En matemáticas , una geometría de Klein es un tipo de geometría motivada por Felix Klein en su influyente programa de Erlangen . Más específicamente, es un espacio homogéneo X junto con una acción transitiva sobre X por parte de un grupo de Lie G , que actúa como el grupo de simetría de la geometría.
Para conocer los antecedentes y la motivación, consulte el artículo sobre el programa de Erlangen .
Una geometría de Klein es un par ( G , H ) donde G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie cerrado de G tal que el espacio de clases laterales (izquierdo) G / H es conexo . El grupo G se denomina grupo principal de la geometría y G / H se denomina espacio de la geometría (o, por un abuso de terminología, simplemente geometría de Klein ). El espacio X = G / H de una geometría de Klein es una variedad suave de dimensión
Existe una acción suave natural hacia la izquierda de G sobre X dada por
Claramente, esta acción es transitiva (tomamos a = 1 ), de modo que uno puede entonces considerar a X como un espacio homogéneo para la acción de G. El estabilizador de la clase lateral identidad H ∈ X es precisamente el grupo H.
Dada cualquier variedad suave conexa X y una acción transitiva suave por un grupo de Lie G sobre X , podemos construir una geometría de Klein asociada ( G , H ) fijando un punto base x 0 en X y dejando que H sea el subgrupo estabilizador de x 0 en G . El grupo H es necesariamente un subgrupo cerrado de G y X es naturalmente difeomorfo a G / H .
Dos geometrías de Klein ( G 1 , H 1 ) y ( G 2 , H 2 ) son geométricamente isomorfas si existe un isomorfismo de grupo de Lie φ : G 1 → G 2 de modo que φ ( H 1 ) = H 2 . En particular, si φ es conjugación por un elemento g ∈ G , vemos que ( G , H ) y ( G , gHg −1 ) son isomorfas. La geometría de Klein asociada a un espacio homogéneo X es entonces única hasta el isomorfismo (es decir, es independiente del punto base elegido x 0 ).
Dado un grupo de Lie G y un subgrupo cerrado H , existe una acción derecha natural de H sobre G dada por la multiplicación derecha. Esta acción es libre y propia . Las órbitas son simplemente las clases laterales izquierdas de H en G . Se concluye que G tiene la estructura de un fibrado principal H suave sobre el espacio de clases laterales izquierdas G / H :
La acción de G sobre X = G / H no necesita ser efectiva. El núcleo de una geometría de Klein se define como el núcleo de la acción de G sobre X. Viene dado por
El núcleo K también puede describirse como el núcleo de H en G (es decir , el subgrupo más grande de H que es normal en G ). Es el grupo generado por todos los subgrupos normales de G que se encuentran en H.
Se dice que una geometría de Klein es efectiva si K = 1 y localmente efectiva si K es discreto . Si ( G , H ) es una geometría de Klein con núcleo K , entonces ( G / K , H / K ) es una geometría de Klein efectiva asociada canónicamente a ( G , H ) .
Una geometría de Klein ( G , H ) está orientada geométricamente si G es conexa . (Esto no implica que G / H sea una variedad orientada ). Si H es conexa se deduce que G también es conexa (esto se debe a que se supone que G / H es conexa, y G → G / H es una fibración ).
Dada cualquier geometría de Klein ( G , H ) , existe una geometría orientada geométricamente asociada canónicamente a ( G , H ) con el mismo espacio base G / H . Esta es la geometría ( G 0 , G 0 ∩ H ) donde G 0 es el componente identidad de G . Nótese que G = G 0 H .
Se dice que una geometría de Klein ( G , H ) es reductiva y G / H un espacio homogéneo reductivo si el álgebra de Lie de H tiene un complemento H -invariante en .
En la siguiente tabla se describe las geometrías clásicas, modeladas como geometrías de Klein.
