En geometría hiperbólica , el panal dodecaédrico de orden 5 es una de las cuatro teselaciones compactas regulares que llenan el espacio (o panales ) en el 3-espacio hiperbólico . Con el símbolo de Schläfli {5,3,5}, tiene cinco celdas dodecaédricas alrededor de cada arista y cada vértice está rodeado por veinte dodecaedros. Su figura de vértice es un icosaedro .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abeja uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abeja uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abeja uniforme en el espacio esférico.
El ángulo diedro de un dodecaedro regular euclidiano es de ~116,6°, por lo que no pueden caber más de tres de ellos alrededor de una arista en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, el ángulo diedro es menor que en el espacio euclidiano y depende del tamaño de la figura; el ángulo diedro más pequeño posible es de 60°, para un dodecaedro regular hiperbólico ideal con aristas infinitamente largas. Los dodecaedros en este panal dodecaédrico tienen un tamaño tal que todos sus ángulos diedros miden exactamente 72°.
Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
Existe otro panal en el espacio hiperbólico tridimensional llamado panal dodecaédrico de orden 4 , {5,3,4}, que tiene solo cuatro dodecaedros por arista. Estos panales también están relacionados con el de 120 celdas , que puede considerarse como un panal en un espacio de curvatura positiva (la superficie de una esfera de 4 dimensiones), con tres dodecaedros en cada arista, {5,3,3}. Por último, el dítopo dodecaédrico , {5,3,2} existe en una esfera tridimensional , con 2 celdas hemisféricas.
Hay nueve panales uniformes en la familia de grupos de Coxeter [5,3,5] , incluida esta forma regular. También la forma bitruncada , t 1,2 {5,3,5},
, de este panal tiene todas las celdas icosaédricas truncadas .
El espacio de Seifert-Weber es una variedad compacta que puede formarse como un espacio cociente del panal dodecaédrico de orden 5.
Este panal forma parte de una secuencia de polichoras y panales con figuras de vértice icosaédrico :
Este panal es parte de una secuencia de politopos regulares y panales con celdas dodecaédricas :
El panal dodecaédrico de orden 5 rectificado ,, tiene celdas alternas de icosaedro e icosidodecaedro , con figura de vértice de prisma pentagonal .
Hay cuatro panales regulares compactos rectificados:
El panal dodecaédrico truncado de orden 5 ,, tiene celdas icosaédricas y dodecaédricas truncadas , con figura de vértice de pirámide pentagonal .
El panal dodecaédrico bitruncado de orden 5 ,, tiene células icosaédricas truncadas , con figura de vértice difenoide tetragonal .
El panal dodecaédrico de orden 5 cantelado ,, tiene celdas rombicosidodecaedro , icosidodecaedro y prisma pentagonal , con figura de vértice en cuña .
El panal dodecaédrico de orden 5 cantitruncado ,, tiene células de icosidodecaedro truncado , icosaedro truncado y prisma pentagonal , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal dodecaédrico runcinado de orden 5 ,, tiene celdas dodecaédricas y prismáticas pentagonales , con figura de vértice de antiprisma triangular .
El panal dodecaédrico runcitruncado de orden 5 ,, tiene celdas de dodecaedro truncado , rombicosidodecaedro , prisma pentagonal y prisma decagonal , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
El panal dodecaédrico runcicantelado de orden 5 es equivalente al panal dodecaédrico runcitruncado de orden 5.
El panal dodecaédrico omnitruncado de orden 5 ,, tiene células icosidodecaédricas truncadas y prismas decagonales , con figura de vértice difenoidal fílica .
