Grupo afín

Grupo de todas las transformaciones afines de un espacio afín

En matemáticas , el grupo afín o grupo afín general de cualquier espacio afín es el grupo de todas las transformaciones afines invertibles del espacio hacia sí mismo. En el caso de un espacio euclidiano (donde el cuerpo asociado de escalares son los números reales ), el grupo afín está formado por aquellas funciones del espacio hacia sí mismo tales que la imagen de cada recta es una recta.

En cualquier cuerpo, el grupo afín puede ser visto como un grupo matricial de manera natural. Si el cuerpo asociado de escalares es el cuerpo real o complejo, entonces el grupo afín es un grupo de Lie .

Relación con el grupo lineal general

Construcción a partir de un grupo lineal general

Concretamente, dado un espacio vectorial V , éste tiene un espacio afín subyacente A obtenido al "olvidar" el origen, con V actuando por traslaciones, y el grupo afín de A puede describirse concretamente como el producto semidirecto de V por GL( V ) , el grupo lineal general de V :

${\displaystyle \operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)}$

La acción de GL( V ) sobre V es la natural (las transformaciones lineales son automorfismos), por lo que esto define un producto semidirecto .

En términos de matrices, se escribe:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)}$

donde aquí la acción natural de GL( n , K ) sobre K ⁿ es la multiplicación matricial de un vector.

Estabilizador de un punto

Dado el grupo afín de un espacio afín A , el estabilizador de un punto p es isomorfo al grupo lineal general de la misma dimensión (por lo que el estabilizador de un punto en Aff(2, R ) es isomorfo a GL(2, R ) ); formalmente, es el grupo lineal general del espacio vectorial ( A , p ) : recordemos que si uno fija un punto, un espacio afín se convierte en un espacio vectorial.

Todos estos subgrupos son conjugados, donde la conjugación se da por la traducción de p a q (que está definida de forma única), sin embargo, ningún subgrupo en particular es una elección natural, ya que ningún punto es especial; esto corresponde a las múltiples opciones de subgrupo transversal o división de la secuencia exacta corta.

${\displaystyle 1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.}$

En el caso de que el grupo afín se haya construido a partir de un espacio vectorial, el subgrupo que estabiliza el origen (del espacio vectorial) es el GL( V ) original .

Representación matricial

Representando el grupo afín como un producto semidirecto de V por GL( V ) , entonces por construcción del producto semidirecto , los elementos son pares ( v , M ) , donde v es un vector en V y M es una transformada lineal en GL( V ) , y la multiplicación está dada por

${\displaystyle (v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.}$

Esto se puede representar como la matriz de bloques ( n + 1) × ( n + 1)

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}$

donde M es una matriz n × n sobre K , v un vector columna n × 1 , 0 es una fila de ceros 1 × n y 1 es la matriz de bloque identidad 1 × 1 .

Formalmente, Aff( V ) es naturalmente isomorfo a un subgrupo de GL( V ⊕ K ) , con V incorporado como el plano afín {( v , 1) | v ∈ V } , es decir, el estabilizador de este plano afín; la formulación matricial anterior es la (transposición de la) realización de esto, con los bloques n × n y 1 × 1 correspondientes a la descomposición de suma directa V ⊕ K .

Una representación similar es cualquier matriz ( n + 1) × ( n + 1) en la que las entradas en cada columna suman 1. ^[1] La similitud P para pasar del tipo anterior a este tipo es la matriz identidad ( n + 1) × ( n + 1) con la fila inferior reemplazada por una fila de todos unos.

Cada una de estas dos clases de matrices está cerrada bajo la multiplicación de matrices.

El paradigma más simple puede ser el caso n = 1 , es decir, las matrices triangulares superiores 2 × 2 que representan el grupo afín en una dimensión. Es un grupo de Lie no abeliano de dos parámetros , por lo que solo tiene dos generadores (elementos del álgebra de Lie), A y B , tales que [ A , B ] = B , donde

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,}$

de modo que

${\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}$

Tabla de caracteres deAfirmación( F p )

Aff( F _p ) tiene orden p ( p − 1) . Dado que

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

Sabemos que Aff( F _p ) tiene p clases de conjugación, a saber

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}$

Entonces sabemos que Aff( F _p ) tiene p representaciones irreducibles. Por el párrafo anterior (§ Representación matricial), existen p − 1 representaciones unidimensionales, determinadas por el homomorfismo

${\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}}$

para k = 1, 2,… p − 1 , donde

${\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)}$

y i ² = −1 , a = g ^j , g es un generador del grupo F^*
_pág.. Luego comparamos con el orden de F _p , tenemos

${\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,}$

Por lo tanto, χ _p = p − 1 es la dimensión de la última representación irreducible. Finalmente, utilizando la ortogonalidad de las representaciones irreducibles, podemos completar la tabla de caracteres de Aff( F _p ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}$

Grupo afín planar sobre los reales

Los elementos de pueden adoptar una forma simple en un sistema de coordenadas afín bien elegido . Más precisamente, dada una transformación afín de un plano afín sobre los números reales , existe un sistema de coordenadas afín en el que tiene una de las siguientes formas, donde a , b y t son números reales (las condiciones dadas aseguran que las transformaciones sean invertibles, pero no para hacer que las clases sean distintas; por ejemplo, la identidad pertenece a todas las clases). ${\displaystyle \operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}}$

El caso 1 corresponde a traducciones .

El caso 2 corresponde a escalas que pueden diferir en dos direcciones distintas. Al trabajar con un plano euclidiano estas direcciones no necesitan ser perpendiculares , ya que los ejes de coordenadas no necesitan ser perpendiculares.

El caso 3 corresponde a un escalamiento en una dirección y una traslación en otra.

El caso 4 corresponde a un mapeo de cizallamiento combinado con una dilatación.

El caso 5 corresponde a un mapeo de cizallamiento combinado con una dilatación.

El caso 6 corresponde a semejanzas cuando los ejes de coordenadas son perpendiculares.

Las transformaciones afines sin ningún punto fijo pertenecen a los casos 1, 3 y 5. Las transformaciones que no conservan la orientación del plano pertenecen a los casos 2 (con ab < 0 ) o 3 (con a < 0 ).

La prueba puede realizarse observando primero que si una transformación afín no tiene un punto fijo, entonces la matriz de la función lineal asociada tiene un valor propio igual a uno, y luego utilizando el teorema de la forma normal de Jordan para matrices reales .

Otros grupos y subgrupos afines

Caso general

Dado cualquier subgrupo G < GL( V ) del grupo lineal general , se puede producir un grupo afín, a veces denotado Aff( G ) , análogamente como Aff( G ) := V ⋊ G .

De manera más general y abstracta, dado cualquier grupo G y una representación de G en un espacio vectorial V , se obtiene ^{[nota 1]} un grupo afín asociado V ⋊ _ρ G : se puede decir que el grupo afín obtenido es "una extensión del grupo por una representación vectorial", y, como antes, se tiene la secuencia exacta corta ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V)}$ $${\displaystyle 1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1.}$$

Grupo afín especial

El subconjunto de todas las transformaciones afines invertibles que conservan una forma de volumen fija hasta el signo se denomina grupo afín especial . (Las transformaciones en sí mismas a veces se denominan equiafinidades ). Este grupo es el análogo afín del grupo lineal especial . En términos del producto semidirecto, el grupo afín especial consta de todos los pares ( M , v ) con , es decir, las transformaciones afines donde M es una transformación lineal de cuyo determinante tiene valor absoluto 1 y v es cualquier vector de traslación fijo. ^{[2] [3]} ${\displaystyle |\det(M)|=1}$ $${\displaystyle x\mapsto Mx+v}$$

El subgrupo del grupo afín especial que consiste en aquellas transformaciones cuya parte lineal tiene determinante 1 es el grupo de las aplicaciones que preservan la orientación y el volumen. Algebraicamente, este grupo es un producto semidirecto del grupo lineal especial de con las traslaciones. Se genera por las aplicaciones de corte . ${\displaystyle SL(V)\ltimes V}$ ${\displaystyle V}$

Subgrupo proyectivo

Suponiendo que se conozca la proyectividad y el grupo proyectivo de la geometría proyectiva , el grupo afín se puede especificar fácilmente. Por ejemplo, Günter Ewald escribió: ^[4]

El conjunto de todas las colineaciones proyectivas de P ⁿ es un grupo que podemos llamar el grupo proyectivo de P ⁿ . Si procedemos desde P ⁿ al espacio afín A ⁿ declarando que un hiperplano ω es un hiperplano en el infinito , obtenemos el grupo afín de A ⁿ como el subgrupo de que consiste en todos los elementos de que dejan ω fijo. ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}}$

Isometrías del espacio euclidiano

Cuando el espacio afín A es un espacio euclidiano (sobre el cuerpo de los números reales), el grupo de funciones que preservan la distancia ( isometrías ) de A es un subgrupo del grupo afín. Algebraicamente, este grupo es un producto semidirecto del grupo ortogonal de con las traslaciones. Geométricamente, es el subgrupo del grupo afín generado por las reflexiones ortogonales. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle O(V)\ltimes V}$ ${\displaystyle V}$

Grupo de Poincaré

El grupo de Poincaré es el grupo afín del grupo de Lorentz O(1,3) :

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)}$

Este ejemplo es muy importante en relatividad .

Véase también

• Grupo de Coxeter afín : ciertos subgrupos discretos del grupo afín en un espacio euclidiano que preservan una red
• Holomorfo

Notas

1. Puesto que GL( V ) < Aut( V ) . Nótese que esta contención es en general propia, puesto que por "automorfismos" se entiende automorfismos de grupo , es decir, conservan la estructura de grupo en V (la adición y el origen), pero no necesariamente la multiplicación escalar, y estos grupos difieren si se trabaja sobre R .

Referencias

1. Poole, David G. (noviembre de 1995). "El grupo estocástico". American Mathematical Monthly . 102 (9): 798–801. doi :10.1080/00029890.1995.12004664.
2. Berger, M. (1987). Geometría . Vol. 1. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. Sección 2.7.6. ISBN. 9780534000349.
3. Ewald, Günter (1971). Geometría: una introducción . Belmont: Wadsworth. Sección 4.12. ISBN 9780534000349.
4. Ewald, Günter (1971). Geometría: una introducción . Belmont: Wadsworth. pág. 241. ISBN 9780534000349.

• Lyndon, Roger (1985). "Sección VI.1". Grupos y geometría . Cambridge University Press . ISBN 0-521-31694-4.