Hipercubo

Politopo convexo, análogo n-dimensional de un cuadrado y un cubo

En las siguientes proyecciones en perspectiva , el cubo es de 3 cubos y el teseracto es de 4 cubos.

En geometría , un hipercubo es un análogo n -dimensional de un cuadrado ( n = 2 ) y un cubo ( n = 3 ); el caso especial para n = 4 se conoce como teseracto . Es una figura cerrada , compacta y convexa cuyo esqueleto unidimensional consiste en grupos de segmentos de línea paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio , perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a . ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Un hipercubo n -dimensional se conoce más comúnmente como un n -cubo o, a veces, como un cubo n -dimensional . ^{[1] [2]} El término politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) ^[3] también se utiliza, en particular en el trabajo de HSM Coxeter, quien también etiqueta a los hipercubos como politopos γ n . ^[4]

El hipercubo es el caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortótopo ).

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud de una unidad . A menudo, el hipercubo cuyos vértices son los 2 ⁿ puntos en R ⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se denomina hipercubo unitario.

Construcción

Por el número de dimensiones

Una animación que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.

Un hipercubo se puede definir aumentando el número de dimensiones de una forma:

0 – Un punto es un hipercubo de dimensión cero.

1 – Si uno mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de línea, que es un hipercubo unitario de dimensión uno.

2 – Si uno mueve este segmento de línea en dirección perpendicular a sí mismo, barre un cuadrado bidimensional.

3 – Si uno mueve el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, generará un cubo tridimensional.

4 – Si uno mueve el cubo una unidad de longitud hacia la cuarta dimensión, genera un hipercubo unitario de 4 dimensiones (un teseracto unitario ).

Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes se puede formalizar matemáticamente como una suma de Minkowski : el hipercubo de dimensión d es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares y, por lo tanto, es un ejemplo de zonotopo .

El esqueleto 1 de un hipercubo es un gráfico de hipercubo .

Coordenadas del vértice

Proyección de un teseracto giratorio .

Un hipercubo unitario de dimensión es la envoltura convexa de todos los puntos cuyas coordenadas cartesianas son iguales a o . Estos puntos son sus vértices . El hipercubo con estas coordenadas es también el producto cartesiano de copias del intervalo unitario . Otro hipercubo unitario, centrado en el origen del espacio ambiente, se puede obtener a partir de éste mediante una traslación . Es la envoltura convexa de los puntos cuyos vectores de coordenadas cartesianas son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.}$

Aquí el símbolo significa que cada coordenada es igual a o a . Este hipercubo unitario es también el producto cartesiano . Cualquier hipercubo unitario tiene una longitud de arista de y un volumen dimensional de . ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle -1/2}$ ${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

El hipercubo -dimensional obtenido como la envoltura convexa de los puntos con coordenadas o, equivalentemente, como el producto cartesiano, también se considera a menudo debido a la forma más simple de las coordenadas de sus vértices. Su longitud de arista es , y su volumen -dimensional es . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$ ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Caras

Todo hipercubo admite, como caras, hipercubos de una dimensión inferior contenidos en su contorno. Un hipercubo de dimensión admite facetas , o caras de dimensión : un segmento de línea (-dimensional) tiene puntos finales; un cuadrado (-dimensional) tiene lados o aristas; un cubo (-dimensional) tiene caras cuadradas; un teseracto (-dimensional) tiene cubos tridimensionales como facetas. El número de vértices de un hipercubo de dimensión es (un cubo habitual, de dimensión 1, tiene vértices, por ejemplo). ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2^{3}=8}$

El número de hipercubos -dimensionales (a los que de ahora en adelante simplemente nos referiremos como -cubos) contenidos en el límite de un -cubo es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}}$, ^[6]     donde y denota el factorial de . ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, el límite de un -cubo ( ) contiene cubos ( -cubos), cuadrados ( -cubos), segmentos de línea ( -cubos) y vértices ( -cubos). Esta identidad se puede demostrar mediante un argumento combinatorio simple: para cada uno de los vértices del hipercubo, hay formas de elegir una colección de aristas incidentes a ese vértice. Cada una de estas colecciones define una de las caras -dimensionales incidentes al vértice considerado. Haciendo esto para todos los vértices del hipercubo, cada una de las caras -dimensionales del hipercubo se cuenta veces ya que tiene esa cantidad de vértices, y necesitamos dividir por este número. ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

El número de facetas del hipercubo se puede utilizar para calcular el volumen -dimensional de su límite: ese volumen es multiplicado por el volumen de un hipercubo -dimensional; es decir, donde es la longitud de los bordes del hipercubo. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2ns^{n-1}}$ ${\displaystyle s}$

Estos números también pueden generarse mediante la relación de recurrencia lineal .

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$, con , y cuando , , o . ${\displaystyle E_{0,0}=1}$ ${\displaystyle E_{m,n}=0}$ ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle m<0}$

Por ejemplo, al extender un cuadrado por sus cuatro vértices se agrega un segmento de línea adicional (arista) por vértice. Al agregar el cuadrado opuesto para formar un cubo se obtienen segmentos de línea. ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

El f-vector extendido para un n -cubo también se puede calcular expandiendo (de manera concisa, (2,1) ⁿ ), y leyendo los coeficientes del polinomio resultante . Por ejemplo, los elementos de un teseracto son (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1). ${\displaystyle (2x+1)^{n}}$

Gráficos

Un n -cubo se puede proyectar dentro de un polígono regular 2n - gonal mediante una proyección ortogonal sesgada , que se muestra aquí desde el segmento de línea hasta el 16-cubo.

