Icosaedro regular

Poliedro convexo con 20 caras triangulares

En geometría , el icosaedro regular (o simplemente icosaedro ) es un poliedro convexo que se puede construir a partir de un antiprisma pentagonal uniendo dos pirámides pentagonales con caras regulares a cada una de sus caras pentagonales, o poniendo puntos sobre el cubo. El poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros como caras, 30 aristas y 12 vértices. Es un ejemplo de sólido platónico y de deltaedro . El grafo icosaédrico representa el esqueleto de un icosaedro regular.

Muchos poliedros se construyen a partir del icosaedro regular. Por ejemplo, la mayor parte del poliedro de Kepler-Poinsot se construye mediante facetado . Algunos de los sólidos de Johnson se pueden construir eliminando las pirámides pentagonales. El icosaedro regular tiene muchas relaciones con otros sólidos platónicos, uno de ellos es el dodecaedro regular como su poliedro dual y tiene el trasfondo histórico de la medición de comparación. También tiene muchas relaciones con otros politopos .

La aparición del icosaedro regular se puede encontrar en la naturaleza, como en el virus con conchas icosaédricas y en los radiolarios . Otras aplicaciones del icosaedro regular son el uso de su red en cartografía, los dados de veinte caras que se pueden haber encontrado en la antigüedad y los juegos de rol .

Construcción

El icosaedro regular puede construirse como otras bipirámides giroelongadas , partiendo de un antiprisma pentagonal uniendo a cada una de sus caras dos pirámides pentagonales con caras regulares . Estas pirámides cubren las caras pentagonales, sustituyéndolas por cinco triángulos equiláteros , de modo que el poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros como caras. ^[1] Este proceso de construcción se conoce como giroelongación . ^[2]

Tres rectángulos de proporción áurea mutuamente perpendiculares , con aristas que conectan sus esquinas, forman un icosaedro regular.

Otra forma de construirlo es poniendo dos puntos en cada superficie de un cubo. En cada cara, traza una línea de segmento entre los puntos medios de dos aristas opuestas y ubica dos puntos con la distancia de proporción áurea desde cada punto medio. Estos doce vértices describen los tres planos mutuamente perpendiculares, con aristas dibujadas entre cada uno de ellos. ^[3] Debido a las construcciones anteriores, el icosaedro regular es un sólido platónico , una familia de poliedros con caras regulares . Un poliedro con solo triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Solo hay ocho deltaedros convexos diferentes, uno de los cuales es el icosaedro regular. ^[4]

El icosaedro regular también se puede construir a partir de un octaedro regular . Todas las caras triangulares de un octaedro regular se rompen, se tuercen en un ángulo determinado y se rellenan con otros triángulos equiláteros. Este proceso se conoce como romo , y el icosaedro regular también se conoce como octaedro romo . ^[5]

Un posible sistema de coordenadas cartesianas para los vértices de un icosaedro regular, que da una longitud de arista de 2, es: donde denota la proporción áurea . ^[6] $${\displaystyle \left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right),}$$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Propiedades

Medición

Modelo 3D de un icosaedro regular

La esfera interna de un poliedro convexo es una esfera que está dentro del poliedro y toca cada una de sus caras. La circunferencia de un poliedro convexo es una esfera que contiene al poliedro y toca cada uno de sus vértices. La esfera media de un poliedro convexo es una esfera tangente a cada una de sus aristas. Por lo tanto, dado que la longitud de las aristas de un icosaedro regular, el radio de la esfera interna (inradio) , el radio de la circunferencia (circumradio) y el radio de la esfera media (midradio) son, respectivamente: ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{I}}$ ${\displaystyle r_{C}}$ ${\displaystyle r_{M}}$ $${\displaystyle r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.}$$

