En geometría , un politopo cruzado , [1] hiperoctaedro , ortoplex , [2] o cocubo es un politopo regular y convexo que existe en el espacio euclidiano de n dimensiones . Un politopo cruzado bidimensional es un cuadrado, un politopo cruzado tridimensional es un octaedro regular y un politopo cruzado tetradimensional es un politopo de 16 celdas . Sus facetas son símplex de la dimensión anterior, mientras que la figura del vértice del politopo cruzado es otro politopo cruzado de la dimensión anterior.
Los vértices de un politopo cruzado pueden elegirse como los vectores unitarios que apuntan a lo largo de cada eje de coordenadas, es decir, todas las permutaciones de (±1, 0, 0, ..., 0) . El politopo cruzado es la envoltura convexa de sus vértices. El politopo cruzado n -dimensional también puede definirse como la esfera unitaria cerrada (o, según algunos autores, su límite) en la norma ℓ 1 en R n :
En una dimensión, el politopo cruzado es simplemente el segmento de línea [−1, +1]; en dos dimensiones, es un cuadrado (o diamante) con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones, es un octaedro , uno de los cinco poliedros regulares convexos conocidos como sólidos platónicos . Esto se puede generalizar a dimensiones superiores con un n -ortoplex que se construye como una bipirámide con una base ( n −1)-ortoplex.
El politopo cruzado es el politopo dual del hipercubo . El esqueleto unidimensional de un politopo cruzado n es el grafo de Turán T (2 n , n ) (también conocido como grafo de cóctel [3] ).
El politopo cruzado de 4 dimensiones también recibe el nombre de hexadecacoron o de 16 celdas . Es uno de los seis 4-politopos regulares convexos . Estos 4-politopos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.
La familia de politopos cruzados es una de las tres familias de politopos regulares , etiquetada por Coxeter como β n , las otras dos son la familia de hipercubos , etiquetada como γ n , y la familia símplex , etiquetada como α n . Una cuarta familia, las teselaciones infinitas de hipercubos , la etiquetó como δ n . [4]
El politopo cruzado n -dimensional tiene 2 n vértices y 2 n facetas (componentes ( n − 1)-dimensionales), todos los cuales son ( n − 1) -símplices . Las figuras de vértices son todas ( n − 1)-politopos cruzados. El símbolo de Schläfli del politopo cruzado es {3,3,...,3,4}.
El ángulo diedro del politopo cruzado n -dimensional es . Esto da: δ 2 = arccos(0/2) = 90°, δ 3 = arccos(−1/3) = 109,47°, δ 4 = arccos(−2/4) = 120°, δ 5 = arccos(−3/5) = 126,87°, ... δ ∞ = arccos(−1) = 180°.
El hipervolumen del politopo cruzado n -dimensional es
Para cada par de vértices no opuestos, existe una arista que los une. De manera más general, cada conjunto de k + 1 vértices ortogonales corresponde a un componente k -dimensional distinto que los contiene. El número de componentes k -dimensionales (vértices, aristas, caras, ..., facetas) en un politopo cruzado n -dimensional viene dado por (ver coeficiente binomial ):
El f-vector extendido para un n -ortoplex se puede calcular mediante ( 1 ,2) n , como los coeficientes de productos polinómicos . Por ejemplo, una celda de 16 es ( 1 ,2) 4 = ( 1 ,4,4) 2 = ( 1 ,8,24,32,16).
Existen muchas proyecciones ortográficas posibles que pueden mostrar los politopos cruzados como gráficos bidimensionales. Las proyecciones de polígonos de Petrie asignan los puntos a un polígono regular de 2n o a polígonos regulares de orden inferior. Una segunda proyección toma el polígono de Petrie de 2( n −1)-gonos de la dimensión inferior, visto como una bipirámide , proyectado hacia abajo del eje, con 2 vértices asignados al centro.
Los vértices de un politopo cruzado alineado con el eje están todos a la misma distancia entre sí en la distancia de Manhattan ( norma L 1 ). La conjetura de Kusner establece que este conjunto de 2 d puntos es el conjunto equidistante más grande posible para esta distancia. [6]
Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo llamados ortoplexes generalizados (o politopos cruzados), βpn
= 2 {3} 2 {3}... 2 {4} p , o
..
Existen soluciones reales con p = 2, es decir β2
n= β n = 2 {3} 2 {3}... 2 {4} 2 = {3,3,..,4}. Para p > 2, existen en . Un n -ortoplex p -generalizado tiene pn vértices. Los ortoplex generalizados tienen símplex regulares (reales) como facetas . [7] Los ortoplex generalizados forman grafos multipartitos completos , βpág.
2hacer K p , p para el gráfico bipartito completo , βpág.
3hacer K p , p , p para gráficos tripartitos completos. βpn
crea K p n . Se puede definir una proyección ortogonal que mapea todos los vértices igualmente espaciados en un círculo, con todos los pares de vértices conectados, excepto los múltiplos de n . El perímetro del polígono regular en estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie .
Los politopos cruzados se pueden combinar con sus cubos duales para formar politopos compuestos:
