementos como permutaciones de (0,0,0,1,2) o de (0,1,2,2,2). Estas coordenadas provienen de facetas ortantes positivas del pentacruz truncado y del penteracto bitruncado respectivamente.
La envoltura convexa del quinquenio truncado y su dual (asumiendo que son congruentes) es un policoron no uniforme compuesto por 60 celdas: 10 tetraedros , 20 octaedros (como antiprismas triangulares), 30 tetraedros (como difenoides tetragonales) y 40 vértices. Su figura de vértice es una cúpula hexaquistriangular .
El pentacoron bitruncado de 5 celdas (también llamado pentacoron bitruncado , decacoron y de 10 celdas ) es un politopo de 4 dimensiones , o 4-politopo , compuesto por 10 celdas en forma de tetraedros truncados .
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [[3,3,3]], existe una única forma geométrica, que contiene 10 tetraedros truncados uniformes. Los hexágonos son siempre regulares debido a la simetría de inversión del policoronte, de la cual el hexágono regular es el único caso entre los ditrígonos (un hexágono isogonal con simetría triple).
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular.
Cada cara hexagonal del tetraedro truncado está unida en orientación complementaria al tetraedro truncado vecino. Cada arista es compartida por dos hexágonos y un triángulo. Cada vértice está rodeado por 4 celdas tetraédricas truncadas en una figura de vértice difenoide tetragonal .
El 5-cell bitruncado es la intersección de dos pentágonos en configuración dual. Como tal, es también la intersección de un penteracto con el hiperplano que biseca la diagonal larga del penteracto ortogonalmente. En este sentido es un análogo de 4 dimensiones del octaedro regular (intersección de tetraedros regulares en configuración dual / bisección de teseracto en la diagonal larga) y el hexágono regular (triángulos equiláteros / cubo). El análogo de 5 dimensiones es el 5-símplex birectificado , y el análogo de - dimensiones es el politopo cuyo diagrama de Coxeter-Dynkin es lineal con anillos en el nodo o los dos nodos del medio.
El bitruncado de 5 celdas es uno de los dos politopos de 4 celdas uniformes convexos no regulares que son transitivos entre celdas . El otro es el bitruncado de 24 celdas , que está compuesto por 48 cubos truncados.
Este 4-politopo tiene una simetría pentacórica extendida superior (2×A 4 , [[3,3,3]]), duplicada hasta el orden 240, porque el elemento correspondiente a cualquier elemento de la 5-celda subyacente puede intercambiarse con uno de los correspondientes a un elemento de su dual.
Las coordenadas cartesianas de un sistema de 5 celdas bitruncado centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:
De manera más simple, los vértices de la celda de 5 bits truncados se pueden construir en un hiperplano en el espacio de 5 bits como permutaciones de (0,0,1,2,2). Estas representan facetas ortantes positivas del pentacruz de bits truncado . Otra construcción en el espacio de 5 bits, centrada en el origen, son las 20 permutaciones de (-1,-1,0,1,1).
La celda 5 bitruncada puede verse como la intersección de dos celdas 5 regulares en posiciones duales.
=
∩
.
Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números del vector f diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [2]
El poliedro oblicuo regular , {6,4|3}, existe en el espacio 4 con 4 hexágonos alrededor de cada vértice, en una figura de vértices no plana en zigzag. Estas caras hexagonales se pueden ver en la celda de 5 bitruncada, utilizando las 60 aristas y los 30 vértices. Las 20 caras triangulares de la celda de 5 bitruncada se pueden ver eliminadas. El poliedro oblicuo regular dual, {4,6|3}, está relacionado de manera similar con las caras cuadradas de la celda de 5 bitruncada .
El difenoide de 30 celdas es el dual del bitruncado de 5 celdas. Es un politopo de 4 dimensiones (o policoron ) derivado del de 5 celdas . Es la envoltura convexa de dos de 5 celdas en orientaciones opuestas.
Al ser el dual de un policoron uniforme, es transitivo a nivel celular y está formado por 30 difenoides tetragonales congruentes . Además, es transitivo a nivel de vértice bajo el grupo Aut(A 4 ).
Estos politopos pertenecen a un conjunto de 9 4-politopos uniformes construidos a partir del grupo de Coxeter [3,3,3] .
