En matemáticas , un polígono construible es un polígono regular que se puede construir con compás y regla . Por ejemplo, un pentágono regular se puede construir con compás y regla, mientras que un heptágono regular no. Hay infinitos polígonos construibles, pero sólo se conocen 31 con un número impar de lados.
Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con compás y regla; otros no lo son. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo construir un polígono regular de 3, 4 o 5 lados, [1] : p. xi y sabían cómo construir un polígono regular con el doble de lados que un polígono regular dado. [1] : págs. 49–50 Esto llevó a plantear la pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con compás y regla? Si no, ¿qué n -gonos (es decir, polígonos con n aristas) son construibles y cuáles no?
Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del 17-gón regular en 1796. Cinco años más tarde, desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss afirmó sin pruebas que esta condición también era necesaria , [2] pero nunca publicó su prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de necesidad en 1837. El resultado se conoce como teorema de Gauss-Wantzel :
Un primo de Fermat es un número primo de la forma
Para reducir un problema geométrico a un problema de teoría de números pura , la prueba utiliza el hecho de que un n -gón regular es construible si y sólo si el coseno es un número construible , es decir, puede escribirse en términos de los cuatro Operaciones aritméticas básicas y extracción de raíces cuadradas . De manera equivalente, un n -gón regular es construible si cualquier raíz del enésimo polinomio ciclotómico es construible.
Reformulando el teorema de Gauss-Wantzel:
Los cinco primos de Fermat conocidos son:
Dado que hay 31 subconjuntos no vacíos de los cinco primos de Fermat conocidos, hay 31 polígonos construibles conocidos con un número impar de lados.
Se sabe que los siguientes veintiocho números de Fermat, del F 5 al F 32 , son compuestos . [3]
Por tanto, un n -gon regular es construible si
mientras que un n -gon regular no se puede construir con compás y regla si
Dado que hay 5 primos de Fermat conocidos, conocemos 31 números que son productos de primos de Fermat distintos y, por lo tanto, 31 polígonos regulares de lados impares construibles. Estos son 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342. 387, 5570645, 16711935 , 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (secuencia A045544 en la OEIS ). Como comentó John Conway en El Libro de los Números , estos números, cuando se escriben en binario , son iguales a las primeras 32 filas del triángulo de Pascal módulo -2 , menos la fila superior, que corresponde a un monógono . (Debido a esto, los 1 en dicha lista forman una aproximación al triángulo de Sierpiński ). Este patrón se descompone después de esto, ya que el siguiente número de Fermat es compuesto (4294967297 = 641 × 6700417), por lo que las siguientes filas no corresponden a polígonos construibles. Se desconoce si existen más primos de Fermat y, por lo tanto, se desconoce cuántos polígonos regulares construibles de lados impares existen. En general, si hay q primos de Fermat, entonces hay 2 q −1 polígonos regulares construibles de lados impares .
A la luz de trabajos posteriores sobre la teoría de Galois , se han aclarado los principios de estas pruebas. Es sencillo demostrar a partir de la geometría analítica que las longitudes construibles deben provenir de las longitudes de las bases mediante la solución de alguna secuencia de ecuaciones cuadráticas . [4] En términos de teoría de campos , tales longitudes deben estar contenidas en una extensión de campo generada por una torre de extensiones cuadráticas . De ello se deduce que un campo generado por construcciones siempre tendrá un grado sobre el campo base que es una potencia de dos.
En el caso específico de un n -gon regular, la cuestión se reduce a la cuestión de construir una longitud
que es un número trigonométrico y por tanto un número algebraico . Este número se encuentra en el n -ésimo campo ciclotómico y, de hecho, en su subcampo real , que es un campo totalmente real y un espacio vectorial racional de dimensión.
donde φ( n ) es la función totiente de Euler . El resultado de Wantzel se reduce a un cálculo que muestra que φ( n ) es una potencia de 2 precisamente en los casos especificados.
En cuanto a la construcción de Gauss, cuando el grupo de Galois es un grupo de 2 se deduce que tiene una secuencia de subgrupos de órdenes.
que están anidados, cada uno en el siguiente (una serie de composición , en terminología de teoría de grupos ), algo sencillo de demostrar por inducción en este caso de un grupo abeliano . Por lo tanto, hay subcampos anidados dentro del campo ciclotómico, cada uno de grado 2 sobre el anterior. Los generadores para cada uno de estos campos pueden escribirse mediante la teoría del período gaussiano . Por ejemplo, para n = 17 hay un período que es la suma de ocho raíces de la unidad , uno que es la suma de cuatro raíces de la unidad y otro que es la suma de dos, que es
Cada una de ellas es una raíz de una ecuación cuadrática en términos de la anterior. Además, estas ecuaciones tienen raíces reales en lugar de complejas , por lo que en principio pueden resolverse mediante construcción geométrica: esto se debe a que todo el trabajo se desarrolla dentro de un campo totalmente real.
De esta manera el resultado de Gauss puede entenderse en términos actuales; para el cálculo real de las ecuaciones a resolver, los períodos pueden elevarse al cuadrado y compararse con los períodos "inferiores", en un algoritmo bastante factible.
Las construcciones con compás y regla son conocidas para todos los polígonos construibles conocidos. Si n = pq con p = 2 o p y q coprimos , se puede construir un n -gon a partir de un p -gon y un q -gon.
Por lo tanto, sólo hay que encontrar una construcción con compás y regla para n -gonos donde n es un primo de Fermat.
De izquierda a derecha, construcciones de 15 gon , 17 gon , 257 gon y 65537 gon . Sólo se muestra la primera etapa de la construcción de 65537 gon; las construcciones de 15 gon, 17 gon y 257 gon se dan en su totalidad.
El concepto de constructibilidad, como se analiza en este artículo, se aplica específicamente a las construcciones con compás y regla . Se hacen posibles más construcciones si se permiten otras herramientas. Las llamadas construcciones neusis , por ejemplo, utilizan una regla marcada . Las construcciones son una idealización matemática y se supone que se hacen exactamente.
Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisector de ángulos si y solo si donde r, s, k ≥ 0 y donde p i son primos de Pierpont distintos mayores que 3 (primos de la forma [8] : Thm.2 Estos polígonos son exactamente los polígonos regulares que se pueden construir con sección cónica , y los polígonos regulares que se pueden construir con plegado de papel . Los primeros números de lados de estos polígonos son:
