En geometría , un sólido platónico es un poliedro regular convexo en el espacio euclidiano tridimensional . Ser un poliedro regular significa que las caras son congruentes (idénticas en forma y tamaño) que los polígonos regulares (todos los ángulos y todas las aristas congruentes), y que el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Solo hay cinco poliedros de este tipo:
Los geómetras han estudiado los sólidos platónicos durante miles de años. [1] Su nombre se debe al antiguo filósofo griego Platón , quien planteó la hipótesis en uno de sus diálogos, el Timeo , de que los elementos clásicos estaban hechos de estos sólidos regulares. [2]
Los sólidos platónicos se conocen desde la antigüedad. Se ha sugerido que ciertas bolas de piedra tallada creadas por los habitantes de Escocia del Neolítico tardío representan estas formas; sin embargo, estas bolas tienen protuberancias redondeadas en lugar de ser poliédricas, el número de protuberancias a menudo difiere del número de vértices de los sólidos platónicos, no hay ninguna bola cuyas protuberancias coincidan con los 20 vértices del dodecaedro y la disposición de las protuberancias no siempre fue simétrica. [3]
Los antiguos griegos estudiaron extensamente los sólidos platónicos. Algunas fuentes (como Proclo ) atribuyen su descubrimiento a Pitágoras . Otras evidencias sugieren que es posible que solo estuviera familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenezca a Teeteto , un contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos.
Los sólidos platónicos ocupan un lugar destacado en la filosofía de Platón , su homónimo. Platón escribió sobre ellos en el diálogo Timeo c. 360 a. C. en el que asoció cada uno de los cuatro elementos clásicos ( tierra , aire , agua y fuego ) con un sólido regular. La tierra se asoció con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y el fuego con el tetraedro. Del quinto sólido platónico, el dodecaedro, Platón comentó oscuramente que "... el dios lo usó para organizar las constelaciones en todo el cielo". Aristóteles agregó un quinto elemento, aither (aether en latín, "ether" en inglés) y postuló que los cielos estaban hechos de este elemento, pero no tenía ningún interés en emparejarlo con el quinto sólido de Platón. [4]
Euclides describió matemáticamente de forma completa los sólidos platónicos en los Elementos , cuyo último libro (Libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13-17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de la arista. En la Proposición 18 sostiene que no existen más poliedros regulares convexos. Andreas Speiser ha defendido la opinión de que la construcción de los cinco sólidos regulares es el objetivo principal del sistema deductivo canonizado en los Elementos . [5] Gran parte de la información del Libro XIII probablemente se deriva del trabajo de Teeteto.
En el siglo XVI, el astrónomo alemán Johannes Kepler intentó relacionar los cinco planetas extraterrestres conocidos en ese momento con los cinco sólidos platónicos. En Mysterium Cosmographicum , publicado en 1596, Kepler propuso un modelo del Sistema Solar en el que los cinco sólidos estaban colocados uno dentro del otro y separados por una serie de esferas inscritas y circunscritas. Kepler propuso que las relaciones de distancia entre los seis planetas conocidos en ese momento podían entenderse en términos de los cinco sólidos platónicos encerrados dentro de una esfera que representaba la órbita de Saturno . Las seis esferas correspondían cada una a uno de los planetas ( Mercurio , Venus , Tierra , Marte , Júpiter y Saturno). Los sólidos estaban ordenados siendo el más interno el octaedro, seguido del icosaedro, el dodecaedro, el tetraedro y finalmente el cubo, dictando así la estructura del sistema solar y las relaciones de distancia entre los planetas por los sólidos platónicos. Al final, la idea original de Kepler tuvo que ser abandonada, pero de su investigación surgieron sus tres leyes de la dinámica orbital , la primera de las cuales era que las órbitas de los planetas son elipses en lugar de círculos, cambiando el curso de la física y la astronomía. [6] También descubrió los sólidos de Kepler , que son dos poliedros regulares no convexos .
Para los sólidos platónicos centrados en el origen, se dan a continuación las coordenadas cartesianas simples de los vértices. La letra griega se utiliza para representar la proporción áurea .
Las coordenadas del tetraedro, dodecaedro e icosaedro se dan en dos posiciones tales que cada una puede deducirse de la otra: en el caso del tetraedro, cambiando todas las coordenadas de signo ( simetría central ), o, en los otros casos, intercambiando dos coordenadas ( reflexión con respecto a cualquiera de los tres planos diagonales).
