Transformación de Moebius

Función racional de la forma (az + b)/(cz + d)

En geometría y análisis complejo , una transformación de Möbius del plano complejo es una función racional de la forma

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

compleja zabcdad − bc ≠ 0

Geométricamente, se puede obtener una transformación de Möbius aplicando primero la proyección estereográfica inversa desde el plano a la esfera unitaria , moviendo y rotando la esfera a una nueva ubicación y orientación en el espacio, y luego aplicando una proyección estereográfica para mapear desde la esfera de regreso a el avión. ^[1] Estas transformaciones preservan los ángulos, asignan cada línea recta a una línea o círculo y asignan cada círculo a una línea o círculo.

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones proyectivas de la recta proyectiva compleja . Forman un grupo llamado grupo de Möbius , que es el grupo lineal proyectivo PGL(2, C ) . Junto con sus subgrupos , tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física.

Las geometrías de Möbius y sus transformaciones generalizan este caso a cualquier número de dimensiones sobre otros campos.

Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius ; son un ejemplo de homografías , transformaciones fraccionarias lineales , transformaciones bilineales y transformaciones de espín (en la teoría de la relatividad). ^[2]

Descripción general

Las transformaciones de Möbius se definen en el plano complejo extendido (es decir, el plano complejo aumentado por el punto en el infinito ). ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

La proyección estereográfica se identifica con una esfera, que entonces se denomina esfera de Riemann ; alternativamente, puede considerarse como la línea proyectiva compleja . Las transformaciones de Möbius son exactamente los mapas conformes biyectivos de la esfera de Riemann a sí misma, es decir, los automorfismos de la esfera de Riemann como una variedad compleja ; alternativamente, son los automorfismos de una variedad algebraica. Por tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . Este grupo se llama grupo de Möbius y, a veces, se denomina . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

El grupo de Möbius es isomorfo al grupo de isometrías que preservan la orientación del 3-espacio hiperbólico y, por lo tanto, juega un papel importante en el estudio de las 3-variedades hiperbólicas .

En física , el componente de identidad del grupo de Lorentz actúa sobre la esfera celeste de la misma manera que el grupo de Möbius actúa sobre la esfera de Riemann. De hecho, estos dos grupos son isomorfos. Un observador que acelere a velocidades relativistas verá el patrón de las constelaciones vistas cerca de la Tierra transformarse continuamente según transformaciones infinitesimales de Möbius. Esta observación se toma a menudo como punto de partida de la teoría de los twistores .

Ciertos subgrupos del grupo de Möbius forman los grupos de automorfismos de otras superficies de Riemann simplemente conectadas (el plano complejo y el plano hiperbólico ). Como tal, las transformaciones de Möbius juegan un papel importante en la teoría de las superficies de Riemann . El grupo fundamental de cada superficie de Riemann es un subgrupo discreto del grupo de Möbius (ver grupo fucsiano y grupo kleiniano ). Un subgrupo discreto particularmente importante del grupo de Möbius es el grupo modular ; es fundamental para la teoría de muchos fractales , formas modulares , curvas elípticas y ecuaciones pelianas .

Las transformaciones de Möbius se pueden definir de manera más general en espacios de dimensión n > 2 como los mapas biyectivos conformes que preservan la orientación desde la n -esfera a la n -esfera. Esta transformación es la forma más general de mapeo conforme de un dominio. Según el teorema de Liouville, una transformación de Möbius se puede expresar como una composición de traslaciones, similitudes , transformaciones ortogonales e inversiones.

Definición

La forma general de una transformación de Möbius viene dada por

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

abcdnúmeros complejosad − bc ≠ 0

En el caso c ≠ 0 , esta definición se extiende a toda la esfera de Riemann definiendo

$${\displaystyle f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ and }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.}$$

Si c = 0 , definimos

$${\displaystyle f(\infty )=\infty .}$$

Por tanto, una transformación de Möbius es siempre una función holomorfa biyectiva de la esfera de Riemann a la esfera de Riemann.

El conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . A este grupo se le puede dar la estructura de una variedad compleja de tal manera que la composición y la inversión sean mapas holomorfos . El grupo de Möbius es entonces un grupo de Lie complejo . El grupo de Möbius suele denotarse porque es el grupo de automorfismos de la esfera de Riemann. ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

Si ad = bc , la función racional definida anteriormente es una constante (a menos que c = d = 0 , cuando no está definida):

$${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}},}$$

Puntos fijos

Cada transformación de Möbius sin identidad tiene dos puntos fijos en la esfera de Riemann. Los puntos fijos se cuentan aquí con multiplicidad ; las transformaciones parabólicas son aquellas en las que coinciden los puntos fijos. Cualquiera de estos puntos fijos o ambos pueden ser el punto en el infinito. ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

Determinando los puntos fijos

Los puntos fijos de la transformación.

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

f ( γ ) = γc ≠ 0

$${\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,}$$

fórmula cuadrática

$${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$

$${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc).}$$

c

Cuando c = 0 , la ecuación cuadrática degenera en una ecuación lineal y la transformada es lineal. Esto corresponde a la situación en la que uno de los puntos fijos es el punto del infinito. Cuando a ≠ d el segundo punto fijo es finito y viene dado por

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

En este caso la transformación será una transformación simple compuesta de traslaciones , rotaciones y dilataciones :

$${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

Si c = 0 y a = d , entonces ambos puntos fijos están en el infinito y la transformación de Möbius corresponde a una traslación pura:

$${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

Prueba topológica

Topológicamente, el hecho de que las transformaciones de Möbius (sin identidad) fijen 2 puntos (con multiplicidad) corresponde a la característica de Euler de que la esfera sea 2:

$${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

En primer lugar, el grupo lineal proyectivo PGL(2, K ) es netamente 3-transitivo  : para dos ternas ordenadas cualesquiera de puntos distintos, existe una aplicación única que lleva una terna a la otra, al igual que para las transformadas de Möbius, y de la misma manera prueba algebraica (esencialmente recuento de dimensiones , ya que el grupo es tridimensional). Así, cualquier mapa que fije al menos 3 puntos es la identidad.

A continuación, se puede ver identificando el grupo de Möbius con el que cualquier función de Möbius es homotópica a la identidad. De hecho, cualquier miembro del grupo lineal general puede reducirse al mapa de identidad mediante la eliminación de Gauss-Jordan, lo que muestra que el grupo lineal proyectivo también está conectado por caminos, proporcionando una homotopía al mapa de identidad. El teorema de Lefschetz-Hopf establece que la suma de los índices (en este contexto, multiplicidad) de los puntos fijos de un mapa con un número finito de puntos fijos es igual al número de Lefschetz del mapa, que en este caso es la traza del mapa de identidad. sobre grupos de homología, que es simplemente la característica de Euler. ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$

Por el contrario, el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva real, PGL(2, R ) no necesita fijar ningún punto – por ejemplo no tiene puntos fijos (reales): como una transformación compleja fija ± i ^{[nota 1]}  – mientras que el El mapa 2 x fija los dos puntos de 0 y ∞. Esto corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo (línea proyectiva real) es 0 y, por tanto, el teorema del punto fijo de Lefschetz sólo dice que debe fijar al menos 0 puntos, pero posiblemente más. ${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$

forma normal

Las transformaciones de Möbius a veces también se escriben en términos de sus puntos fijos en la llamada forma normal . Primero tratamos el caso no parabólico, para el cual existen dos puntos fijos distintos.

Caso no parabólico :

Cada transformación no parabólica está conjugada con una dilatación/rotación, es decir, una transformación de la forma

$${\displaystyle z\mapsto kz}$$

( k ∈ C )

$${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$

γ ₁γ ₂γ ₁γ ₂g

Si f tiene puntos fijos distintos ( γ ₁ , γ ₂ ) entonces la transformación tiene puntos fijos en 0 y ∞ y por lo tanto es una dilatación: . La ecuación de punto fijo para la transformación f puede entonces escribirse ${\displaystyle gfg^{-1}}$ ${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$

$${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

Resolviendo para f se obtiene (en forma matricial):

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

A partir de las expresiones anteriores se pueden calcular las derivadas de f en los puntos fijos:

$${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$

$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

Observe que, dado un ordenamiento de los puntos fijos, podemos distinguir uno de los multiplicadores ( k ) de f como la constante característica de f . Invertir el orden de los puntos fijos equivale a tomar el multiplicador inverso para la constante característica:

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

Para transformaciones loxodrómicas, siempre que | k | > 1 , se dice que γ ₁ es el punto fijo repulsivo y γ ₂ es el punto fijo atractivo . Para | k | < 1 , los roles se invierten.

Caso parabólico :

En el caso parabólico sólo hay un punto fijo γ . La transformación que envía ese punto a ∞ es

$${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$

γ ${\displaystyle gfg^{-1}}$

$${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

Aquí, β se llama longitud de traducción . La fórmula de punto fijo para una transformación parabólica es entonces

$${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

Resolviendo para f (en forma matricial) se obtiene

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}$

Si γ = ∞ :

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}$$

Tenga en cuenta que β no es la constante característica de f , que siempre es 1 para una transformación parabólica. A partir de las expresiones anteriores se puede calcular:

$${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

Polos de la transformación

El punto se llama polo de ; es ese punto el que se transforma en el punto en el infinito debajo . ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

El polo inverso es aquel punto en el que se transforma el punto del infinito. El punto medio entre los dos polos es siempre el mismo que el punto medio entre los dos puntos fijos: ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$

$${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.}$$

Estos cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo que a veces se denomina paralelogramo característico de la transformación.

Se puede especificar una transformada con dos puntos fijos γ ₁ , γ ₂ y el polo . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{\infty }}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.}$$

Esto nos permite derivar una fórmula para la conversión entre k y dado : ${\displaystyle z_{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

$${\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}}$$

$${\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}},}$$

$${\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.}$$

La última expresión coincide con una de las relaciones de valores propios (mutuamente recíprocas) de la matriz. ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

polinomio característico

$${\displaystyle \det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)}$$

$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.}$$

Transformaciones y composición simples de Möbius.

Una transformación de Möbius se puede componer como una secuencia de transformaciones simples.

Las siguientes transformaciones simples también son transformaciones de Möbius:

• ${\displaystyle f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)}$es una traducción .
• ${\displaystyle f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)}$es una combinación de una homotecia y una rotación . Si entonces es una rotación, si entonces es una homotecia. ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)}$( inversión y reflexión con respecto al eje real)

Composición de transformaciones simples.

Si , sea: ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$( traducción por d / c )
• ${\displaystyle f_{2}(z)=1/z\quad }$( inversión y reflexión con respecto al eje real)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$( homotetia y rotación )
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(traducción por a / c )

Entonces estas funciones se pueden componer , mostrando que, si

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

$${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$

$${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$

$${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

Esta descomposición hace obvias muchas propiedades de la transformación de Möbius.

Propiedades elementales

Una transformación de Möbius equivale a una secuencia de transformaciones más simples. La composición hace evidentes muchas propiedades de la transformación de Möbius.

Fórmula para la transformación inversa.

La existencia de la transformación inversa de Möbius y su fórmula explícita se derivan fácilmente de la composición de las funciones inversas de las transformaciones más simples. Es decir, defina las funciones g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ de manera que cada g _i sea la inversa de f _i . Entonces la composición

$${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$

Preservación de ángulos y círculos generalizados.

De esta descomposición, vemos que las transformaciones de Möbius trasladan todas las propiedades no triviales de la inversión de círculo . Por ejemplo, la preservación de los ángulos se reduce a demostrar que la inversión del círculo preserva los ángulos, ya que los otros tipos de transformaciones son dilataciones e isometrías (traslación, reflexión, rotación), que trivialmente preservan los ángulos.

Además, las transformaciones de Möbius asignan círculos generalizados a círculos generalizados ya que la inversión del círculo tiene esta propiedad. Un círculo generalizado es un círculo o una línea, considerándose esta última como un círculo que pasa por el punto del infinito. Tenga en cuenta que una transformación de Möbius no necesariamente asigna círculos a círculos y líneas a líneas: puede mezclar los dos. Incluso si asigna un círculo a otro círculo, no necesariamente asigna el centro del primer círculo al centro del segundo círculo.

Preservación de proporciones cruzadas

Las razones cruzadas son invariantes bajo las transformaciones de Möbius. Es decir, si una transformación de Möbius asigna cuatro puntos distintos a cuatro puntos distintos respectivamente, entonces ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

Si uno de los puntos es el punto del infinito, entonces la relación cruzada debe definirse tomando el límite apropiado; por ejemplo, la relación cruzada de es ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$

$${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

La razón cruzada de cuatro puntos diferentes es real si y sólo si hay una línea o un círculo que pasa por ellos. Ésta es otra forma de demostrar que las transformaciones de Möbius preservan círculos generalizados.

Conjugación

Dos puntos z ₁ y z ₂ son conjugados con respecto a un círculo generalizado C , si, dado un círculo generalizado D que pasa por z ₁ y z ₂ y corta a C en dos puntos a y b , ( z ₁ , z ₂ ; a , b ) están en relación cruzada armónica (es decir, su relación cruzada es −1). Esta propiedad no depende de la elección del círculo D. A veces también se hace referencia a esta propiedad como simétrica con respecto a una línea o un círculo. ^{[3] [4]}

Dos puntos z , z ^∗ son conjugados respecto de una recta, si son simétricos respecto de la recta. Dos puntos son conjugados respecto de un círculo si se intercambian por inversión respecto de este círculo.

El punto z ^∗ es conjugado con z cuando L es la recta determinada por el vector basado en e ^iθ , en el punto z ₀ . Esto se puede dar explícitamente como

$${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

El punto z ^∗ es conjugado con z cuando C es el círculo de radio r , centrado en z ₀ . Esto se puede dar explícitamente como

$${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

Dado que las transformaciones de Möbius preservan círculos generalizados y razones cruzadas, también preservan la conjugación.

Representaciones matriciales proyectivas

Isomorfismo entre el grupo de Möbius y PGL(2, C)

La acción natural de PGL(2, C ) sobre la línea proyectiva compleja CP ¹ es exactamente la acción natural del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann.

Correspondencia entre la línea proyectiva compleja y la esfera de Riemann

Aquí, la línea proyectiva CP ¹ y la esfera de Riemann se identifican de la siguiente manera:

$${\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.}$$

Aquí [ z ₁ : z ₂ ] son ​​coordenadas homogéneas en CP ¹ ; el punto [1:0] corresponde al punto ∞ de la esfera de Riemann. Al utilizar coordenadas homogéneas, se pueden simplificar muchos cálculos que involucran transformaciones de Möbius, ya que no se requieren distinciones de casos relacionados con ∞ .

Acción de PGL(2, C) sobre la línea proyectiva compleja

Cada matriz compleja invertible de 2 × 2

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.}$$

El resultado es por tanto

$${\displaystyle w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]}$$

El cual, utilizando la identificación anterior, corresponde al siguiente punto de la esfera de Riemann:

$${\displaystyle w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.}$$

Equivalencia con una transformación de Möbius en la esfera de Riemann

Dado que la matriz anterior es invertible si y sólo si su determinante ad − bc no es cero, esto induce una identificación de la acción del grupo de transformaciones de Möbius con la acción de PGL(2, C ) sobre la recta proyectiva compleja. En esta identificación, la matriz anterior corresponde a la transformación de Möbius ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Esta identificación es un isomorfismo de grupo , ya que la multiplicación de por un escalar distinto de cero no cambia el elemento de PGL(2, C ) y, como esta multiplicación consiste en multiplicar todas las entradas de la matriz por esto, no cambia la transformación de Möbius correspondiente. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

Otros grupos

Para cualquier campo K , se puede identificar de manera similar el grupo PGL(2, K ) de los automorfismos lineales proyectivos con el grupo de transformaciones lineales fraccionarias. Esto se usa ampliamente; por ejemplo en el estudio de homografías de la línea real y sus aplicaciones en óptica .

