triangulo circular

Triángulo con bordes de arco circular.

Triángulos circulares con una mezcla de aristas convexas y cóncavas.

En geometría , un triángulo circular es un triángulo con aristas en arco circular .

Ejemplos

La intersección de tres discos circulares forma un triángulo circular convexo. Por ejemplo, un triángulo de Reuleaux es un caso especial de esta construcción donde los tres discos están centrados en los vértices de un triángulo equilátero , con radio igual a la longitud del lado del triángulo. Sin embargo, no todos los triángulos circulares convexos se forman de esta manera como intersección de discos.

Un triángulo de cuerno circular tiene todos los ángulos internos iguales a cero. ^[1] Una forma de formar algunos de estos triángulos es colocar tres círculos, exteriormente tangentes entre sí en pares; entonces la región triangular central rodeada por estos círculos es un triángulo cuerno. Sin embargo, otros triángulos cuerno, como el arbelos (con tres vértices colineales y tres semicírculos como lados) son interiores a uno de los tres círculos tangentes que lo forman, en lugar de exteriores a los tres. ^[2]

Cardioide de Boscovich y una de sus líneas perimetrales

Un triángulo circular de tipo cardioide encontrado por Roger Joseph Boscovich tiene tres vértices equiespaciados en una línea, dos semicírculos iguales en un lado de la línea y un tercer semicírculo de dos veces el radio en el otro lado de la línea. Los dos vértices exteriores tienen el ángulo interior y el vértice medio tiene el ángulo interior . Tiene la curiosa propiedad de que todas las líneas que pasan por el vértice medio dividen su perímetro en dos. ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Otros triángulos circulares pueden tener una mezcla de bordes de arco circular cóncavos y convexos.

Caracterización de ángulos.

Tres ángulos dados , , y en el intervalo forman los ángulos interiores de un triángulo circular (sin autointersecciones) si y sólo si obedecen al sistema de desigualdades. Todos los triángulos circulares con los mismos ángulos interiores entre sí son equivalentes entre sí bajo Transformaciones de Möbius . ^[4] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}<2\pi .\end{aligned}}}$$

isoperimetria

Los triángulos circulares dan la solución a un problema isoperimétrico en el que se busca una curva de longitud mínima que encierre tres puntos dados y tenga un área prescrita. Cuando el área es al menos tan grande como el círculo circunstante de los puntos, la solución es cualquier círculo de esa área que rodee los puntos. Para áreas más pequeñas, la curva óptima será un triángulo circular con los tres puntos como vértices y con arcos circulares de radios iguales como lados, hasta el área en la que uno de los tres ángulos interiores de dicho triángulo llega a cero. Debajo de esa área, la curva degenera a un triángulo circular con "antenas", segmentos rectos que se extienden desde sus vértices hasta uno o más de los puntos especificados. En el límite, cuando el área llega a cero, el triángulo circular se contrae hacia el punto de Fermat de los tres puntos dados. ^[5]

Ver también

• Círculo de Hart , un círculo asociado a ciertos triángulos circulares
• Triángulo hiperbólico , un triángulo que tiene lados rectos en geometría hiperbólica, pero que se dibuja circular en algunos modelos de geometría hiperbólica.
• Lune y Lens , figuras de dos caras delimitadas por arcos circulares
• Trébol , un triángulo circular que sobresale hacia afuera desde sus tres vértices, utilizado en arquitectura

Referencias

1. Kasner, Eduardo ; Kalish, Aida (1944), "La geometría del triángulo del cuerno circular", Revista Nacional de Matemáticas , 18 : 299–304, doi :10.2307/3030080, JSTOR  3030080, MR  0010442
2. Boas, Harold P. (2006), "Reflexiones sobre los arbelos" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (3): 236–249, doi :10.2307/27641891, JSTOR  27641891, MR  2204487.
3. Banchoff, Thomas ; Giblin, Peter (1994), "Sobre la geometría de curvas circulares por partes", The American Mathematical Monthly , 101 (5): 403–416, doi :10.2307/2974900, JSTOR  2974900, MR  1272938
4. Eppstein, David ; Frishberg, Daniel; Osegueda, Martha C. (junio de 2023), "Ángulos de arco-polígonos y dibujos Lombardi de cactus", Geometría computacional , 112 : 101982, arXiv : 2107.03615 , doi : 10.1016/j.comgeo.2023.101982
5. Courant, Richard ; Robbins, Herbert (1996), ¿Qué son las matemáticas? Un enfoque elemental de ideas y métodos (2ª ed.), Oxford University Press, págs. 378–379