El área de la superficie de los poliedros es la suma de todas sus caras. Por lo tanto, el área de la superficie de los icosaedros regulares es igual al área de 20 triángulos equiláteros. El volumen de un icosaedro regular se obtiene calculando el volumen de todas las pirámides con la base de caras triangulares y la altura con la distancia desde el baricentro de una cara triangular al centro dentro del icosaedro regular, el circunradio de un icosaedro regular; alternativamente, se puede determinar dividiendo el icosaedro en dos pirámides pentagonales regulares y un antiprisma pentagonal , y sumando su volumen. Las expresiones de ambos son: ^[8] Un problema que se remonta a los antiguos griegos es determinar cuál de dos formas tiene un volumen mayor, un icosaedro inscrito en una esfera o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Hero , Pappus y Fibonacci , entre otros. ^[9] Apolonio de Perge descubrió el curioso resultado de que la relación de los volúmenes de estas dos formas es la misma que la relación de sus áreas superficiales. ^[10] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea , pero llevada a diferentes potencias. ^[11] Resulta que el icosaedro ocupa menos del volumen de la esfera (60,54%) que el dodecaedro (66,49%). ^[12] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.}$$

El ángulo diedro de un icosaedro regular se puede calcular sumando el ángulo de las pirámides pentagonales con caras regulares y un antiprisma pentagonal. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal y una pirámide pentagonal entre dos caras triangulares adyacentes es de aproximadamente 38,2°. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal entre un pentágono y un triángulo es de 100,8°, y el ángulo diedro de una pirámide pentagonal entre las mismas caras es de 37,4°. Por lo tanto, para el icosaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes, en el borde donde se unen la pirámide pentagonal y el antiprisma pentagonal es de 37,4° + 100,8° = 138,2°. ^[13]

Simetría

La simetría icosaédrica completa tiene 15 planos especulares (que se ven como círculos máximos de color cian en esta esfera) que se encuentran en ángulos de orden, dividiendo una esfera en 120 dominios fundamentales triangulares . Hay 6 ejes quíntuples (azules), 10 ejes triples (rojos) y 15 ejes bidimensionales (magenta). Los vértices del icosaedro regular existen en los puntos del eje de rotación quíntuple. ${\displaystyle \pi /5,\pi /3,\pi /2}$

El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alternante de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras. Dado que el grupo de Galois de la ecuación quintica general es isomorfo al grupo simétrico de cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quintica general no tiene una solución en radicales. La demostración del teorema de Abel-Ruffini utiliza este simple hecho, y Felix Klein escribió un libro que hizo uso de la teoría de simetrías icosaédricas para derivar una solución analítica a la ecuación quintica general. ^[14]

El grupo de simetría completo del icosaedro (incluidas las reflexiones) se conoce como grupo icosaédrico completo . Es isomorfo al producto del grupo de simetría rotacional y el grupo de tamaño dos, que se genera por la reflexión a través del centro del icosaedro. ${\displaystyle C_{2}}$

Gráfico icosaédrico

Gráfico icosaédrico

Todo grafo platónico , incluido el grafo icosaédrico , es un grafo poliédrico . Esto significa que son grafos planares , grafos que pueden dibujarse en el plano sin cruzar sus aristas; y son 3-vértices conexos , lo que significa que la eliminación de dos de sus vértices deja un subgrafo conexo. Según el teorema de Steinitz , el grafo icosaédrico dotado de estas propiedades hasta ahora representa el esqueleto de un icosaedro regular. ^[15]

El gráfico icosaédrico es hamiltoniano , lo que significa que contiene un ciclo hamiltoniano, o un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. ^[16]

Poliedros relacionados

En otros sólidos platónicos

Aparte de comparar la medida entre el icosaedro regular y el dodecaedro regular, son duales entre sí. Un icosaedro se puede inscribir en un dodecaedro colocando sus vértices en los centros de las caras del dodecaedro, y viceversa. ^[17]

Un icosaedro puede inscribirse en un octaedro colocando sus 12 vértices en las 12 aristas del octaedro de manera que dividan cada arista en sus dos secciones áureas . Como las secciones áureas son desiguales, hay cinco formas diferentes de hacer esto de manera consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada octaedro. ^[18]

