En geometría , un grupo de puntos bidimensional o grupo de rosetas es un grupo de simetrías geométricas ( isometrías ) que mantienen al menos un punto fijo en un plano. Cada uno de esos grupos es un subgrupo del grupo ortogonal O (2), incluido el propio O (2). Sus elementos son rotaciones y reflexiones, y cada grupo que contiene solo rotaciones es un subgrupo del grupo ortogonal especial SO(2), incluido el propio SO(2). Ese grupo es isomorfo a R/Z y al primer grupo unitario , U(1), un grupo también conocido como grupo circular .
Los grupos de puntos bidimensionales son importantes como base para los grupos de puntos tridimensionales axiales , con la adición de reflexiones en la coordenada axial. También son importantes en las simetrías de organismos, como estrellas de mar y medusas , y partes de organismos, como flores .
Hay dos familias de grupos de puntos bidimensionales discretos y se especifican con el parámetro n , que es el orden del grupo de rotaciones en el grupo.
Intl se refiere a la notación de Hermann-Mauguin o notación internacional, utilizada a menudo en cristalografía . En el límite infinito, estos grupos se convierten en grupos de líneas unidimensionales .
Si un grupo es una simetría de una red o cuadrícula bidimensional , entonces el teorema de restricción cristalográfica restringe el valor de n a 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias. Por tanto, existen 10 grupos de puntos cristalográficos bidimensionales :
Los grupos se pueden construir de la siguiente manera:
Todos estos grupos tienen grupos abstractos distintos, excepto C 2 y D 1 , que comparten el grupo abstracto Z 2 . Todos los grupos cíclicos son abelianos o conmutativos, pero sólo dos de los grupos diédricos son: D 1 ~ Z 2 y D 2 ~ Z 2 ×Z 2 . De hecho, D 3 es el grupo nobeliano más pequeño.
Incluso para n , el símbolo de Hermann-Mauguin n m es una abreviatura del símbolo completo n mm, como se explica a continuación. La n en el símbolo HM denota n rotaciones veces, mientras que la m denota planos de reflexión o espejo.
Estos grupos se construyen fácilmente con matrices ortogonales bidimensionales .
El grupo cíclico continuo SO(2) o C ∞ y sus subgrupos tienen elementos que son matrices de rotación:
donde SO (2) tiene cualquier θ posible. No es sorprendente que SO(2) y sus subgrupos sean todos abelianos; La adición de ángulos de rotación conmuta.
Para grupos cíclicos discretos C n , elementos C n k = R(2π k / n )
El grupo diédrico continuo O(2) o D ∞ y sus subgrupos con reflexiones tienen elementos que incluyen no solo matrices de rotación, sino también matrices de reflexión:
donde O(2) tiene cualquier θ posible. Sin embargo, los únicos subgrupos abelianos de O(2) con reflexiones son D 1 y D 2 .
Para grupos diédricos discretos D n , elementos C n k σ = S(2π k / n )
Cuando se utilizan coordenadas polares, la relación de estos grupos con grupos de simetría unidimensionales se vuelve evidente.
Tipos de subgrupos de SO(2):
Para cada subgrupo de SO(2) existe una clase incontable correspondiente de subgrupos de O(2) que son mutuamente isomórficos como grupo abstracto: cada uno de los subgrupos de una clase es generado por el subgrupo mencionado en primer lugar y una única reflexión en un recta que pasa por el origen. Estos son los grupos diédricos (generalizados) , incluidos los finitos D n ( n ≥ 1) del tipo de grupo abstracto Dih n . Para n = 1 la notación común es C s , de tipo de grupo abstracto Z 2 .
Como subgrupos topológicos de O(2), sólo los grupos de isometría finitos y SO(2) y O(2) están cerrados.
Estos grupos se dividen en dos familias distintas, según si consisten únicamente en rotaciones o incluyen reflexiones . Los grupos cíclicos , C n (tipo de grupo abstracto Z n ), constan de rotaciones de 360°/ n , y todos múltiplos enteros. Por ejemplo, un taburete de cuatro patas tiene un grupo de simetría C 4 , que consta de rotaciones de 0°, 90°, 180° y 270°. El grupo de simetría de un cuadrado pertenece a la familia de los grupos diédricos , Dn ( grupo abstracto tipo Dihn ) , incluyendo tantas reflexiones como rotaciones. La simetría rotacional infinita del círculo implica también simetría de reflexión, pero formalmente el grupo de círculos S 1 es distinto de Dih(S 1 ) porque este último incluye explícitamente las reflexiones.
Un grupo infinito no tiene por qué ser continuo; por ejemplo, tenemos un grupo de todos los múltiplos enteros de rotación de 360°/ √ 2 , que no incluye la rotación de 180°. Dependiendo de su aplicación, la homogeneidad hasta un nivel de detalle arbitrariamente fino en una dirección transversal puede considerarse equivalente a la homogeneidad total en esa dirección, en cuyo caso estos grupos de simetría pueden ignorarse.
C n y D n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría traslacional, a veces en más de una forma. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz .
Los grupos de simetría 2D corresponden a los grupos de isometría, excepto que la simetría según O(2) y SO(2) solo se puede distinguir en el concepto de simetría generalizada aplicable a campos vectoriales .
Además, dependiendo de la aplicación, la homogeneidad hasta un detalle arbitrariamente fino en la dirección transversal puede considerarse equivalente a la homogeneidad total en esa dirección. Esto simplifica enormemente la categorización: podemos restringirnos a los subgrupos topológicos cerrados de O(2): los finitos y O(2) ( simetría circular ), y para los campos vectoriales SO(2).
Estos grupos también corresponden a los grupos de simetría unidimensionales , cuando se envuelven en un círculo.
E (2) es un producto semidirecto de O (2) y el grupo de traducción T. En otras palabras, O (2) es un subgrupo de E (2) isomorfo al grupo cociente de E (2) por T :
Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" p : E (2) → E (2) / T , enviando cada elemento g de E (2) a la clase lateral de T a la que pertenece g , es decir: p ( g ) = gT , a veces llamada proyección canónica de E (2) sobre E (2) / T u O (2). Su núcleo es T.
Para cada subgrupo de E (2) podemos considerar su imagen en p : un grupo de puntos que consta de las clases laterales a las que pertenecen los elementos del subgrupo, en otras palabras, el grupo de puntos obtenido ignorando las partes traslacionales de las isometrías. Para cada subgrupo discreto de E (2), debido al teorema de restricción cristalográfica , este grupo de puntos es C n o de tipo D n para n = 1, 2, 3, 4 o 6.
C n y D n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría traslacional, a veces en más de una forma. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz , y los cuatro grupos con n = 1 y 2, dan lugar también a 7 grupos de frisos .
Para cada uno de los grupos de papel tapiz p1, p2, p3, p4, p6, la imagen debajo de p de todos los grupos de isometría (es decir, las "proyecciones" sobre E (2) / T u O (2)) son todas iguales a la C correspondiente. norte ; también dos grupos de frisos corresponden a C 1 y C 2 .
Cada uno de los grupos de isometría de p6m se asigna a uno de los grupos de puntos de tipo D6 . Para los otros 11 grupos de papel tapiz, cada grupo de isometría se asigna a uno de los grupos de puntos de los tipos D 1 , D 2 , D 3 o D 4 . También cinco grupos de frisos corresponden a D 1 y D 2 .
Para una red de traslación hexagonal dada existen dos grupos diferentes D 3 , dando lugar a P31m y p3m1. Para cada uno de los tipos D 1 , D 2 y D 4, la distinción entre los grupos de papel tapiz 3, 4 y 2, respectivamente, está determinada por el vector de traslación asociado con cada reflexión en el grupo: dado que las isometrías están en la misma clase lateral Independientemente de los componentes traslacionales, una reflexión y una reflexión de deslizamiento con el mismo espejo están en la misma clase lateral. Por tanto, los grupos de isometría de, por ejemplo , los tipos p4m y p4g se asignan a grupos de puntos de tipo D4 .
Para un grupo de isometría dado, los conjugados de una traslación en el grupo por los elementos del grupo generan un grupo de traducción (una red ), que es un subgrupo del grupo de isometría que solo depende de la traslación con la que comenzamos y del punto grupo asociado al grupo de isometría. Esto se debe a que el conjugado de la traslación por una reflexión de deslizamiento es el mismo que por la reflexión correspondiente: el vector de traslación se refleja.
Si el grupo de isometría contiene una rotación de n veces, entonces la red tiene simetría de n veces para n pares y 2 n veces para n impares . Si, en el caso de un grupo de isometría discreto que contiene una traslación, aplicamos esto para una traslación de longitud mínima, entonces, considerando la diferencia vectorial de traslaciones en dos direcciones adyacentes, se deduce que n ≤ 6, y para n impar que 2 n ≤ 6, por lo tanto n = 1, 2, 3, 4 o 6 (el teorema de restricción cristalográfica ).