Familias relacionadas de politopos

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se representan en cualquier número de dimensiones. ^[8]

La familia de hipercubos (desplazados) es una de las tres familias de politopos regulares , etiquetada por Coxeter como γ _n . Las otras dos son la familia dual de hipercubos, los politopos cruzados , etiquetados como β _n, y los símplices , etiquetados como α _n . Una cuarta familia, las teselaciones infinitas de hipercubos , está etiquetada como δ _n .

Otra familia relacionada de politopos semirregulares y uniformes son los semihipercubos , que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternos eliminados y facetas simplex agregadas en los espacios, etiquetados como hγ _n .

Los n -cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos cruzados ) para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones, obtenemos la figura estelar octagrámica {8/2},
• En tres dimensiones obtenemos el compuesto de cubo y octaedro ,
• En cuatro dimensiones obtenemos el compuesto de tesseract y 16 celdas.

Relación con (norte−1)-simples

El gráfico de las aristas del n -hipercubo es isomorfo al diagrama de Hasse de la red de caras del ( n −1) -símplex . Esto se puede ver orientando el n -hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al ( n −1)-símplex mismo y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna entonces de forma única a una de las facetas ( n −2 caras) del ( n −1)-símplex , y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a una de las n −3 caras del símplex , y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del símplex.

Esta relación se puede utilizar para generar la red de caras de un ( n −1)-símplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a politopos generales son computacionalmente más costosos.

Hipercubos generalizados

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo llamados hipercubos generalizados , γ^pn
_​= _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , o..Existen soluciones reales con p = 2, es decir γ²
_n= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. Para p > 2, existen en . Las facetas son ( n −1)-cubos generalizados y la figura del vértice son símplex regulares . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

El perímetro del polígono regular que se ve en estas proyecciones ortogonales se denomina polígono de Petrie . Los cuadrados generalizados ( n = 2) se muestran con los bordes delineados como bordes p de color rojo y azul alternados , mientras que los cubos n superiores se dibujan con los bordes p delineados en negro .

El número de elementos de m caras en un cubo n generalizado p es: . Esto es p ⁿ vértices y pn facetas. ^[9] ${\displaystyle p^{n-m}{n \choose m}}$

Relación con la exponenciación

Cualquier número entero positivo elevado a otra potencia entera positiva dará como resultado un tercer número entero, siendo este tercer número entero un tipo específico de número figurado correspondiente a un n -cubo con un número de dimensiones que corresponde al exponente. Por ejemplo, el exponente 2 dará como resultado un número cuadrado o "cuadrado perfecto", que se puede organizar en forma de cuadrado con una longitud de lado correspondiente a la de la base. De manera similar, el exponente 3 dará como resultado un cubo perfecto , un número entero que se puede organizar en forma de cubo con una longitud de lado de la base. Como resultado, el acto de elevar un número a 2 o 3 se conoce más comúnmente como " cuadrar " y "cubizar", respectivamente. Sin embargo, los nombres de hipercubos de orden superior no parecen ser de uso común para potencias superiores.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Red de interconexión de hipercubos de arquitectura informática
• Grupo hiperoctaédrico , grupo de simetría del hipercubo.
• Hiperesfera
• Simplex
• Paralelotopo
• Crucifixión (Corpus Hypercubus) (obra famosa)

Notas

1. Paul Dooren; Luc Ridder. "Un algoritmo adaptativo para la integración numérica sobre un cubo n-dimensional".
2. Xiaofan Yang; Yuan Tang. "Un algoritmo de diagnóstico (4n − 9)/3 en una red cúbica n-dimensional".
3. Elte, EL (1912). "IV, Politopo semirregular de cinco dimensiones". Los politopos semirregulares de los hiperespacios . Países Bajos: Universidad de Groningen . ISBN 141817968X.
4. Coxeter 1973, págs. 122–123, §7.2 véase la ilustración Fig 7.2 C .
5. Miroslav Vořechovský; Jan Mašek; Jan Eliáš (noviembre de 2019). "Muestreo óptimo basado en la distancia en un hipercubo: analogías con los sistemas de N cuerpos". Avances en software de ingeniería . 137 . 102709. doi : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709. ISSN  0965-9978.
6. Coxeter 1973, pág. 122, §7·25.
7. Johnson, Norman W.; Geometrías y transformaciones , Cambridge University Press, 2018, pág. 224.
8. Noga Alon. "Transmitiendo en el cubo n-dimensional".
9. Coxeter, HSM (1974), Politopos complejos regulares , Londres y Nueva York: Cambridge University Press , pág. 180, MR  0370328.

Referencias

• Bowen, JP (abril de 1982). «Hipercubo». Practical Computing . 5 (4): 97–99. Archivado desde el original el 30 de junio de 2008 . Consultado el 30 de junio de 2008 .
• Coxeter, HSM (1973). "§7.2. Véase la ilustración Fig. 7-2c". Politopos regulares (3.ª ed.). Dover . págs. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n  ≥ 5)
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introducción a la teoría de conmutación y al diseño lógico: segunda edición . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Consulte el Capítulo 7.1 "Representación cúbica de funciones booleanas", donde se introduce la noción de "hipercubo" como un medio para demostrar un código de distancia 1 ( código Gray ) como los vértices de un hipercubo, y luego el hipercubo con sus vértices así etiquetados se comprime en dos dimensiones para formar un diagrama de Veitch o un mapa de Karnaugh .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hipercubo". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gráficos de hipercubos". MathWorld .
• Rotación de un hipercubo por Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project .
• Descargas de Hypercube de Rudy Rucker y Farideh Dormishian
• A001787 Número de aristas en un hipercubo n-dimensional. en OEIS