En geometría , el disicositetracoron chato de 24 células o chato es un politopo uniforme convexo de 4 células compuesto por 120 células tetraédricas regulares y 24 icosaédricas . En cada vértice se encuentran cinco tetraedros y tres icosaedros. En total tiene 480 caras triangulares, 432 aristas y 96 vértices. Se puede construir a partir de las 600 celdas disminuyendo un subconjunto selecto de pirámides icosaédricas y dejando solo sus bases icosaédricas, eliminando así 480 tetraedros y reemplazándolos con 24 icosaedros.
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [3 + ,4,3], como una alternancia de un truncado de 24 celdas , contiene 24 piritoedros (un icosaedro con simetría Th ) , 24 tetraedros regulares y 96 pirámides triangulares.
Es uno de los tres 4 politopos semirregulares formados por dos o más células que son sólidos platónicos , descubiertos por Thorold Gosset en su artículo de 1900. [2] Lo llamó tetricosaédrico por estar formado por células de tetraedro e icosaedro . (Los otros dos son el rectificado de 5 celdas y el rectificado de 600 celdas ).
Los vértices de un chato de 24 celdas centrado en el origen del 4-espacio, con aristas de longitud 2, se obtienen tomando permutaciones pares de
donde φ =1 + √5/2≈ 1.618 es la proporción áurea .
Las coordenadas de radio unitario del chato de 24 celdas, con bordes de longitud φ −1 ≈ 0,618, son las permutaciones pares de
Estos 96 vértices se pueden encontrar dividiendo cada uno de los 96 bordes de una celda de 24 en la proporción áurea de una manera consistente dimensionalmente análoga a la forma en que los 12 vértices de un icosaedro u "octaedro chato" se pueden producir dividiendo los 12 bordes. de un octaedro en la proporción áurea. Esto se puede hacer colocando primero vectores a lo largo de los bordes de las 24 celdas de modo que cada cara bidimensional esté delimitada por un ciclo, y luego dividiendo de manera similar cada borde en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. [4] Esto es equivalente a la construcción de truncamiento chato de las 24 celdas que se describe a continuación.
Los 96 vértices del chato de 24 celdas, junto con los 24 vértices de un de 24 celdas, forman los 120 vértices del de 600 celdas .
El chato de 24 celdas se deriva del de 24 celdas mediante una forma especial de truncamiento .
Los truncamientos eliminan los vértices cortando los bordes incidentes al vértice; Las formas de truncamiento difieren según el lugar del borde en el que se realiza el corte. Los truncamientos comunes de las 24 celdas incluyen el recitado de 24 celdas (que corta cada borde en su punto medio, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 cuboctaedros ), y el truncado de 24 celdas (que corta cada borde en un tercio de su longitud desde el vértice, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 octaedros truncados ). En estos truncamientos se produce un cubo en lugar del vértice eliminado, porque la figura del vértice de las 24 celdas es un cubo y los cortes son equidistantes del vértice.
El truncamiento chato de las 24 celdas [4] corta cada borde en dos secciones áureas (de modo que la sección más grande esté en la proporción áurea ~1.618 con respecto a la sección más pequeña, y el borde original esté en la proporción áurea con respecto a la sección más grande) . El corte debe realizarse en direcciones alternas en aristas alternas incidentes en cada vértice, para tener un resultado coherente. Los bordes incidentes a un vértice en las 24 celdas son los 8 radios de su figura de vértice cúbico. La única manera de elegir radios alternativos de un cubo es elegir los cuatro radios de un tetraedro (inscritos en el cubo) para cortarlos en la sección más pequeña de su longitud desde el vértice, y los cuatro radios opuestos (del otro tetraedro que pueden inscribirse en el cubo) que se cortarán en la sección mayor de su longitud desde el vértice. Por supuesto, hay dos maneras de hacer esto; ambos producen un grupo de cinco tetraedros regulares en lugar del vértice eliminado, en lugar de un cubo.
Esta construcción tiene una analogía en 3 dimensiones: la construcción del icosaedro (el " octaedro chato ") a partir del octaedro, por el mismo método. [5] Así es como los icosaedros de 24 células chatas se producen a partir de los octaedros de 24 células durante el truncamiento.