Si se divide por una raíz cuadrada de su determinante, se obtiene una matriz de determinante uno. Esto induce un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo lineal especial SL(2, C ) a PGL(2, C ) , con su núcleo. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \pm I}$

Esto permite demostrar que el grupo de Möbius es un grupo de Lie complejo tridimensional (o un grupo de Lie real bidimensional), que es semisimple y no compacto , y que SL(2, C ) es una doble cubierta de PSL( 2, C ) . Dado que SL(2, C ) es simplemente conexo , es la cobertura universal del grupo de Möbius, y el grupo fundamental del grupo de Möbius es  Z ₂ .

Especificando una transformación por tres puntos

Dado un conjunto de tres puntos distintos en la esfera de Riemann y un segundo conjunto de puntos distintos , existe precisamente una transformación de Möbius con para . (En otras palabras: la acción del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann es marcadamente 3-transitiva .) Hay varias formas de determinarlo a partir de los conjuntos de puntos dados. ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$ ${\displaystyle j=1,2,3}$ ${\displaystyle f(z)}$

Mapeando primero a 0, 1, ∞

Es fácil comprobar que la transformación de Möbius

$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty }$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}\to \infty }$

Si se define de manera similar para asignar , entonces la matriz que se asigna se convierte en ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{1,2,3}}$ ${\displaystyle w_{1,2,3}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.}$$

El estabilizador de (como conjunto desordenado) es un subgrupo conocido como grupo anarmónico . ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$

Fórmula determinante explícita

La ecuacion

$${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

hipérbola estándar

$${\displaystyle cwz-az+dw-b=0}$$

determinante ${\displaystyle (z,w)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)}$ ${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})}$ ${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle (z_{i},w_{i})}$

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,}$$

expansión de Laplace

$${\displaystyle a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Subgrupos del grupo de Möbius

Si requerimos que los coeficientes de una transformación de Möbius sean números reales con , obtenemos un subgrupo del grupo de Möbius denotado como PSL(2, R ) . Este es el grupo de aquellas transformaciones de Möbius que mapean el semiplano superior H = { x + i y  : y > 0} a sí mismo, y es igual al grupo de todas las transformaciones biholomórficas (o equivalentemente: biyectivas , conformes y que conservan la orientación). ) mapea H → H . Si se introduce una métrica adecuada , el semiplano superior se convierte en un modelo del plano hiperbólico H2 , el modelo de semiplano de Poincaré , y PSL(2, R ) es el grupo de todas ^las isometrías de H2 que preservan ^la orientación en este modelo. ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$

El subgrupo de todas las transformaciones de Möbius que mapean el disco abierto D = { z  : | z | < 1} a sí mismo consta de todas las transformaciones de la forma

$${\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}$$

∈ R , b ∈ C| segundo | < 1D → Dmodelo de disco de Poincaré , y este grupo es el grupo de todas las isometrías de H ² ${\displaystyle \phi }$

Dado que los dos subgrupos anteriores sirven como grupos isométricos de H2 ^, son isomorfos. Un isomorfismo concreto viene dado por la conjugación con la transformación

$${\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}$$

Alternativamente, considere un disco abierto con radio r , centrado en r  i . El modelo de disco de Poincaré en este disco se vuelve idéntico al modelo del semiplano superior cuando r se acerca a ∞.

Un subgrupo compacto máximo del grupo de Möbius viene dado por (Tóth 2002) ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},}$$

grupo unitario especial proyectivo PSU(2, C )grupo ortogonal especialgrupos de puntos en tres dimensiones ${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$

Felix Klein utilizó grupos icosaédricos de transformaciones de Möbius para dar una solución analítica a la ecuación quíntica en (Klein 1913); se ofrece una exposición moderna en (Tóth 2002). ^[6]

Si requerimos que los coeficientes a , b , c , d de una transformación de Möbius sean números enteros con ad − bc = 1 , obtenemos el grupo modular PSL(2, Z ) , un subgrupo discreto de PSL(2, R ) importante en el estudio de redes en el plano complejo, funciones elípticas y curvas elípticas . Los subgrupos discretos de PSL(2, R ) se conocen como grupos fucsianos ; son importantes en el estudio de las superficies de Riemann .

Clasificación

Se muestra una transformación hiperbólica. Las preimágenes del círculo unitario son círculos de Apolonio con relación de distancias c / a y focos en − b / a y − d / c .

