En geometría de cinco dimensiones , un 5- símplex es un 5-politopo regular autodual . Tiene seis vértices , 15 aristas , 20 caras triangulares, 15 celdas tetraédricas y 6 facetas de 5 celdas . Tiene un ángulo diedro de cos −1 ( 1/5) , o aproximadamente 78,46°.
El 5-símplex es una solución al problema: hacer 20 triángulos equiláteros usando 15 fósforos, donde cada lado de cada triángulo es exactamente un fósforo.
También se le puede llamar hexaterón o hexa-5-topo , ya que es un politopo de 6 facetas en 5 dimensiones. El nombre hexaterón se deriva de hexa- , que significa que tiene seis facetas , y teron ( ter- es una corrupción de tetra- ), que significa que tiene facetas de cuatro dimensiones.
Jonathan Bowers le da al hexaterón el acrónimo hix . [1]
Esta matriz de configuración representa el 5-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno hay en todo el 5-símplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna hay en el elemento de la fila o en él. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. [2] [3]
El hexaterón se puede construir a partir de un triángulo de 5 celdas agregando un sexto vértice tal que sea equidistante de todos los demás vértices del triángulo de 5 celdas.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un hexaterón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:
Los vértices del 5-símplex se pueden posicionar de forma más sencilla en un hiperplano en el 6-espacio como permutaciones de (0,0,0,0,0,1) o (0,1,1,1,1,1). Estas construcciones se pueden considerar como facetas del 6-ortoplex o del 6-cubo rectificado respectivamente.
Una forma de simetría inferior es una pirámide de 5 celdas {3,3,3}∨( ), con un orden de simetría [3,3,3] de 120, construida como una base de 5 celdas en un hiperplano de 4 espacios y un punto de vértice por encima del hiperplano. Los cinco lados de la pirámide están formados por celdas de 5 celdas. Estas se ven como figuras de vértice de 6-politopos regulares truncados , como un 6-cubo truncado .
Otra forma es {3,3}∨{ }, con orden de simetría [3,3,2,1] 48, la unión de un diágono ortogonal y un tetraedro, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí. Otra forma es {3}∨{3}, con orden de simetría [3,2,3,1] 36, y simetría extendida [[3,2,3],1], orden 72. Representa la unión de 2 triángulos ortogonales, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí.
La forma { }∨{ }∨{ } tiene simetría [2,2,1,1], orden 8, extendida permutando 3 segmentos como [3[2,2],1] o [4,3,1,1], orden 48.
Estos se ven en las figuras de vértice de politopos regulares de 6 bits truncados y tritruncados, como un cubo de 6 bits truncados y un simplex de 6 bits truncados . Las etiquetas de borde aquí representan los tipos de caras a lo largo de esa dirección y, por lo tanto, representan diferentes longitudes de borde.
La figura del vértice del panal 5-símplex omnitruncado ,
, es un 5-símplex con un ciclo de polígono de Petrie de 5 aristas largas. Su simetría es isomorfa al grupo diedro Dih 6 o grupo de rotación simple [6,2] + , orden 12.
El compuesto de dos 5-símplex en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano de Coxeter A6 , con vértices y aristas de 5-símplex rojo y azul. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3,3]], orden 1440. La intersección de estos dos 5-símplex es un 5-símplex birectificado uniforme .
=
∩
.
Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados por Coxeter como la serie 1 3k . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselación de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .
Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados por Coxeter como series 3 k1 . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselación de 3 esferas, un diedro tetraédrico .
El 5-símplex, como politopo 2 20, es el primero en la serie dimensional 2 2k .
El 5-símplex regular es uno de los 19 polígonos uniformes basados en el grupo de Coxeter [3,3,3,3] , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano de Coxeter A 5. (Los vértices están coloreados por orden de superposición de proyecciones, rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, violeta tienen progresivamente más vértices)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{\sqrt {15}}},\ {\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)\\[5pt]&\left({\frac {1}{\sqrt {15}}},\ {\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ -{\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)\\[5pt]&\left({\frac {1}{\sqrt {15}}},\ {\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}},\ 0,\ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ -{\tfrac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\\[5pt]&\left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79141ce810582c49e87824bc8b0f8a7ccec5d90)