Teorema de Pompei

Sobre segmentos de línea desde un punto hasta los vértices de un triángulo equilátero

El teorema de Pompeiu es un resultado de la geometría plana , descubierto por el matemático rumano Dimitrie Pompeiu . El teorema es simple, pero no clásico. Enuncia lo siguiente:

Dado un triángulo equilátero ABC en el plano y un punto P en el plano del triángulo ABC, las longitudes PA, PB y PC forman los lados de un triángulo (quizás degenerado). ^{[1] [2]}

Demostración del teorema de Pompeiu con el triángulo de Pompeiu ${\displaystyle \triangle PCP'}$

La demostración es rápida. Consideremos una rotación de 60° alrededor del punto B . Supongamos que A corresponde a C y P corresponde a P  '. Entonces , y . Por lo tanto, el triángulo PBP  ' es equilátero y . Entonces . Por lo tanto, el triángulo PCP  ' tiene lados iguales a PA , PB y PC y la demostración por construcción está completa (ver dibujo). ^[1] ${\displaystyle \scriptstyle PB\ =\ P'B}$ ${\displaystyle \scriptstyle \angle PBP'\ =\ 60^{\circ }}$ ${\displaystyle \scriptstyle PP'\ =\ PB}$ ${\displaystyle \scriptstyle PA\ =\ P'C}$

Investigaciones posteriores revelan que si P no está en el interior del triángulo, sino en el círculo circunscrito , entonces PA , PB , PC forman un triángulo degenerado, siendo el mayor igual a la suma de los otros; esta observación también se conoce como el teorema de Van Schooten . ^[1]

Generalmente, por el punto P y las longitudes de los vértices del triángulo equilátero - PA , PB y PC se definen dos triángulos equiláteros (el mayor y el menor) con lados y : ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,2}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\pm 4{\sqrt {3}}\triangle _{(PA,PB,PC)}\right)\end{aligned}}}$.

El símbolo △ denota el área del triángulo cuyos lados tienen longitudes PA , PB , PC . ^[3]

Pompeiu publicó el teorema en 1936; sin embargo, August Ferdinand Möbius ya había publicado un teorema más general sobre cuatro puntos en el plano euclidiano en 1852. En este artículo, Möbius también derivó el enunciado del teorema de Pompeiu explícitamente como un caso especial de su teorema más general. Por esta razón, el teorema también se conoce como el teorema de Möbius-Pompeiu . ^[4]

Enlaces externos

• Página de MathWorld sobre el teorema de Pompeya
• Teorema de Pompeyo en cut-the-knot.org

Notas

1. Jozsef Sandor: Sobre la geometría de los triángulos equiláteros. Forum Geometricorum, Volumen 5 (2005), págs. 107-117
2. Titu Andreescu, Razvan Gelca: Desafíos de la Olimpiada de Matemáticas . Springer, 2008, ISBN  9780817646110 , págs.4-5
3. Mamuka Meskhishvili: Dos polígonos regulares no congruentes que tienen vértices a la misma distancia del punto. Revista internacional de geometría, volumen 12 (2023), págs. 35-45
4. D. MITRINOVIĆ, J. PEČARIĆ, J., V. VOLENEC: Historia, variaciones y generalizaciones del teorema de Möbius-Neuberg y de Möbius-Ponpeiu . Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie, 31 (79), núm. 1, 1987, págs. 25 a 38 (JSTOR)