El desaire de 24 celdas está relacionado con el de 24 celdas truncado mediante una operación de alternancia . Se eliminan la mitad de los vértices, las 24 celdas del octaedro truncado se convierten en 24 celdas del icosaedro , los 24 cubos se convierten en 24 celdas del tetraedro y los 96 vacíos de los vértices eliminados crean 96 nuevas celdas del tetraedro.
El chato de 24 celdas también puede construirse mediante una disminución particular de las 600 celdas : eliminando 24 vértices de las 600 celdas correspondientes a los de una inscrita de 24 celdas , y luego tomando el casco convexo de los vértices restantes. Esto equivale a eliminar 24 pirámides icosaédricas de las 600 celdas.
Por el contrario, el de 600 celdas se puede construir a partir del chato de 24 celdas aumentándolo con 24 pirámides icosaédricas.
Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo Weyl de orden 120. [6] A continuación se describen 24 celdas como pesos de órbita de cuaterniones de D4 bajo el grupo Weyl W (D4):
Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400.
Dado tal que y como un intercambio de dentro , podemos construir el chato de 24 celdas como
Las células icosaédricas encajan cara a cara dejando vacíos entre ellas llenos de grupos de cinco células tetraédricas. [7]
Cada celda icosaédrica está unida a otras 8 celdas icosaédricas en 8 caras triangulares en las posiciones correspondientes a un octaedro inscrito. Las caras triangulares restantes están unidas a celdas tetraédricas, que se presentan en pares que comparten un borde en la celda icosaédrica.
Las células tetraédricas se pueden dividir en dos grupos, de 96 células amarillas y 24 células rojas respectivamente (como se muestra en la ilustración de la red). Cada celda tetraédrica amarilla está unida por sus caras triangulares a 3 celdas icosaédricas azules y una celda tetraédrica roja, mientras que cada celda tetraédrica roja está unida a 4 tetraedros amarillos. Por lo tanto, las células tetraédricas se presentan en grupos de cinco (cuatro células amarillas unidas cara a cara alrededor de una central roja, cada par rojo/amarillo se encuentra en un hiperplano diferente). El tetraedro central rojo de los cinco comparte cada uno de sus seis bordes con una celda icosaédrica diferente y con el par de celdas tetraédricas amarillas que comparten ese borde en la celda icosaédrica.
El chato de 24 celdas tiene tres coloraciones transitivas de vértice basadas en una construcción de Wythoff en un grupo de Coxeter del cual se alterna : F 4 define 24 icosaedros intercambiables, mientras que el grupo B 4 define dos grupos de icosaedros en un conteo de 8:16, y finalmente el grupo D 4 tiene 3 grupos de icosaedros con cuentas 8:8:8. [8]
El Dual Snub de 24 celdas tiene 144 celdas irregulares idénticas. Cada celda tiene caras de dos tipos: 3 cometas y 6 triángulos isósceles. El politopo tiene un total de 432 caras (144 cometas y 288 triángulos isósceles) y 480 aristas. [9]
El desaire de 24 celdas se puede obtener como una disminución del de 600 celdas en 24 de sus vértices, de hecho los de un vértice inscrito de 24 celdas . También existe otra bidisminución de este tipo , cuando los vértices de un segundo vértice inscrito con 24 celdas también estarían disminuidos. En consecuencia, éste se conoce como bi-24-disminuido de 600 celdas .
El desaire de 24 celdas también se denomina semi-desaire de 24 celdas porque no es un verdadero desaire (alternancia de un omnitruncado de 24 celdas). También se puede construir el chato completo de 24 celdas, aunque no es uniforme, ya que está compuesto por tetraedros irregulares en los vértices alternos.
El chato de 24 celdas es la faceta más grande del panal de 4 dimensiones, el chato de 24 celdas .
El chato de 24 celdas es parte de la familia de simetría F 4 de 4 politopos uniformes.
![{\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2020e8f2ccdbd85dea0af38e6a0127d5446e42)
![{\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a23b7f4033871816e91c387a44cf392cac24bd)
![{\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13545fc184e7fc37a87f7446d0b9e70bc07cf3b7)
