El teorema de Viviani , que lleva el nombre de Vincenzo Viviani , establece que la suma de las distancias más cortas desde cualquier punto interior hasta los lados de un triángulo equilátero es igual a la longitud de la altitud del triángulo . [1] Es un teorema comúnmente empleado en varias competencias de matemáticas, exámenes de matemáticas de la escuela secundaria y tiene una amplia aplicabilidad a muchos problemas en el mundo real.
Esta prueba depende de la proposición fácilmente demostrada de que el área de un triángulo es la mitad de su base multiplicada por su altura, es decir, la mitad del producto de un lado por la altura de ese lado. [2]
Sea ABC un triángulo equilátero cuya altura es h y cuyo lado es a .
Sea P cualquier punto dentro del triángulo y s, t, u las distancias perpendiculares de P a los lados. Traza una línea desde P hasta A, B y C, formando tres triángulos PAB, PBC y PCA.
Ahora, las áreas de estos triángulos son , y . Llenan exactamente el triángulo circundante, por lo que la suma de estas áreas es igual al área del triángulo circundante. Entonces podemos escribir:
y por lo tanto
QED
Lo contrario también se cumple: si la suma de las distancias desde un punto interior de un triángulo a los lados es independiente de la ubicación del punto, el triángulo es equilátero. [3]
El teorema de Viviani significa que las líneas paralelas a los lados de un triángulo equilátero dan coordenadas para realizar diagramas ternarios , como los diagramas de inflamabilidad .
De manera más general, permiten dar coordenadas en un simplex regular de la misma manera.
La suma de las distancias desde cualquier punto interior de un paralelogramo a los lados es independiente de la ubicación del punto. Lo contrario también se cumple: si la suma de las distancias desde un punto en el interior de un cuadrilátero hasta los lados es independiente de la ubicación del punto, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. [3]
El resultado se generaliza a cualquier 2 n -gon con lados opuestos paralelos. Dado que la suma de distancias entre cualquier par de lados paralelos opuestos es constante, se deduce que la suma de todas las sumas por pares entre los pares de lados paralelos también es constante. Lo contrario en general no es cierto, ya que el resultado es válido para un hexágono equilátero , que no necesariamente tiene lados opuestos paralelos.
Si un polígono es regular (tanto equiangular como equilátero ), la suma de las distancias a los lados desde un punto interior es independiente de la ubicación del punto. Específicamente, es igual a n veces la apotema , donde n es el número de lados y la apotema es la distancia del centro a un lado. [3] [4] Sin embargo, lo contrario no es válido; el paralelogramo no cuadrado es un contraejemplo . [3]
La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto. [1]
Una condición necesaria y suficiente para que un polígono convexo tenga una suma constante de distancias desde cualquier punto interior a los lados es que existan tres puntos interiores no colineales con sumas de distancias iguales. [1]
La suma de las distancias desde cualquier punto del interior de un poliedro regular a los lados es independiente de la ubicación del punto. Sin embargo, lo contrario no se cumple, ni siquiera para los tetraedros . [3]
