Objeto geométrico de cuatro dimensiones con lados planos.
En geometría , un politopo de 4 dimensiones (a veces también llamado policorón , [1] policélula o poliedroide ) es un politopo de cuatro dimensiones . [2] [3] Es una figura conectada y cerrada, compuesta por elementos politópicos de dimensiones inferiores: vértices , aristas , caras ( polígonos ) y celdas ( poliedros ). Cada cara es compartida por exactamente dos células. Los 4 politopos fueron descubiertos por el matemático suizo Ludwig Schläfli antes de 1853. [4]
El análogo bidimensional de un politopo de 4 es un polígono y el análogo tridimensional es un poliedro .
Topológicamente, los 4 politopos están estrechamente relacionados con los panales uniformes , como el panal cúbico , que tesela 3 espacios; De manera similar, el cubo 3D está relacionado con el mosaico cuadrado infinito 2D . Los 4 politopos convexos se pueden cortar y desplegar como redes en 3 espacios.
Definición
Un politopo de 4 es una figura cerrada de cuatro dimensiones . Comprende vértices (puntos de esquina), aristas , caras y celdas . Una celda es el análogo tridimensional de una cara y, por tanto, es un poliedro . Cada cara debe unir exactamente dos celdas, de forma análoga a la forma en que cada arista de un poliedro une sólo dos caras. Como cualquier politopo, los elementos de un 4-politopo no se pueden subdividir en dos o más conjuntos que también sean 4-politopos, es decir, no es un compuesto.
Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido [5] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden.
Visualización
Los 4 politopos no se pueden ver en el espacio tridimensional debido a su dimensión adicional. Se utilizan varias técnicas para ayudar a visualizarlos.
Así como una forma 3D se puede proyectar sobre una hoja plana, una forma 4-D se puede proyectar en 3 espacios o incluso sobre una hoja plana. Una proyección común es un diagrama de Schlegel que utiliza una proyección estereográfica de puntos en la superficie de una 3 esferas en tres dimensiones, conectados por aristas rectas, caras y celdas dibujadas en 3 espacios.
Seccionamiento
Así como un corte a través de un poliedro revela una superficie cortada, un corte a través de un politopo de 4 revela una "hipersuperficie" cortada en tres dimensiones. Se puede utilizar una secuencia de dichas secciones para comprender la forma general. La dimensión adicional se puede equiparar con el tiempo para producir una animación suave de estas secciones transversales.
Redes
Una red de un politopo de 4 está compuesta de celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, al igual que las caras poligonales de una red de un poliedro están conectadas por sus aristas y todas ocupan el mismo plano. .
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 4 politopos, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados. [6]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de 4 politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [6]
Clasificación
Criterios
Como todos los politopos, los 4 politopos se pueden clasificar según propiedades como " convexidad " y " simetría ".
Un 4-politopo es convexo si su límite (incluidas sus celdas, caras y aristas) no se cruza consigo mismo y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 4-politopo está contenido en el 4-politopo o en su interior; en caso contrario, no es convexo . Los 4 politopos que se intersectan automáticamente también se conocen como 4 politopos estelares , por analogía con las formas estelares de los polígonos estelares no convexos y los poliedros de Kepler-Poinsot .
Un politopo de 4 es escaliforme si es transitivo por vértice y tiene todos los bordes de igual longitud. Esto permite células que no son uniformes, como los sólidos de Johnson convexos de caras regulares .
Un politopo de 4 dimensiones es prismático si es el producto cartesiano de dos o más politopos de dimensiones inferiores. Un politopo prismático de 4 es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de dos cuadrados , o de un cubo y un segmento de recta ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas a las heredadas de sus factores.
Un mosaico o panal de 3 espacios es la división del espacio euclidiano tridimensional en una cuadrícula repetitiva de celdas poliédricas. Tales mosaicos o teselados son infinitos y no limitan un volumen "4D", y son ejemplos de 4 politopos infinitos. Un mosaico uniforme de 3 espacios es aquel cuyos vértices son congruentes y están relacionados por un grupo espacial y cuyas celdas son poliedros uniformes .
Clases
A continuación se enumeran las diversas categorías de 4 politopos clasificados según los criterios anteriores:
El truncado de 120 celdas es uno de los 47 4 politopos uniformes no prismáticos convexos.
4 politopos uniformes no convexos (10 + desconocido)El gran gran estrella estrellado de 120 células es el más grande de los 10 politopos de 4 estrellas regulares y tiene 600 vértices.
Número total desconocido de 4 politopos uniformes no convexos: Norman Johnson y otros colaboradores han identificado 2189 casos conocidos (convexos y en estrella, excluyendo las familias infinitas), todos construidos mediante figuras de vértices mediante el software Stella4D . [7]
El de 11 celdas es un politopo regular abstracto de 4, que existe en el plano proyectivo real , y se puede ver presentando sus 11 vértices y celdas hemiicosaédricas por índice y color.
Estas categorías incluyen sólo los 4 politopos que exhiben un alto grado de simetría. Son posibles muchos otros 4 politopos, pero no se han estudiado tan exhaustivamente como los incluidos en estas categorías.
3 esferas : análogo de una esfera en un espacio de 4 dimensiones. Este no es un politopo de 4, ya que no está limitado por células poliédricas.
El duocilindro es una figura en el espacio de 4 dimensiones relacionada con los duoprismas . Tampoco es un politopo de 4 porque sus volúmenes delimitadores no son poliédricos.
Referencias
Notas
^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.1 Politopos y panales , p.224
^ Vialar, T. (2009). Dinámica no lineal compleja y caótica: avances en economía y finanzas. Saltador. pag. 674.ISBN978-3-540-85977-2.
^ Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (2010). Aplicaciones de las Matemáticas en Modelos, Redes Neuronales Artificiales y Artes. Saltador. pag. 598.doi : 10.1007 /978-90-481-8581-8. ISBN978-90-481-8580-1.
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones: [Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4 politopos en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.]
^ abc Richeson, D.; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
^ Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 casos en 2005
HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller : Poliedros uniformes , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London, Londres, 1954
Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
(Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Tiempo. 46 (1940) 380–407, SEÑOR 2,10]
(Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Tiempo. 188 (1985) 559–591]
(Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Tiempo. 200 (1988) 3–45]
JH Conway y MJT Guy : Politopos de Arquímedes de cuatro dimensiones , Actas del Coloquio sobre la convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
Politopos de Arquímedes de cuatro dimensiones (alemán), Marco Möller, tesis doctoral de 2004 [2] Archivado el 22 de marzo de 2005 en Wayback Machine.
enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con 4 politopos .
