En geometría de cinco dimensiones , un 5- simplex es un 5-politopo regular autodual . Tiene seis vértices , 15 aristas , 20 caras triangulares , 15 celdas tetraédricas y 6 facetas de 5 celdas . Tiene un ángulo diédrico de cos −1 ( 1/5), o aproximadamente 78,46°.
El 5-símplex es una solución al problema: haz 20 triángulos equiláteros usando 15 cerillas, donde cada lado de cada triángulo sea exactamente una cerilla.
También se le puede llamar hexateron , o hexa-5-tope , como un politopo de 6 facetas en 5 dimensiones. El nombre hexateron se deriva de hexa- por tener seis facetas y teron ( siendo ter- una corrupción de tetra- ) por tener facetas de cuatro dimensiones.
Por Jonathan Bowers, un hexaterón recibe el acrónimo hix . [1]
Esta matriz de configuración representa el 5-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada elemento se encuentran en el 5-símplex completo. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. [2] [3]
El hexaterón se puede construir a partir de 5 celdas agregando un sexto vértice de modo que sea equidistante de todos los demás vértices de las 5 celdas.
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un hexaterón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista 2 son:
Los vértices del 5-simplex se pueden ubicar de manera más simple en un hiperplano en el espacio 6 como permutaciones de (0,0,0,0,0,1) o (0,1,1,1,1,1). Estas construcciones pueden verse como facetas del 6-ortoplex o del 6-cubo rectificado, respectivamente.
Una forma de simetría inferior es una pirámide de 5 celdas {3,3,3}∨(), con orden de simetría [3,3,3] 120, construida como una base de 5 celdas en un hiperplano de 4 espacios , y un vértice punto por encima del hiperplano. Los cinco lados de la pirámide están formados por celdas de 5 celdas. Estos se ven como figuras de vértices de 6 politopos regulares truncados , como un 6 cubo truncado .
Otra forma es {3,3}∨{ }, con [3,3,2,1] orden de simetría 48, la unión de un digon ortogonal y un tetraedro, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí. Otra forma es {3}∨{3}, con [3,2,3,1] simetría de orden 36 y simetría extendida [[3,2,3],1], de orden 72. Representa la unión de 2 triángulos ortogonales. , desplazado ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí.
La forma { }∨{ }∨{ } tiene simetría [2,2,1,1], orden 8, extendida permutando 3 segmentos como [3[2,2],1] o [4,3,1,1 ], orden 48.
Estos se ven en las figuras de vértices de 6 politopos regulares bitruncados y tritruncados, como un 6-cubo bitruncado y un 6-símplex tritruncado . Las etiquetas de borde aquí representan los tipos de cara a lo largo de esa dirección y, por lo tanto, representan diferentes longitudes de borde.
La figura del vértice del panal omnitruncado de 5 simples ,
, es un 5-símplex con un ciclo de polígono de Petrie de 5 aristas largas. Su simetría es isomófica al grupo diédrico Dih 6 o al grupo de rotación simple [6,2] + , orden 12.
El compuesto de dos 5 simples en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano A6 de Coxeter , con vértices y aristas de 5 simples rojos y azules. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3,3]], orden 1440. La intersección de estos dos 5-símplex es un 5-símplex uniforme birectificado .
=
∩
.
Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados por Coxeter como series de 1 3k . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como mosaico de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .
Es el primero de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresados por Coxeter como series de 3 k1 . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como mosaico de 3 esferas, un dipedro tetraédrico .
El 5-simplex, como politopo 2 20, es el primero en la serie dimensional 2 2k .
El 5-simplex regular es uno de los 19 politera uniformes basados en el grupo [3,3,3,3] Coxeter , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano A 5 Coxeter . (Los vértices se colorean según el orden de superposición de proyección; rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul y morado tienen progresivamente más vértices)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ {\tfrac {1 }{\sqrt {6}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\ sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {6}}},\ -{\tfrac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}} ,\ -{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}},\ 0,\ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15 }}},\ -{\tfrac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\\[5pt]&\left(-{ \tfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79141ce810582c49e87824bc8b0f8a7ccec5d90)