En geometría , una red de un poliedro es una disposición de polígonos unidos por bordes no superpuestos en el plano que se pueden plegar (a lo largo de los bordes) para convertirse en las caras del poliedro. Las redes poliédricas son una ayuda útil para el estudio de los poliedros y la geometría sólida en general, ya que permiten construir modelos físicos de poliedros a partir de materiales como cartón fino. [1]
Un ejemplo temprano de redes poliédricas aparece en las obras de Alberto Durero , cuyo libro de 1525 Un curso sobre el arte de medir con compás y regla ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) incluía redes para los sólidos platónicos y varios de los sólidos de Arquímedes. . [2] [3] Estas construcciones fueron llamadas por primera vez redes en 1543 por Augustin Hirschvogel . [4]
Pueden existir muchas redes diferentes para un poliedro dado, dependiendo de la elección de qué aristas se unen y cuáles se separan. Los bordes que se cortan de un poliedro convexo para formar una red deben formar un árbol de expansión del poliedro, pero cortar algunos árboles de expansión puede hacer que el poliedro se superponga automáticamente cuando se despliega, en lugar de formar una red. [5] Por el contrario, una red determinada puede plegarse en más de un poliedro convexo diferente, dependiendo de los ángulos en los que se pliegan sus bordes y la elección de qué bordes pegar. [6] Si se proporciona una red junto con un patrón para pegar sus bordes, de modo que cada vértice de la forma resultante tenga un defecto angular positivo y que la suma de estos defectos sea exactamente 4 π , entonces necesariamente existe exactamente un poliedro. que se puede plegar a partir de él; este es el teorema de unicidad de Alexandrov . Sin embargo, el poliedro formado de esta manera puede tener caras diferentes a las especificadas como parte de la red: algunos de los polígonos de la red pueden tener pliegues y algunos de los bordes entre los polígonos de la red pueden permanecer desplegados. Además, la misma red puede tener múltiples patrones de pegado válidos, lo que da lugar a diferentes poliedros plegados. [7]
¿Todo poliedro convexo tiene un despliegue de arista simple?
En 1975, GC Shephard preguntó si todo poliedro convexo tiene al menos una red o un simple despliegue de aristas. [8] Esta pregunta, que también se conoce como la conjetura de Durero o el problema en desarrollo de Durero, sigue sin respuesta. [9] [10] [11] Existen poliedros no convexos que no tienen redes, y es posible subdividir las caras de cada poliedro convexo (por ejemplo a lo largo de un lugar de corte ) de modo que el conjunto de caras subdivididas tenga una neto. [5] En 2014, Mohammad Ghomi demostró que todo poliedro convexo admite una red después de una transformación afín . [12] Además, en 2019 Barvinok y Ghomi demostraron que una generalización de la conjetura de Durero falla para pseudo aristas , [13] es decir, una red de geodésicas que conectan vértices del poliedro y forman un gráfico con caras convexas.
Una pregunta abierta relacionada pregunta si cada red de un poliedro convexo tiene un florecimiento , un movimiento continuo que no se interseca desde su estado plano hasta su estado plegado que mantiene cada cara plana durante todo el movimiento. [14]
El camino más corto sobre la superficie entre dos puntos de la superficie de un poliedro corresponde a una línea recta en una red adecuada para el subconjunto de caras tocadas por el camino. La red tiene que ser tal que la línea recta quede completamente dentro de ella, y es posible que haya que considerar varias redes para ver cuál ofrece el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un cubo , si los puntos están en caras adyacentes, un candidato para el camino más corto es el camino que cruza el borde común; El camino más corto de este tipo se encuentra utilizando una red donde las dos caras también son adyacentes. Otros candidatos para el camino más corto pasan por la superficie de una tercera cara adyacente a ambas (de las cuales hay dos), y se pueden usar las redes correspondientes para encontrar el camino más corto en cada categoría. [15]
El problema de la araña y la mosca es un rompecabezas matemático recreativo que consiste en encontrar el camino más corto entre dos puntos de un cuboide.
Una red de un politopo de 4 dimensiones , un politopo de cuatro dimensiones , está compuesta de celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, al igual que las caras del polígono de una red de un poliedro están conectadas por sus aristas y todas ocupan el mismo plano. La red del teseracto, el hipercubo de cuatro dimensiones , se utiliza de manera destacada en una pintura de Salvador Dalí , Crucifixión (Corpus Hypercubus) (1954). [16] La misma red teseracto es central en la trama del cuento "—Y construyó una casa torcida—" de Robert A. Heinlein . [17]
El número de redes combinatoriamente distintas de hipercubos bidimensionales se puede encontrar representando estas redes como un árbol en nodos que describe el patrón mediante el cual los pares de caras del hipercubo se pegan para formar una red, junto con una coincidencia perfecta en el gráfico de complemento. del árbol que describe los pares de caras opuestas en el hipercubo plegado. Usando esta representación, el número de despliegues diferentes para hipercubos de dimensiones 2, 3, 4, ... se ha contado como
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