Triángulo equilátero

Figura con tres lados iguales

Un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados tienen la misma longitud y tres ángulos son iguales. Debido a estas propiedades, el triángulo equilátero pertenece a la familia de los polígonos regulares y, en ocasiones, se lo conoce como triángulo regular . Es el caso especial de un triángulo isósceles según la definición moderna, lo que le confiere más propiedades especiales.

El triángulo equilátero se puede encontrar en figuras de grandes dimensiones. Se pueden encontrar ejemplos en varios mosaicos y en poliedros como el deltaedro y el antiprisma . Otras apariciones en la vida real son las culturas populares, las arquitecturas y el estudio de la estereoquímica que se asemeja a la geometría molecular conocida como geometría molecular trigonal plana.

Propiedades

Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene tres lados iguales. Es un caso especial de un triángulo isósceles en la definición moderna, que establece que un triángulo isósceles se define al menos como aquel que tiene dos lados iguales. ^[1] Según la definición moderna, esto conduce a un triángulo equilátero en el que uno de los tres lados puede considerarse su base. ^[2]

La definición de seguimiento anterior puede dar como resultado propiedades más precisas. Por ejemplo, dado que el perímetro de un triángulo isósceles es la suma de sus dos catetos y su base, el triángulo equilátero se formula como tres veces su lado. ^{[3] [4]} Los ángulos internos de un triángulo equilátero son iguales, 60°. ^[5] Debido a estas propiedades, los triángulos equiláteros se convierten en la familia conocida como polígonos regulares . Las cevianas de un triángulo equilátero tienen todas la misma longitud, lo que da como resultado que la mediana y la bisectriz del ángulo tengan la misma longitud, considerando esas líneas como su altura dependiendo de la elección de la base. ^[5] Cuando el triángulo equilátero se voltea sobre su altura y se rota alrededor de su centro por cada tercio de un ángulo completo, su apariencia es inmutable. Esto lleva a que el triángulo equilátero tenga la simetría de un grupo diedro de orden seis. ^[6] A continuación se describen otros. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

Área

El triángulo rectángulo con hipotenusa de tiene una altura de . Por lo tanto, la altura de un triángulo equilátero es el seno de 60°, . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$

El área de un triángulo equilátero es La fórmula puede derivarse de la fórmula de un triángulo isósceles por el teorema de Pitágoras : la altura de un triángulo es la raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de un lado y la mitad de una base . ^[3] Como la base y los catetos son iguales, la altura es: ^[7] En general, el área de un triángulo es el medio producto de la base por la altura. La fórmula del área de un triángulo equilátero se puede obtener sustituyendo la fórmula de la altura. ^[7] Otra forma de demostrar el área de un triángulo equilátero es utilizando la función trigonométrica . El área de un triángulo se formula como el medio producto de la base por la altura y el seno de un ángulo. Como todos los ángulos de un triángulo equilátero miden 60°, la fórmula es la deseada. ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero. Es decir, para perímetro y área , la igualdad se cumple para el triángulo equilátero: ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}$$

Relación con los círculos

El radio del círculo circunscrito es: y el radio del círculo inscrito es la mitad del radio circunscrito: $${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}},}$$ $${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a.}$$

El teorema de Euler establece que la distancia entre el radio circunscrito y el radio interno se formula como . La consecuencia es una desigualdad triangular que establece que el triángulo equilátero tiene la menor relación entre el radio circunscrito y el radio interno de cualquier triángulo. Es decir: ^[9] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle R\geq 2r.}$$

El teorema de Pompeiu establece que, si es un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero pero no en su circunferencia circunscrita , entonces existe un triángulo con lados de longitudes , , y . Es decir, , , y satisfacen la desigualdad triangular de que la suma de dos cualesquiera de ellos es mayor que el tercero. Si está en la circunferencia circunscrita entonces la suma de los dos más pequeños es igual al más largo y el triángulo ha degenerado en una línea, este caso se conoce como el teorema de Van Schooten . ^[10] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle P}$

Un problema de empaquetamiento plantea el objetivo de empaquetar círculos en el triángulo equilátero más pequeño posible . Las soluciones óptimas muestran que se pueden empaquetar en el triángulo equilátero, pero las conjeturas abiertas se expanden a . ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n<13}$ ${\displaystyle n<28}$

Otras propiedades matemáticas

Demostración visual del teorema de Viviani

El teorema del trisector de Morley establece que, en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los triectores de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero.

