En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un complejo simplicial (resp. complejo CW ) se refiere al subespacio X n que es la unión de los símplices de X (resp. celdas de X ) de dimensiones m ≤ n . En otras palabras, dada una definición inductiva de un complejo, el n -esqueleto se obtiene deteniéndose en el n -ésimo paso .
Estos subespacios aumentan con n . El 0-esqueleto es un espacio discreto y el 1-esqueleto un grafo topológico . Los esqueletos de un espacio se utilizan en teoría de obstrucciones , para construir secuencias espectrales mediante filtraciones y, en general, para hacer argumentos inductivos . Son particularmente importantes cuando X tiene dimensión infinita, en el sentido de que los X n no se vuelven constantes cuando n → ∞.
En geometría , un k -esqueleto de un n - politopo P (representado funcionalmente como skel k ( P )) consta de todos los elementos i -politópicos de dimensión hasta k . [1]
Por ejemplo:
La definición anterior del esqueleto de un complejo simplicial es un caso particular de la noción de esqueleto de un conjunto simplicial . En pocas palabras, un conjunto simplicial puede describirse mediante una colección de conjuntos , junto con funciones de caras y degeneraciones entre ellos que satisfacen un número de ecuaciones. La idea del n -esqueleto es descartar primero los conjuntos con y luego completar la colección de los con hasta el conjunto simplicial "más pequeño posible" de modo que el conjunto simplicial resultante no contenga símplices no degenerados en grados .
Más precisamente, el funtor de restricción
tiene un adjunto izquierdo, denotado . [2] (Las notaciones son comparables con las de los funtores de imagen para haces ). El n -esqueleto de algún conjunto simplicial se define como
Además, tiene un adjunto derecho . El n -cosesqueleto se define como
Por ejemplo, el 0-esqueleto de K es el conjunto simplicial constante definido por . El 0-cosqueleto está dado por el nervio de Cech.
(Los morfismos de límite y degeneración se dan mediante varias proyecciones e incrustaciones diagonales, respectivamente).
Las construcciones anteriores funcionan también para categorías más generales (en lugar de conjuntos), siempre que la categoría tenga productos de fibra . El coesqueleto es necesario para definir el concepto de hipercubrimiento en álgebra homotópica y geometría algebraica . [3]