Estas coordenadas revelan ciertas relaciones entre los sólidos platónicos: los vértices del tetraedro representan la mitad de los del cubo, como {4,3} o
, uno de dos conjuntos de 4 vértices en posiciones duales, como h{4,3} o
Ambas posiciones tetraédricas forman el octaedro estrellado compuesto .
Las coordenadas del icosaedro están relacionadas con dos conjuntos alternados de coordenadas de un octaedro truncado no uniforme , t{3,4} o, también llamado octaedro romo , como s{3,4} o, y visto en el compuesto de dos icosaedros .
Ocho de los vértices del dodecaedro son compartidos con el cubo. Completando todas las orientaciones se obtiene el compuesto de cinco cubos .
Un poliedro convexo es un sólido platónico si y solo si se cumplen los tres requisitos siguientes.
Por lo tanto, a cada sólido platónico se le puede asignar un par { p , q } de números enteros, donde p es el número de aristas (o, equivalentemente, vértices) de cada cara, y q es el número de caras (o, equivalentemente, aristas) que se encuentran en cada vértice. Este par { p , q }, llamado símbolo de Schläfli , proporciona una descripción combinatoria del poliedro. Los símbolos de Schläfli de los cinco sólidos platónicos se dan en la siguiente tabla.
Toda la demás información combinatoria sobre estos sólidos, como el número total de vértices ( V ), aristas ( E ) y caras ( F ), se puede determinar a partir de p y q . Como cualquier arista une dos vértices y tiene dos caras adyacentes, debemos tener:
La otra relación entre estos valores viene dada por la fórmula de Euler :
Esto se puede demostrar de muchas maneras. Juntas, estas tres relaciones determinan completamente V , E y F :
Al intercambiar p y q se intercambian F y V, sin modificar E. Para una interpretación geométrica de esta propiedad, véase § Poliedros duales.
Los elementos de un poliedro se pueden expresar en una matriz de configuración . Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno hay en todo el poliedro. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna hay en el elemento de la fila o en él. Los pares duales de poliedros tienen sus matrices de configuración rotadas 180 grados entre sí. [7]
El resultado clásico es que sólo existen cinco poliedros regulares convexos. Los dos argumentos comunes que se exponen a continuación demuestran que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos, pero demostrar positivamente la existencia de cualquier sólido dado es una cuestión aparte, que requiere una construcción explícita.
El siguiente argumento geométrico es muy similar al dado por Euclides en los Elementos :
Se puede hacer una demostración puramente topológica usando sólo información combinatoria sobre los sólidos. La clave es la observación de Euler de que V − E + F = 2, y el hecho de que pF = 2 E = qV , donde p representa el número de aristas de cada cara y q el número de aristas que se encuentran en cada vértice. Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación
La manipulación algebraica simple entonces da
Dado que E es estrictamente positivo, debemos tener
Utilizando el hecho de que p y q deben ser ambos al menos 3, se puede ver fácilmente que sólo hay cinco posibilidades para { p , q }:
Hay una serie de ángulos asociados con cada sólido platónico. El ángulo diedro es el ángulo interior entre dos planos de caras. El ángulo diedro, θ , del sólido { p , q } se da mediante la fórmula
Esto a veces se expresa más convenientemente en términos de la tangente mediante
La cantidad h (llamada número de Coxeter ) es 4, 6, 6, 10 y 10 para el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro respectivamente.
La deficiencia angular en el vértice de un poliedro es la diferencia entre la suma de los ángulos de las caras en ese vértice y 2 π . El defecto, δ , en cualquier vértice de los sólidos platónicos { p , q } es
Según un teorema de Descartes, esto es igual a 4 π dividido por el número de vértices (es decir, el defecto total en todos los vértices es 4 π ).
El análogo tridimensional de un ángulo plano es un ángulo sólido . El ángulo sólido, Ω , en el vértice de un sólido platónico se da en términos del ángulo diedro por
Esto se desprende de la fórmula del exceso esférico para un polígono esférico y del hecho de que la figura del vértice del poliedro { p , q } es un q -gono regular.
El ángulo sólido de una cara subtendido desde el centro de un sólido platónico es igual al ángulo sólido de una esfera completa (4 π estereorradianes) dividido por el número de caras. Esto es igual a la deficiencia angular de su dual.
A continuación se muestran en una tabla los distintos ángulos asociados a los sólidos platónicos. Los valores numéricos de los ángulos sólidos se dan en estereorradianes . La constante φ = 1 + √ 5/2 es la proporción áurea .