Un icosaedro con una longitud de arista puede inscribirse en un cubo con una longitud de arista unitaria colocando seis de sus aristas (3 pares opuestos ortogonales) en las caras cuadradas del cubo, centradas en los centros de las caras y paralelas o perpendiculares a las aristas del cuadrado. ^[19] Debido a que hay cinco veces más aristas de icosaedro que caras de cubo, hay cinco formas de hacer esto de manera consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada cubo. Las longitudes de las aristas del cubo y del icosaedro inscrito están en la proporción áurea . ^[20] ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$

Estelación

El icosaedro tiene un gran número de estelaciones . Coxeter et al. (1938) afirmaron que se identificaron 59 estelaciones para el icosaedro regular. La primera forma es el icosaedro en sí. Una es un poliedro regular de Kepler-Poinsot . Tres son poliedros compuestos regulares . ^[21]

Facetas

El gran dodecaedro , el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro .

El pequeño dodecaedro estrellado , el gran dodecaedro y el gran icosaedro son tres facetas del icosaedro regular. Comparten la misma disposición de vértices . Todos tienen 30 aristas. El icosaedro regular y el gran dodecaedro comparten la misma disposición de aristas , pero difieren en las caras (triángulos frente a pentágonos), al igual que el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro (pentagramas frente a triángulos).

Mengua

Los sólidos de Johnson son los poliedros cuyas caras son todas regulares, pero no uniformes. Esto significa que no incluyen los sólidos de Arquímedes , los sólidos de Catalan , los prismas y los antiprismas . Algunos de ellos se construyen implicando la eliminación de la parte de un icosaedro regular, un proceso conocido como disminución . Son la pirámide pentagonal giroelongada , el icosaedro metabidiminado y el icosaedro tridiminuto , que eliminan una, dos y tres pirámides pentagonales del icosaedro, respectivamente. ^[2] El icosaedro regular diseccionado similar tiene 2 vértices adyacentes disminuidos, dejando dos caras trapezoidales, y un bifastigio tiene 2 conjuntos opuestos de vértices eliminados y 4 caras trapezoidales.

Relaciones con los 600 politopos y otros 4 politopos

El icosaedro es el análogo dimensional del politopo regular de 600 celdas , de cuatro dimensiones . El politopo de 600 celdas tiene secciones transversales icosaédricas de dos tamaños, y cada uno de sus 120 vértices es una pirámide icosaédrica ; el icosaedro es la figura del vértice del politopo de 600 celdas.

La celda de radio unitario de 600 tiene celdas tetraédricas de longitud de arista , 20 de las cuales se unen en cada vértice para formar una pirámide icosaédrica (una pirámide de 4 con un icosaedro como base). Por lo tanto, la celda de 600 contiene 120 icosaedros de longitud de arista . La celda de 600 también contiene cubos de longitud de arista unitaria y octaedros de longitud de arista unitaria como características interiores formadas por sus cuerdas de longitud unitaria . En la celda de radio unitario de 120 (otro politopo regular de 4 que es a la vez el dual de la celda de 600 y un compuesto de 5 celdas de 600) encontramos los tres tipos de icosaedros inscritos (en un dodecaedro, en un octaedro y en un cubo). ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$

Un politopo semirregular de 4 átomos, el snub de 24 células , tiene células icosaédricas.