El teorema de Viviani establece que, para cualquier punto interior de un triángulo equilátero con distancias , , y desde los lados y la altitud , independientemente de la ubicación de . ^[12] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle d+e+f=h,}$$ ${\displaystyle P}$

Un triángulo equilátero puede tener lados enteros con tres ángulos racionales medidos en grados, ^[13] conocido por ser el único triángulo acutángulo que es semejante a su triángulo órtico (con vértices en los pies de las alturas ), ^[14] y el único triángulo cuya inelipse de Steiner es un círculo (en concreto, el incírculo). El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero, y el triángulo de menor área de todos los circunscritos a un círculo dado también es equilátero. ^[15] Es el único polígono regular aparte del cuadrado que puede inscribirse dentro de cualquier otro polígono regular.

Dado un punto en el interior de un triángulo equilátero, la razón entre la suma de sus distancias a los vértices y la suma de sus distancias a los lados es mayor o igual a 2, siendo la igualdad válida cuando es el baricentro. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta razón sea tan pequeña como 2. ^[16] Esta es la desigualdad de Erdős-Mordell ; una variante más fuerte de ella es la desigualdad de Barrow , que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados por las distancias desde a los puntos donde las bisectrices de los ángulos de , , y cruzan los lados ( siendo , , y los vértices). Existen muchas otras desigualdades triangulares que son iguales si y solo si el triángulo es equilátero. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \angle APB}$ ${\displaystyle \angle BPC}$ ${\displaystyle \angle CPA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Construcción

Construcción de triángulo equilátero con compás y regla

El triángulo equilátero se puede construir de diferentes maneras utilizando círculos. La primera proposición en el primer libro de los Elementos de Euclides . Comienza dibujando un círculo con un radio determinado, colocando la punta del compás sobre el círculo y dibujando otro círculo con el mismo radio; los dos círculos se intersectarán en dos puntos. Un triángulo equilátero se puede construir tomando los dos centros de los círculos y los puntos de intersección. ^[17]

Una forma alternativa de construir un triángulo equilátero es utilizando el primo de Fermat . Un primo de Fermat es un número primo de la forma donde denota el entero no negativo , y hay cinco primos de Fermat conocidos: 3, 5, 17, 257, 65537. Un polígono regular se puede construir con compás y regla si y solo si los factores primos impares de su número de lados son primos de Fermat distintos. ^[18] Para hacerlo geométricamente, dibuje una línea recta y coloque la punta del compás en un extremo de la línea, luego trace un arco desde ese punto hasta el otro punto del segmento de línea; repita con el otro lado de la línea, que conecta el punto donde los dos arcos se cruzan con cada extremo del segmento de línea en el resultado. $${\displaystyle 2^{2^{k}}+1,}$$ ${\displaystyle k}$

Dado que se construyen tres triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo arbitrario, según el teorema de Napoleón , ya sea que todos estén hacia afuera o hacia adentro, los centros de esos triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo equilátero.

Apariciones

En otras figuras relacionadas

Cabe destacar que las teselas de triángulos equiláteros son un espacio bidimensional con seis triángulos que se encuentran en un vértice, cuya teselación dual es la teselación hexagonal . La teselación hexagonal truncada , la teselación rombitrihexagonal , la teselación trihexagonal , la teselación cuadrada chata y la teselación hexagonal chata son todas teselaciones semirregulares construidas con triángulos equiláteros. ^[19] Se pueden encontrar otros objetos bidimensionales en el triángulo de Sierpiński (una forma fractal construida a partir de un triángulo equilátero subdividándolo recursivamente en triángulos equiláteros más pequeños) y el triángulo de Reuleaux (un triángulo curvo con ancho constante , construido a partir de un triángulo equilátero redondeando cada uno de sus lados). ^[20]

El octaedro regular es un deltaedro así como la familia de antiprismas que tienen caras triangulares equiláteras.

Los triángulos equiláteros también pueden formar un poliedro en tres dimensiones. Tres de los cinco poliedros de los sólidos platónicos son el tetraedro regular , el octaedro regular y el icosaedro regular . Cinco de los sólidos de Johnson son la bipirámide triangular , la bipirámide pentagonal , el disfenoide romo , el prisma triangular triaumentado y la bipirámide cuadrada giroelongada . Estos ocho poliedros convexos tienen un triángulo equilátero como caras, conocido como deltaedro . ^[21] De manera más general, todos los sólidos de Johnson tienen triángulos equiláteros, aunque hay algunos otros polígonos regulares como caras. ^[22] El antiprisma es otra familia de poliedros donde todas las caras, excepto las bases, consisten principalmente en triángulos alternados. Cuando el antiprisma es uniforme , sus bases son regulares y todas las caras triangulares son equiláteras. ^[23]

Como generalización, el triángulo equilátero pertenece a la familia infinita de los símplex , con . ^[24] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

Como aplicación

Uso del triángulo equilátero como señal de ceder el paso

Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones hechas por el hombre y en culturas populares. En arquitectura, un ejemplo puede verse en la sección transversal del Arco Gateway y en la superficie de un huevo de Vegreville . ^{[25] [26]} Las caras de la Pirámide de Giza pueden verse como triángulos equiláteros, pero el resultado muestra con precisión que lo más probable es que sean triángulos isósceles. ^[27] En heráldica y banderas, sus aplicaciones incluyen la bandera de Nicaragua y la bandera de Filipinas . ^{[28] [29]} Es una forma de una variedad de señales de tráfico , incluida la señal de ceda el paso . ^[30]

El triángulo equilátero se originó en el estudio de la estereoquímica . Puede describirse como la geometría molecular en la que un átomo en el centro conecta a otros tres átomos en un plano, conocida como geometría molecular trigonal plana . ^[31]

En el problema de Thomson , relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximice la distancia más pequeña entre los puntos, la solución mínima conocida para coloca los puntos en los vértices de un triángulo equilátero, inscrito en una esfera . Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes, pero se desconoce una solución rigurosa para esta instancia del problema de Thomson. ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$

Véase también

• Triángulo heroniano casi equilátero
• Círculos de Malfatti
• Trama ternaria
• Coordenadas trilineales

Referencias

Notas

1. Stahl (2003), pág. 37.
2. Lardner (1840), pág. 46.
3. Harris y Stocker (1998), pág. 78.
4. Cerin (2004), Véase Teorema 1.
5. Owen, Felix y Deirdre (2010), pág. 36, 39.
6. Carstensen, Fine y Rosenberger (2011), pág. 156.
7. McMullin y Parkinson (1936), pág. 96.
8. Chakerian (1979).
9. Svrtan y Veljan (2012).
10. Alsina y Nelsen (2010), pág. 102–103.
11. Melissen y Schuur (1995).
12. Posamentier y Salkind (1996).
13. Conway y Guy (1996), pág. 201, 228–229.
14. Bankoff y Garfunkel (1973), pág. 19.
15. Dörrie (1965), págs. 379–380.
16. Lee (2001).
17. Cromwell (1997), pág. 62.
18. Křížek, Luca y Somer (2001), pág. 1–2.
19. Grünbaum y Shepard (1977).
20. Alsina y Nelsen (2010), pág. 102–103.
21. Trigg (1978).
22. Berman (1971).
23. Horiyama y col. (2015), pág. 124.
24. Coxeter (1948), pág. 120-121.
25. Pelkonen y Albrecht (2006), pág. 160.
26. Alsina y Nelsen (2015), pág. 22.
27. Herz-Fischler (2000), pág. 46.
28. White y Calderón (2008), pág. 3.
29. Guillermo (2012), pág. 161.
30. Riley, Cochran y Ballard (1982).
31. Petrucci, Harwood y Herring (2002), pág. 413–414, véase la Tabla 11.1.
32. Porcelana (1952).

Obras citadas

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Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triángulo equilátero". MathWorld .