En matemáticas , y más específicamente en combinatoria poliédrica , un poliedro de Goldberg es un poliedro convexo hecho de hexágonos y pentágonos . Fueron descritos por primera vez en 1937 por Michael Goldberg (1902-1990). Se definen por tres propiedades: cada cara es un pentágono o un hexágono, exactamente tres caras se encuentran en cada vértice y tienen simetría icosaédrica rotacional . No son necesariamente simétricos en espejo ; por ejemplo, GP(5,3) y GP(3,5) son enantiomorfos entre sí. Un poliedro de Goldberg es un poliedro dual de un poliedro geodésico .
Una consecuencia de la fórmula de Euler para el poliedro es que un poliedro de Goldberg siempre tiene exactamente 12 caras pentagonales. La simetría icosaédrica garantiza que los pentágonos sean siempre regulares y que siempre haya 12 de ellos. Si los vértices no están restringidos a una esfera, el poliedro se puede construir con caras equiláteras planas (pero no equiangulares en general).
Ejemplos simples de poliedros de Goldberg incluyen el dodecaedro y el icosaedro truncado . Otras formas pueden describirse haciendo un movimiento de caballo de ajedrez de un pentágono al siguiente: primero dé m pasos en una dirección, luego gire 60° a la izquierda y dé n pasos. Un poliedro de este tipo se denota GP( m , n ). Un dodecaedro es GP(1,0) , y un icosaedro truncado es GP(1,1).
Se puede aplicar una técnica similar para construir poliedros con simetría tetraédrica y octaédrica . Estos poliedros tendrán triángulos o cuadrados en lugar de pentágonos. Estas variaciones reciben subíndices en números romanos que indican el número de lados de las caras que no son hexagonales: GP III ( n , m ), GP IV ( n , m ) y GP V ( n , m ).
El número de vértices, aristas y caras de GP ( m , n ) se puede calcular a partir de m y n , con T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 − mn , dependiendo de uno de los tres sistemas de simetría: [1] El número de caras no hexagonales se puede determinar utilizando la característica de Euler, como se demuestra aquí .
La mayoría de los poliedros de Goldberg se pueden construir utilizando la notación de poliedros de Conway comenzando con las semillas (T)etraedro, (C)ube y (D)odecaedro. El operador de chaflán , c , reemplaza todas las aristas por hexágonos, transformando GP ( m , n ) en GP (2 m ,2 n ), con un multiplicador T de 4. El operador kis truncado , y = tk , genera GP (3,0), transformando GP ( m , n ) en GP (3 m ,3 n ), con un multiplicador T de 9.
Para las formas de clase 2, el operador dual kis , z = dk , transforma GP ( a , 0) en GP ( a , a ), con un multiplicador T de 3. Para las formas de clase 3, el operador de remolino , w , genera GP (2,1), con un multiplicador T de 7. Un generador de remolino en sentido horario y antihorario, w w = wrw genera GP (7, 0) en clase 1. En general, un remolino puede transformar un GP( a , b ) en GP( a + 3 b , 2 ab ) para a > b y la misma dirección quiral. Si se invierten las direcciones quirales, GP( a , b ) se convierte en GP(2 a + 3 b , a − 2 b ) si a ≥ 2 b , y GP(3 a + b , 2 b − a ) si a < 2 b .