Relaciones con otros politopos uniformes

Como se mencionó anteriormente, el icosaedro regular es único entre los sólidos platónicos al poseer un ángulo diedro de aproximadamente . Por lo tanto, así como los hexágonos tienen ángulos no menores de 120° y no pueden usarse como caras de un poliedro regular convexo porque tal construcción no cumpliría el requisito de que al menos tres caras se encuentren en un vértice y dejen un defecto positivo para el plegado en tres dimensiones, los icosaedros no pueden usarse como celdas de un policoro regular convexo porque, de manera similar, al menos tres celdas deben encontrarse en un borde y dejar un defecto positivo para el plegado en cuatro dimensiones (en general, para un politopo convexo en n dimensiones, al menos tres facetas deben encontrarse en un pico y dejar un defecto positivo para el plegado en el espacio n ). Sin embargo, cuando se combinan con celdas adecuadas que tienen ángulos diedros más pequeños, los icosaedros se pueden usar como celdas en policoros semirregulares (por ejemplo, el icosaedro truncado de 24 celdas ), al igual que los hexágonos se pueden usar como caras en poliedros semirregulares (por ejemplo, el icosaedro truncado ). Finalmente, los politopos no convexos no tienen los mismos requisitos estrictos que los politopos convexos, y los icosaedros son de hecho las celdas del icosaédrico de 120 celdas , uno de los diez policoros regulares no convexos . ${\displaystyle 138.19^{\circ }}$

Existen distorsiones del icosaedro que, si bien ya no son regulares, son uniformes en sus vértices . Son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro y son algo análogas al cubo romo y al dodecaedro romo , incluidas algunas formas que son quirales y otras con simetría , es decir, tienen planos de simetría diferentes a los del tetraedro. ${\displaystyle T_{h}}$

Apariciones

Los dados son objetos comunes con los diferentes poliedros, uno de ellos es el icosaedro regular. El dado de veinte caras se encontró en muchas épocas antiguas. Un ejemplo son los dados del Egipto ptolemaico, que luego fueron las letras griegas inscritas en las caras en el período de Grecia y Roma. ^[22] Otro ejemplo se encontró en el tesoro de Tipu Sultan , que estaba hecho de oro y con números escritos en cada cara. ^[23] En varios juegos de rol , como Dungeons & Dragons , el dado de veinte caras (etiquetado como d20 ) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Puede estar numerado del "0" al "9" dos veces, en cuya forma generalmente sirve como un dado de diez caras ( d10 ); la mayoría de las versiones modernas están etiquetadas del "1" al "20". ^[24] Scattergories es otro juego de mesa, donde el jugador nombra las categorías en la tarjeta con el tiempo establecido. La denominación de dichas categorías se realiza inicialmente con las letras contenidas en cada dado de veinte caras. ^[25]

El icosaedro regular también puede aparecer en muchos campos de la ciencia como sigue:

• En virología , los virus del herpes tienen una envoltura icosaédrica . La envoltura proteica externa del VIH está encerrada en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un miovirus típico . ^[26] Varias especies de radiolarios descubiertas por Ernst Haeckel describieron sus envolturas como poliedros regulares de forma similar; uno de los cuales es Circogonia icosahedra , cuyo esqueleto tiene la forma de un icosaedro regular. ^[27]
• En química, los closo - carboranos son compuestos con una forma que se asemeja a la del icosaedro regular. ^[28] La macla cristalina con formas icosaédricas también ocurre en cristales, especialmente en nanopartículas . ^[29] Muchos boruros y alótropos del boro como los α- y β-romboédricos contienen boro B ₁₂ icosaedro como unidad estructural básica. ^[30]
• En cartografía, R. Buckminster Fuller utilizó la red de un icosaedro regular para crear un mapa conocido como mapa Dymaxion , subdividiendo la red en triángulos, calculando posteriormente la cuadrícula sobre la superficie de la Tierra y transfiriendo los resultados de la esfera al poliedro. Esta proyección fue creada durante la época en que Fuller se dio cuenta de que Groenlandia es más pequeña que Sudamérica . ^[31]
• En el problema de Thomson , relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximice la distancia más pequeña entre los puntos, la solución mínima conocida para coloca los puntos en los vértices de un icosaedro regular, inscrito en una esfera . Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes, pero se desconoce una solución rigurosa para esta instancia del problema de Thomson. ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=12}$