Otra virtud de la regularidad es que todos los sólidos platónicos poseen tres esferas concéntricas:
Los radios de estas esferas se denominan circunradio , radio medio e inradio . Estas son las distancias desde el centro del poliedro hasta los vértices, los puntos medios de las aristas y los centros de las caras, respectivamente. El circunradio R y el inradio r del sólido { p , q } con longitud de arista a están dados por
donde θ es el ángulo diedro. El radio medio ρ está dado por
donde h es la cantidad utilizada anteriormente en la definición del ángulo diedro ( h = 4, 6, 6, 10 o 10). La relación entre el radio circunscrito y el radio interno es simétrica en p y q :
El área de superficie , A , de un sólido platónico { p , q } se calcula fácilmente como el área de un p -gono regular multiplicado por el número de caras F. Esto es:
El volumen se calcula como F por el volumen de la pirámide cuya base es un p -gono regular y cuya altura es el radio interno r . Es decir,
En la siguiente tabla se enumeran los distintos radios de los sólidos platónicos junto con su área superficial y volumen. El tamaño total se determina tomando la longitud de la arista, a , como igual a 2.
Las constantes φ y ξ en lo anterior se dan por
Entre los sólidos platónicos, tanto el dodecaedro como el icosaedro pueden considerarse la mejor aproximación a la esfera. El icosaedro tiene el mayor número de caras y el mayor ángulo diedro, abraza más firmemente a su esfera inscrita y su relación entre área superficial y volumen es la más cercana a la de una esfera del mismo tamaño (es decir, la misma área superficial o el mismo volumen). El dodecaedro, por otro lado, tiene el defecto angular más pequeño, el ángulo sólido del vértice más grande y llena más su esfera circunscrita.
Para un punto arbitrario en el espacio de un sólido platónico con radio circunscrito R , cuyas distancias al centroide del sólido platónico y sus n vértices son L y d i respectivamente, y
,
tenemos [8]
Para los cinco sólidos platónicos, tenemos [8]
Si d i son las distancias desde los n vértices del sólido platónico a cualquier punto de su esfera circunscrita, entonces [8]
Se dice que un poliedro P tiene la propiedad de Rupert si un poliedro del mismo tamaño o mayor y de la misma forma que P puede pasar a través de un agujero en P. [9] Los cinco sólidos platónicos tienen esta propiedad. [ 9] [10] [11]
Todo poliedro tiene un poliedro dual (o "polar") con caras y vértices intercambiados . El dual de cada sólido platónico es otro sólido platónico, de modo que podemos organizar los cinco sólidos en pares duales.
Si un poliedro tiene el símbolo de Schläfli { p , q }, entonces su dual tiene el símbolo { q , p }. De hecho, cada propiedad combinatoria de un sólido platónico puede interpretarse como otra propiedad combinatoria del dual.
Se puede construir el poliedro dual tomando como centros de las caras de la figura original los vértices del dual. Al conectar los centros de las caras adyacentes en las formas originales se obtienen las aristas del dual y, por lo tanto, se intercambia el número de caras y vértices, manteniendo al mismo tiempo el número de aristas.
De manera más general, se puede dualizar un sólido platónico con respecto a una esfera de radio d concéntrica con el sólido. Los radios ( R , ρ , r ) de un sólido y los de su dual ( R *, ρ *, r *) están relacionados por
La dualización con respecto a la esfera media ( d = ρ ) suele ser conveniente porque la esfera media tiene la misma relación con ambos poliedros. Si tomamos d 2 = Rr obtenemos un sólido dual con el mismo radio circunscrito e inradio (es decir, R * = R y r * = r ).
En matemáticas, el concepto de simetría se estudia con la noción de grupo matemático . Todo poliedro tiene asociado un grupo de simetría , que es el conjunto de todas las transformaciones ( isometrías euclidianas ) que dejan invariante al poliedro. El orden del grupo de simetría es el número de simetrías del poliedro. A menudo se distingue entre el grupo de simetría completo , que incluye las reflexiones , y el grupo de simetría propio , que incluye solo las rotaciones .
Los grupos de simetría de los sólidos platónicos son una clase especial de grupos puntuales tridimensionales conocidos como grupos poliédricos . El alto grado de simetría de los sólidos platónicos se puede interpretar de varias maneras. La más importante es que los vértices de cada sólido son todos equivalentes bajo la acción del grupo de simetría, al igual que las aristas y las caras. Se dice que la acción del grupo de simetría es transitiva sobre los vértices, las aristas y las caras. De hecho, esta es otra forma de definir la regularidad de un poliedro: un poliedro es regular si y solo si es uniforme en sus vértices , uniforme en sus aristas y uniforme en sus caras .
Sólo hay tres grupos de simetría asociados a los sólidos platónicos en lugar de cinco, ya que el grupo de simetría de cualquier poliedro coincide con el de su dual. Esto se ve fácilmente examinando la construcción del poliedro dual. Cualquier simetría del original debe ser una simetría del dual y viceversa. Los tres grupos poliédricos son:
Los órdenes de los grupos propios (de rotación) son 12, 24 y 60 respectivamente, exactamente el doble del número de aristas de los respectivos poliedros. Los órdenes de los grupos de simetría completa son el doble (24, 48 y 120). Véase (Coxeter 1973) para una derivación de estos hechos. Todos los sólidos platónicos, excepto el tetraedro, son centralmente simétricos, lo que significa que se conservan bajo reflexión a través del origen .
La siguiente tabla enumera las distintas propiedades de simetría de los sólidos platónicos. Los grupos de simetría enumerados son los grupos completos con los subgrupos de rotación indicados entre paréntesis (lo mismo ocurre con el número de simetrías). La construcción del caleidoscopio de Wythoff es un método para construir poliedros directamente a partir de sus grupos de simetría. Se enumeran como referencia el símbolo de Wythoff para cada uno de los sólidos platónicos.
El tetraedro, el cubo y el octaedro se encuentran de forma natural en estructuras cristalinas . Estas no agotan de ninguna manera el número de posibles formas de cristales. Sin embargo, ni el icosaedro regular ni el dodecaedro regular se encuentran entre ellas. Una de las formas, llamada piritoedro (llamado así por el grupo de minerales del que es típico) tiene doce caras pentagonales, dispuestas en el mismo patrón que las caras del dodecaedro regular. Sin embargo, las caras del piritoedro no son regulares, por lo que el piritoedro tampoco es regular. Los alótropos del boro y muchos compuestos de boro , como el carburo de boro , incluyen icosaedros B 12 discretos dentro de sus estructuras cristalinas. Los ácidos carboranos también tienen estructuras moleculares que se aproximan a los icosaedros regulares.
A principios del siglo XX, Ernst Haeckel describió (Haeckel, 1904) varias especies de radiolarios , algunos de cuyos esqueletos tienen forma de poliedros regulares. Entre los ejemplos se encuentran Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus Geometricus y Circorrhegma dodecahedra . Las formas de estas criaturas deberían ser obvias a partir de sus nombres.
Muchos virus , como el virus del herpes [12] , tienen la forma de un icosaedro regular. Las estructuras virales están formadas por subunidades proteicas idénticas repetidas y el icosaedro es la forma más fácil de ensamblar utilizando estas subunidades. Se utiliza un poliedro regular porque se puede construir a partir de una única unidad proteica básica utilizada una y otra vez; esto ahorra espacio en el genoma viral .
En meteorología y climatología , los modelos numéricos globales del flujo atmosférico son de creciente interés y emplean cuadrículas geodésicas basadas en un icosaedro (refinado por triangulación ) en lugar de la cuadrícula de longitud / latitud más comúnmente utilizada . Esto tiene la ventaja de una resolución espacial uniformemente distribuida sin singularidades (es decir, los polos), a expensas de una dificultad numérica algo mayor.
La geometría de los marcos espaciales se basa a menudo en sólidos platónicos. En el sistema MERO, los sólidos platónicos se utilizan para la convención de nombres de varias configuraciones de marcos espaciales. Por ejemplo, 1/2O +T se refiere a una configuración formada por la mitad de un octaedro y un tetraedro.
Se han sintetizado varios hidrocarburos platónicos , incluidos el cubano y el dodecaedro , pero no el tetraedro .
Los sólidos platónicos se utilizan a menudo para hacer dados , porque los dados de estas formas pueden hacerse justos . Los dados de 6 caras son muy comunes, pero los otros números se utilizan comúnmente en juegos de rol . Estos dados se conocen comúnmente como d n donde n es el número de caras (d8, d20, etc.); consulte la notación de dados para obtener más detalles.
Estas formas aparecen con frecuencia en otros juegos o rompecabezas. Los rompecabezas similares al cubo de Rubik vienen en las cinco formas (consulte los poliedros mágicos) .
Para la fase intermedia del material llamado cristales líquidos , la existencia de tales simetrías fue propuesta por primera vez en 1981 por H. Kleinert y K. Maki. [13] [14] En el aluminio la estructura icosaédrica fue descubierta tres años después por Dan Shechtman , lo que le valió el Premio Nobel de Química en 2011.
