Conjunto denso

Subconjunto cuyo cierre es todo el espacio

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , se dice que un subconjunto A de un espacio topológico X es denso en X si cada punto de X pertenece a A o está arbitrariamente "cercano" a un miembro de A —por ejemplo, los números racionales son un subconjunto denso de los números reales porque cada número real es un número racional o tiene un número racional arbitrariamente cercano a él (véase aproximación diofántica ). Formalmente, es denso en si el subconjunto cerrado más pequeño de los que lo contienen es él mismo. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

ElLa densidad de un espacio topológicoes la menorcardinalidadde un subconjunto denso de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Definición

Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es un ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$subconjunto denso de ${\displaystyle X}$si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. El subconjunto cerrado más pequeño de un contenedor es él mismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
2. El cierre de in es igual a Es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. El interior del complemento de está vacío. Es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. Cada punto en cualquiera de los dos pertenece o es un punto límite de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
5. Para cada barrio de intersecciones , es decir, ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A;}$ ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$intersecta cada subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle X.}$

y si es una base de conjuntos abiertos para la topología, entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

7. Para cada vecindario básico se intersecta ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$intersecta cada no vacío ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Densidad en espacios métricos

Una definición alternativa de conjunto denso en el caso de espacios métricos es la siguiente: cuando la topología de está dada por una métrica , la clausura de en es la unión de y el conjunto de todos los límites de sucesiones de elementos en (sus puntos límite ), ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}}$$

Entonces es denso en si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

Si es una secuencia de conjuntos abiertos densos en un espacio métrico completo, entonces también es denso en Este hecho es una de las formas equivalentes del teorema de la categoría de Baire . ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Los números reales con la topología usual tienen a los números racionales como un subconjunto denso contable , lo que demuestra que la cardinalidad de un subconjunto denso de un espacio topológico puede ser estrictamente menor que la cardinalidad del espacio mismo. Los números irracionales son otro subconjunto denso, lo que demuestra que un espacio topológico puede tener varios subconjuntos densos disjuntos (en particular, dos subconjuntos densos pueden ser complementos entre sí), y ni siquiera necesitan ser de la misma cardinalidad. Quizás aún más sorprendente, tanto los racionales como los irracionales tienen interiores vacíos, lo que demuestra que los conjuntos densos no necesitan contener ningún conjunto abierto no vacío. La intersección de dos subconjuntos densos abiertos de un espacio topológico es nuevamente densa y abierta. ^{[prueba 1]} El conjunto vacío es un subconjunto denso de sí mismo. Pero cada subconjunto denso de un espacio no vacío también debe ser no vacío.

Por el teorema de aproximación de Weierstrass , cualquier función continua de valor complejo definida en un intervalo cerrado puede aproximarse uniformemente tanto como se desee mediante una función polinómica . En otras palabras, las funciones polinómicas son densas en el espacio de funciones continuas de valor complejo en el intervalo equipado con la norma suprema . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b],}$

Todo espacio métrico es denso en su completitud .

Propiedades

Todo espacio topológico es un subconjunto denso de sí mismo. Para un conjunto dotado de la topología discreta , todo el espacio es el único subconjunto denso. Todo subconjunto no vacío de un conjunto dotado de la topología trivial es denso, y toda topología para la cual todo subconjunto no vacío sea denso debe ser trivial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La densidad es transitiva : dados tres subconjuntos y de un espacio topológico con tal que es denso en y es denso en (en la respectiva topología del subespacio ) entonces también es denso en ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C.}$

La imagen de un subconjunto denso bajo una función continua sobreyectiva es nuevamente densa. La densidad de un espacio topológico (la menor de las cardinalidades de sus subconjuntos densos) es un invariante topológico .

Un espacio topológico con un subconjunto denso conexo es necesariamente conexo.

Las funciones continuas en espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos: si dos funciones continuas en un espacio de Hausdorff concuerdan en un subconjunto denso de entonces concuerdan en todos los ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Para los espacios métricos existen espacios universales, en los que se pueden incluir todos los espacios de densidad dada : un espacio métrico de densidad es isométrico a un subespacio del espacio de funciones reales continuas en el producto de copias del intervalo unitario . ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$ ${\displaystyle \alpha }$

Nociones relacionadas

Un punto de un subconjunto de un espacio topológico se denomina punto límite de (en ) si cada entorno de también contiene un punto de distinto de él mismo y un punto aislado de en caso contrario. Se dice que un subconjunto sin puntos aislados es denso en sí mismo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina denso en ninguna parte (en ) si no hay ningún entorno en en el que sea denso. De manera equivalente, un subconjunto de un espacio topológico es denso en ninguna parte si y solo si el interior de su clausura está vacío. El interior del complemento de un conjunto denso en ninguna parte siempre es denso. El complemento de un conjunto denso en ninguna parte cerrado es un conjunto denso abierto. Dado un espacio topológico , un subconjunto de que se puede expresar como la unión de un número contable de subconjuntos densos en ninguna parte de se denomina magro . Los números racionales, aunque densos en los números reales, son magros como subconjunto de los reales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico con un subconjunto denso numerable se denomina separable . Un espacio topológico es un espacio de Baire si y solo si la intersección de un número numerable de conjuntos abiertos densos es siempre densa. Un espacio topológico se denomina resoluble si es la unión de dos subconjuntos densos disjuntos. De manera más general, un espacio topológico se denomina κ-resoluble para un cardinal κ si contiene κ conjuntos densos disjuntos por pares.

Una incrustación de un espacio topológico como un subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactificación de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Se dice que un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos y está densamente definido si su dominio es un subconjunto denso de y si su rango está contenido dentro de Véase también Extensión lineal continua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Un espacio topológico es hiperconectado si y solo si todo conjunto abierto no vacío es denso en Un espacio topológico es submáximo si y solo si todo subconjunto denso es abierto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un espacio métrico, entonces se dice que un subconjunto no vacío es -denso si ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

Se puede entonces demostrar que es denso en si y sólo si es ε-denso para cada ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Véase también

• Teorema de Blumberg  : Cualquier función real en R admite una restricción continua en un subconjunto denso de R
• Orden denso  : orden parcial en el que dos elementos distintos comparables tienen otro elemento entre ellos
• Densa (teoría reticular)

Referencias

1. Steen, LA; Seebach, JA (1995), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X
2. Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "Un teorema de Banach-Mazur generalizado". Bull. Austral. Math. Soc . 1 (2): 169–173. doi : 10.1017/S0004972700041411 .

pruebas

1. Supóngase que y son subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico. Si entonces la conclusión de que el conjunto abierto es denso en es inmediata, entonces supóngase lo contrario. Sea un subconjunto abierto no vacío de por lo que queda por demostrar que tampoco está vacío. Porque es denso en y es un subconjunto abierto no vacío de su intersección no está vacía. De manera similar, porque es un subconjunto abierto no vacío de y es denso en su intersección no está vacía. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap (A\cap B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A\cap B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias generales

• Nicolas Bourbaki (1989) [1971]. Topología general, capítulos 1–4 . Elementos de matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de pregrado en matemáticas. Traducido por Berberian, SK. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90972-1.OCLC 10277303  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .