Punto antípoda

Par de puntos diametralmente opuestos en un círculo, esfera o hiperesfera

Los dos puntos P y P ' (rojo) son antípodas porque son extremos de un diámetro PP ' , un segmento del eje a (violeta) que pasa por el centro de la esfera O (negro). P y P ' son los polos de un círculo máximo g (verde) cuyos puntos son equidistantes de cada uno (con un ángulo recto central). Cualquier círculo máximo s (azul) que pase por los polos es secundario a g .

En matemáticas , dos puntos de una esfera (o n-esfera , incluido un círculo ) se llaman antípodas o diametralmente opuestos si son los puntos extremos de un diámetro , un segmento de línea recta entre dos puntos de una esfera y que pasa por su centro . ^[1]

Dado cualquier punto de una esfera, su punto antípoda es el único punto a mayor distancia , ya sea medido intrínsecamente ( distancia del círculo máximo en la superficie de la esfera) o extrínsecamente ( distancia cordal a través del interior de la esfera). Cada círculo máximo de una esfera que pasa por un punto también pasa por su punto antípoda, y hay infinitos círculos máximos que pasan por un par de puntos antípodas (a diferencia de la situación de cualquier par de puntos no antípodas, que tienen un círculo máximo único pasando por ambos). Muchos resultados en geometría esférica dependen de la elección de puntos no antípodas y degeneran si se permiten puntos antípodas; por ejemplo, un triángulo esférico degenera a una luna poco especificada si dos de los vértices son antípodas.

El punto antípoda de un punto determinado se llama antípodas , del griego ἀντίποδες ( antípodes ) que significa "pies opuestos"; ver Antípodas § Etimología . A veces se omite la s y se convierte en antípoda , una formación posterior .

Matemáticas avanzadas

El concepto de puntos antípodas se generaliza a esferas de cualquier dimensión: dos puntos de la esfera son antípodas si son opuestos por el centro . Cada línea que pasa por el centro corta la esfera en dos puntos, uno por cada rayo que emana del centro, y estos dos puntos son antípodas.

El teorema de Borsuk-Ulam es el resultado de una topología algebraica que trata con estos pares de puntos. Dice que cualquier función continua desde hasta asigna un par de puntos antípodas al mismo punto en Aquí, denota la esfera -dimensional y es un espacio de coordenadas real -dimensional . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

El mapa antípoda envía cada punto de la esfera a su punto antípoda. Si los puntos de la esfera se representan como vectores de desplazamiento desde el centro de la esfera en el espacio euclidiano, entonces dos puntos antípodas se representan mediante inversos aditivos y el mapa antípoda se puede definir como El mapa antípoda conserva la orientación (es homotópico al mapa de identidad ) ^[2] cuando es impar y lo invierte cuando es par. Su grado es ${\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle -\mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}.}$

Si se identifican puntos antípodas (considerados equivalentes), la esfera se convierte en un modelo de espacio proyectivo real .

Ver también

• lugar de corte

Referencias

1. Chisholm, Hugh , ed. (1911). «Antípodas»  . Enciclopedia Británica . vol. 2 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 133-34.
2. V. Guillemin; A. Pollack (1974). Topología diferencial . Prentice Hall.

enlaces externos

• "Antípodas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "antípoda". PlanetMath .