Desigualdad de Barrow

En geometría , la desigualdad de Barrow es una desigualdad que relaciona las distancias entre un punto arbitrario dentro de un triángulo , los vértices del triángulo y ciertos puntos en los lados del triángulo. Recibe su nombre en honor a David Francis Barrow .

Declaración

Sea P un punto arbitrario dentro del triángulo ABC . A partir de P y ABC , defina U , V y W como los puntos donde las bisectrices de los ángulos BPC , CPA y APB intersecan los lados BC , CA y AB , respectivamente. Entonces, la desigualdad de Barrow establece que ^[1]

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}$

con igualdad vigente sólo en el caso de un triángulo equilátero y P es el centro del triángulo. ^[1]

Generalización

La desigualdad de Barrow se puede extender a polígonos convexos. Para un polígono convexo cuyos vértices sean un punto interior y las intersecciones de las bisectrices de los ángulos de con los lados asociados del polígono , entonces se cumple la siguiente desigualdad: ^{[2] [3]} ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}}$ ${\displaystyle \angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}$

Aquí se denota la función secante . Para el caso del triángulo la desigualdad se convierte en la desigualdad de Barrow debido a . ${\displaystyle \sec(x)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}$

Historia

Túmulo fortaleciendo Erdős-Mordell
${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}$

La desigualdad de Barrow refuerza la desigualdad de Erdős-Mordell , que tiene la misma forma excepto que PU , PV y PW se reemplazan por las tres distancias de P a los lados del triángulo. Recibe su nombre en honor a David Francis Barrow . La prueba de Barrow de esta desigualdad se publicó en 1937, como su solución a un problema planteado en la revista American Mathematical Monthly para demostrar la desigualdad de Erdős-Mordell. ^[1] Este resultado se denominó "desigualdad de Barrow" ya en 1961. ^[4]

Louis J. Mordell dio posteriormente una prueba más sencilla . ^[5]

Véase también

• Teorema de Euler en geometría
• Lista de desigualdades triangulares

Referencias

1. Erdős, Paul ; Mordell, LJ ; Barrow, David F. (1937), "Solución al problema 3740", American Mathematical Monthly , 44 (4): 252–254, doi :10.2307/2300713, JSTOR  2300713.
2. M. Dinca: "Una demostración sencilla de la desigualdad de Erdös-Mordell". En: Artículos y notas matemáticas , 2009
3. Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". En: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung , Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566 (alemán).
4. Oppenheim, A. (1961), "Nuevas desigualdades para un triángulo y un punto interno", Annali di Matematica Pura ed Applicata , 53 : 157–163, doi :10.1007/BF02417793, MR  0124774
5. Mordell, LJ (1962), "Sobre los problemas geométricos de Erdös y Oppenheim", The Mathematical Gazette , 46 (357): 213–215, JSTOR  3614019.

Enlaces externos

• Hojoo Lee: Temas sobre desigualdades: teoremas y técnicas