Objeto geométrico de cinco dimensiones
En geometría , un politopo de cinco dimensiones (o 5-politopo o politerón ) es un politopo en el espacio de cinco dimensiones , delimitado por facetas ( 4-politopo ) , pares de las cuales comparten una celda poliédrica .
Definición
Un 5-politopo es una figura cerrada de cinco dimensiones con vértices , aristas , caras y celdas , y 4-caras . Un vértice es un punto en el que se encuentran cinco o más aristas. Una arista es un segmento de línea en el que se encuentran cuatro o más caras, y una cara es un polígono en el que se encuentran tres o más celdas. Una celda es un poliedro , y un 4-politopo es un 4- cara . Además, se deben cumplir los siguientes requisitos:
- Cada celda debe unir exactamente dos 4 caras.
- Las 4 caras adyacentes no están en el mismo hiperplano de cuatro dimensiones .
- La figura no es un compuesto de otras figuras que cumplan los requisitos.
Características
La topología de cualquier 5-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se puede generalizar de forma útil a dimensiones superiores, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. [1]
Clasificación
Los 5-politopos pueden clasificarse según propiedades como " convexidad " y " simetría ".
- Un 5-politopo es convexo si su límite (incluyendo sus celdas, caras y aristas) no se interseca consigo mismo y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 5-politopo está contenido en el 5-politopo o en su interior; de lo contrario, es no convexo . Los 5-politopos autointersecantes también se conocen como politopos estrella , por analogía con las formas similares a estrellas de los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
- Un 5-politopo uniforme tiene un grupo de simetría en el que todos los vértices son equivalentes y sus facetas son 4-politopos uniformes . Las caras de un politopo uniforme deben ser regulares .
- Un politopo 5 semirregular contiene dos o más tipos de facetas de politopo 4 regular. Solo existe una figura de este tipo, llamada demipenteracto .
- Un politopo 5 regular tiene todas las facetas de un politopo 4 regular idénticas. Todos los politopos 5 regulares son convexos.
- Un 5-politopo prismático se construye mediante un producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión. Un 5-politopo prismático es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de un cuadrado y un cubo ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
- Una teselación de 4 espacios es la división del espacio euclidiano de cuatro dimensiones en una cuadrícula regular de facetas policorales. Estrictamente hablando, las teselaciones no son politopos, ya que no delimitan un volumen "5D", pero las incluimos aquí para completar la descripción porque son similares a los politopos en muchos aspectos. Una teselación uniforme de 4 espacios es aquella cuyos vértices están relacionados por un grupo espacial y cuyas facetas son 4-politopos uniformes.
5-politopos regulares
Los 5-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s}, con s {p,q,r} facetas policorales alrededor de cada cara .
Hay exactamente tres de estos 5-politopos regulares convexos :
- {3,3,3,3} - 5-símplex
- {4,3,3,3} - 5 cubos
- {3,3,3,4} - 5-ortoplex
Para los tres 5-politopos regulares convexos y los tres 5-politopos semirregulares, sus elementos son:
5-politopos uniformes
Para tres de los 5-politopos semirregulares, sus elementos son:
El 5-símplex expandido es la figura del vértice del panal 5-símplex uniforme .
El panal de 5 semicubes ,, la figura del vértice es un 5-ortoplex rectificado y las facetas son el 5-ortoplex y el 5-demicubo .
Pirámides
Los 5-politopos piramidales, o 5-pirámides , pueden generarse mediante una base de 4-politopos en un hiperplano de 4 espacios conectado a un punto fuera del hiperplano. El 5-símplex es el ejemplo más simple con una base de 4-símplex.
Véase también
Referencias
- ^ abc Richeson, D.; La joya de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la unidad de ancho van Wetenschappen de la Koninklijke academy Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
- HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 5D (politera)".
Enlaces externos
- Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
- Politera uniforme, Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional de Garrett Jones
El panal de 5 semicubes ,
