Desigualdad de Erdøs-Mordell

Sobre sumas de distancias en triángulos

En geometría euclidiana , la desigualdad de Erdős-Mordell establece que para cualquier triángulo ABC y punto P dentro de ABC , la suma de las distancias de P a los lados es menor o igual a la mitad de la suma de las distancias de P a los vértices. Recibe su nombre en honor a Paul Erdős y Louis Mordell . Erdős (1935) planteó el problema de demostrar la desigualdad; dos años después, Mordell y DF Barrow (1937) proporcionaron una prueba. Sin embargo, esta solución no era muy elemental. Kazarinoff (1957), Bankoff (1958) y Alsina & Nelsen (2007) encontraron pruebas más sencillas.

La desigualdad de Barrow es una versión reforzada de la desigualdad de Erdős-Mordell en la que las distancias de P a los lados se sustituyen por las distancias de P a los puntos donde las bisectrices de los ángulos ∠ APB , ∠ BPC y ∠ CPA cruzan los lados. Aunque las distancias sustituidas son mayores, su suma sigue siendo menor o igual a la mitad de la suma de las distancias a los vértices.

Declaración

Desigualdad de Erdøs-Mordell

Sea un punto arbitrario P dentro de un triángulo dado , y sean , , y las perpendiculares desde a los lados de los triángulos. (Si el triángulo es obtuso, una de estas perpendiculares puede atravesar un lado diferente del triángulo y terminar en la línea que sostiene uno de los lados). Entonces la desigualdad establece que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle PL}$ ${\displaystyle PM}$ ${\displaystyle PN}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)}$

Prueba

Sean los lados de ABC a opuesto a A, b opuesto a B y c opuesto a C; además, sean PA = p , PB = q , PC = r , dist(P;BC) = x , dist(P;CA) = y , dist(P;AB) = z . Primero, demostramos que

${\displaystyle cr\geq ax+by.}$

Esto es equivalente a

${\displaystyle {\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.}$

El lado derecho es el área del triángulo ABC, pero en el lado izquierdo, r + z es al menos la altura del triángulo; en consecuencia, el lado izquierdo no puede ser menor que el lado derecho. Ahora, refleje P en la bisectriz del ángulo en C. Encontramos que cr ≥ ay + bx para la reflexión de P. De manera similar, bq ≥ az + cx y ap ≥ bz + cy . Resolvemos estas desigualdades para r , q y p :

${\displaystyle r\geq (a/c)y+(b/c)x,}$

${\displaystyle q\geq (a/b)z+(c/b)x,}$

${\displaystyle p\geq (b/a)z+(c/a)y.}$

Sumando los tres, obtenemos

${\displaystyle p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.}$

Dado que la suma de un número positivo y su recíproco es al menos 2 por la desigualdad AM-GM , hemos terminado. La igualdad se cumple solo para el triángulo equilátero, donde P es su baricentro.

Otra versión reforzada

Sea ABC un triángulo inscrito en un círculo (O) y P un punto interior a ABC. Sean D, E, F las proyecciones ortogonales de P sobre BC, CA, AB. M, N, Q las proyecciones ortogonales de P sobre tangentes a (O) en A, B, C respectivamente, entonces:

${\displaystyle PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)}$

La igualdad se cumple si y solo si el triángulo ABC es equilátero (Dao, Nguyen y Pham 2016; Marinescu y Monea 2017)

Una generalización

Sea un polígono convexo y un punto interior de . Sea la distancia desde al vértice , la distancia desde al lado , el segmento de la bisectriz del ángulo desde a su intersección con el lado entonces (Lenhard 1961): ${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}PA_{i+1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}}$

En geometría absoluta

En geometría absoluta, la desigualdad de Erdős-Mordell es equivalente, como lo demuestra Pambuccian (2008), a la afirmación de que la suma de los ángulos de un triángulo es menor o igual a dos ángulos rectos.

Véase también

• Lista de desigualdades triangulares

Referencias

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "Una prueba visual de la desigualdad de Erdős-Mordell", Forum Geometricorum , 7 : 99–102.
• Bankoff, Leon (1958), "Una prueba elemental del teorema de Erdős-Mordell", American Mathematical Monthly , 65 (7): 521, doi :10.2307/2308580, JSTOR  2308580.
• Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), "Una versión reforzada de la desigualdad de Erdős-Mordell" (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 317–321, MR  3556993.
• Erdős, Paul (1935), "Problema 3740", American Mathematical Monthly , 42 : 396, doi :10.2307/2301373, JSTOR  2301373.
• Kazarinoff, DK (1957), "Una prueba simple de la desigualdad de Erdős-Mordell para triángulos", Michigan Mathematical Journal , 4 (2): 97–98, doi : 10.1307/mmj/1028988998(Véase la desigualdad de DK Kazarinoff para tetraedros ).
• Lenhard, Hans-Christof (1961), "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung , 12 : 311–314, doi :10.1007/BF01650566, MR  0133060, S2CID  1 24681241.
• Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), "Acerca de una versión reforzada de la desigualdad de Erdős-Mordell" (PDF) , Forum Geometriorum , 17 : 197–202.
• Mordell, LJ ; Barrow, DF (1937), "Solución para 3740", American Mathematical Monthly , 44 : 252–254, doi :10.2307/2300713, JSTOR  2300713.

• Pambuccian, Victor (2008), "La desigualdad de Erdős-Mordell es equivalente a una curvatura no positiva", Journal of Geometry , 88 (1–2): 134–139, doi :10.1007/s00022-007-1961-4, S2CID  123082256.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Erdős-Mordell". MundoMatemático .
• Alexander Bogomolny , "Desigualdad de Erdös-Mordell", de Cut-the-Knot .