Como se mencionó anteriormente, el icosaedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos . Los poliedros regulares se conocen desde la antigüedad, pero reciben su nombre de Platón , quien, en su diálogo Timeo , los identificó con los cinco elementos , a cuyas unidades elementales se les atribuyeron estas formas: fuego (tetraedro), aire (octaedro), agua (icosaedro), tierra (cubo) y la forma del universo en su conjunto (dodecaedro). Los Elementos de Euclides definieron los sólidos platónicos y resolvieron el problema de encontrar la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de la arista. ^[33] Tras su identificación con los elementos por parte de Platón, Johannes Kepler en su Harmonices Mundi esbozó cada uno de ellos, en particular, el icosaedro regular. ^[34] En su Mysterium Cosmographicum , también propuso un modelo del Sistema Solar basado en la colocación de sólidos platónicos en una secuencia concéntrica de radio creciente de las esferas inscritas y circunscritas cuyos radios daban la distancia de los seis planetas conocidos desde el centro común. El orden de los sólidos, desde el más interno al más externo, consistía en: octaedro regular , icosaedro regular, dodecaedro regular , tetraedro regular y cubo . ^[35]

Notas

1. Silvester 2001, págs. 140-141; Cundy 1952.
2. Berman 1971.
3. Cromwell 1997, pág. 70.
4. Shavinina 2013, pág. 333; Cundy 1952.
5. Kappraff 1991, pág. 475.
6. Steeb, Hardy y Tanski 2012, pág. 211.
7. MacLean 2007, pág. 43–44; Coxeter 1973, Tabla I(i), págs. 292–293. Véase la columna " ", donde es la notación de Coxeter para el radio medio, y también se observa que Coxeter utiliza como longitud de arista (véase pág. 2). ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} }$ ${\displaystyle 2\ell }$
8. • MacLean 2007, págs. 43-44
   • Berman 1971
9. Herz-Fischler 2013, pág. 138–140.
10. Simmons 2007, pág. 50.
11. Sutton 2002, pág. 55.
12. Los valores numéricos de los volúmenes de los sólidos platónicos inscritos se pueden encontrar en Buker y Eggleton 1969.
13. Johnson 1966, Véase la tabla II, línea 4.; MacLean 2007, pág. 43–44.
14. Klein 1884. Véase simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para más historia y simetrías relacionadas en siete y once letras.
15. Bickle 2020, pág. 147.
16. Hopkins 2004.
17. Herrmann y Sally 2013, pág. 257.
18. Coxeter y otros, 1938, pág. 4.
19. Borovik 2006, págs. 8-9, §5. Cómo dibujar un icosaedro en una pizarra.
20. Recíprocamente, la longitud de la arista de un cubo inscrito en un dodecaedro está en proporción áurea con la longitud de la arista del dodecaedro. Las aristas del cubo se encuentran en los planos de las caras pentagonales del dodecaedro como diagonales de pentágonos regulares , que siempre están en proporción áurea con la arista del pentágono regular. Cuando un cubo está inscrito en un dodecaedro y un icosaedro está inscrito en el cubo, el dodecaedro y el icosaedro que no comparten ningún vértice tienen la misma longitud de arista.
21. Coxeter y col. 1938, pág. 8–26.
22. Smith 1958, pág. 295; Minas-Nerpel 2007.
23. Cromwell 1997, pág. 4.
24. "Dados de Dungeons & Dragons". gmdice.com . Consultado el 20 de agosto de 2019 .
25. Flanagan y Gregory 2015, pág. 85.
26. Strauss y Strauss 2008, págs. 35–62.
27. Haeckel 1904; Cromwell 1997, pág. 6.
28. Spokoyny 2013.
29. Hofmeister 2004.
30. Dronskowski, Kikkawa y Stein 2017, págs. 435–436.
31. Cromwell 1997, pág. 7.
32. Por qué 1952.
33. Heath 1908, pág. 262, 478, 480.
34. Cromwell 1997, pág. 55.
35. Livio 2003, pág. 147.

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Enlaces externos

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• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
• Tulane.edu Una discusión sobre la estructura viral y el icosaedro
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