A los arquitectos les gustó la idea de las formas atemporales de Platón que el alma puede ver en los objetos del mundo material, pero convirtieron estas formas en esferas , cilindros , conos y pirámides cuadradas más adecuadas para la construcción . [15] En particular, uno de los líderes del neoclasicismo , Étienne-Louis Boullée , estaba preocupado por la versión de los arquitectos de los "sólidos platónicos". [16]
Existen cuatro poliedros regulares que no son convexos, llamados poliedros de Kepler-Poinsot . Todos ellos tienen simetría icosaédrica y pueden obtenerse como estelaciones del dodecaedro y del icosaedro.
Los siguientes poliedros convexos más regulares después de los sólidos platónicos son el cuboctaedro , que es una rectificación del cubo y el octaedro, y el icosidodecaedro , que es una rectificación del dodecaedro y el icosaedro (la rectificación del tetraedro autodual es un octaedro regular). Ambos son cuasirregulares , lo que significa que son uniformes en vértices y aristas y tienen caras regulares, pero las caras no son todas congruentes (se dividen en dos clases diferentes). Forman dos de los trece sólidos arquimedianos , que son los poliedros convexos uniformes con simetría poliédrica. Sus duales, el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son transitivos en aristas y caras, pero sus caras no son regulares y sus vértices se dividen en dos tipos cada uno; son dos de los trece sólidos catalanes .
Los poliedros uniformes forman una clase mucho más amplia de poliedros. Estas figuras son uniformes en sus vértices y tienen uno o más tipos de polígonos regulares o estrellados como caras. Entre ellos se incluyen todos los poliedros mencionados anteriormente junto con un conjunto infinito de prismas , un conjunto infinito de antiprismas y otras 53 formas no convexas.
Los sólidos de Johnson son poliedros convexos que tienen caras regulares pero no son uniformes. Entre ellos se encuentran cinco de los ocho deltaedros convexos , que tienen caras idénticas y regulares (todos triángulos equiláteros) pero no son uniformes. (Los otros tres deltaedros convexos son el tetraedro, el octaedro y el icosaedro platónicos).
Las tres teselaciones regulares del plano están estrechamente relacionadas con los sólidos platónicos. De hecho, se pueden considerar los sólidos platónicos como teselaciones regulares de la esfera . Esto se hace proyectando cada sólido sobre una esfera concéntrica. Las caras se proyectan sobre polígonos esféricos regulares que cubren exactamente la esfera. Las teselaciones esféricas proporcionan dos conjuntos infinitos adicionales de teselaciones regulares, los hosoedros , {2, n } con 2 vértices en los polos y caras lúnidas , y los diedros duales , { n ,2} con 2 caras hemisféricas y vértices espaciados regularmente en el ecuador. Tales teselaciones serían degeneradas en el verdadero espacio 3D como poliedros.
Toda teselación regular de la esfera se caracteriza por un par de números enteros { p , q } con 1/pag + 1/q > 1/2 . Asimismo, una teselación regular del plano se caracteriza por la condición 1/pag + 1/q = 1/2 . Hay tres posibilidades:
De manera similar, se pueden considerar teselaciones regulares del plano hiperbólico . Estas se caracterizan por la condición 1/pag + 1/q < 1/2 . Existe una familia infinita de tales teselaciones.
En más de tres dimensiones, los poliedros se generalizan a politopos , siendo los politopos regulares convexos de dimensiones superiores los equivalentes de los sólidos platónicos tridimensionales.
A mediados del siglo XIX, el matemático suizo Ludwig Schläfli descubrió los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos, llamados 4-politopos regulares convexos . Hay exactamente seis de estas figuras; cinco son análogas a los sólidos platónicos: de 5 celdas como {3,3,3}, de 16 celdas como {3,3,4}, de 600 celdas como {3,3,5}, de teseracto como {4,3,3} y de 120 celdas como {5,3,3}, y una sexta, la autodual de 24 celdas , {3,4,3}.
En todas las dimensiones superiores a cuatro, sólo hay tres politopos regulares convexos: el símplex como {3,3,...,3}, el hipercubo como {4,3,...,3} y el politopo cruzado como {3,3,...,4}. [17] En tres dimensiones, estos coinciden con el tetraedro como {3,3}, el cubo como {4,3} y el octaedro como {3,4}.
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd89ad09dadad2c68f092a9317b285619b2b983a)
![{\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96afa0c1c6a4c8a062079f55e03d16851d9a16e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9176ee953f697a0ba986708952e59cd36667bd)
![{\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef9cf67f66eda33140f041686061cc19d193b73)
{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link){{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)