Para los mismos focos − b / a y − d / c, los círculos rojos se corresponden con rayos que pasan por el origen.

En la siguiente discusión siempre asumiremos que la matriz representativa está normalizada de manera que . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1}$

Las transformaciones de Möbius sin identidad se clasifican comúnmente en cuatro tipos, parabólicas , elípticas , hiperbólicas y loxodrómicas , siendo las hiperbólicas una subclase de las loxodrómicas. La clasificación tiene significado tanto algebraico como geométrico. Geométricamente, los diferentes tipos dan como resultado diferentes transformaciones del plano complejo, como lo ilustran las figuras siguientes.

Los cuatro tipos se pueden distinguir observando el rastro . La traza es invariante bajo conjugación , es decir, ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}},}$$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.}$

Transformadas parabólicas

Una transformación de Möbius sin identidad definida por una matriz de determinante uno se dice parabólica si ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$

polinomio característico X ² − 2 X + 1unipotenteplano complejo extendidoconjugada con ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

El conjunto de todas las transformaciones parabólicas de Möbius con un punto fijo dado en , junto con la identidad, forma un subgrupo isomorfo al grupo de matrices. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$

radical unipotentesubgrupo de BorelSL(2, C )grupo de Lie reductivo

Constante característica

Todas las transformaciones no parabólicas tienen dos puntos fijos y están definidas por una matriz conjugada a

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$

λk = λ ²constante característicamultiplicador

Transformaciones elípticas

El diagrama de Smith , utilizado por los ingenieros eléctricos para analizar líneas de transmisión , es una representación visual de la transformación elíptica de Möbius Γ = ( z − 1)/( z + 1) . Cada punto del gráfico de Smith representa simultáneamente un valor de z (abajo a la izquierda) y el valor correspondiente de Γ (abajo a la derecha), para |Γ |<1.

Se dice que la transformación es elíptica si puede representarse mediante una matriz cuya traza es real con ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

Una transformación es elíptica si y sólo si | λ | = 1 y λ ≠ ±1 . Escribiendo , una transformada elíptica se conjuga con ${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$

α

Para cualquiera con constante característica k , la constante característica de es k ⁿ . Por lo tanto, todas las transformaciones de Möbius de orden finito son transformaciones elípticas, es decir, exactamente aquellas donde λ es una raíz de la unidad o, de manera equivalente, donde α es un múltiplo racional de π . La posibilidad más simple de un múltiplo fraccionario significa α = π /2 , que también es el caso único de , también se denota como ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$transformación circular ; esto corresponde geométricamente a una rotación de 180° alrededor de dos puntos fijos. Esta clase se representa en forma matricial como:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

∞∞∞∞ ${\displaystyle 1/z,}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z/(z-1)}$

Transformaciones hiperbólicas

Se dice que la transformada es hiperbólica si puede representarse mediante una matriz cuya traza es real con ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

Una transformada es hiperbólica si y sólo si λ es real y λ ≠ ±1 .

Transformadas loxodrómicas

Se dice que la transformada es loxodrómica si no está en [0, 4] . Una transformación es loxodrómica si y sólo si . ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$

Históricamente, la navegación por loxódromo o línea loxodrómica se refiere a un trayecto de rumbo constante ; el camino resultante es una espiral logarítmica , de forma similar a las transformaciones del plano complejo que realiza una transformación loxodrómica de Möbius. Vea las figuras geométricas a continuación.

Clasificación general

El caso real y una nota sobre terminología

Sobre los números reales (si los coeficientes deben ser reales), no existen transformaciones loxodrómicas no hiperbólicas, y la clasificación es en elíptica, parabólica e hiperbólica, como para las cónicas reales . La terminología se debe a considerar la mitad del valor absoluto de la traza, |tr|/2, como la excentricidad de la transformación – la división por 2 corrige la dimensión, por lo que la identidad tiene excentricidad 1 (tr/ n a veces se usa como alternativa para la traza por este motivo), y el valor absoluto corrige que la traza solo se defina hasta un factor de ±1 debido a que funciona en PSL. Alternativamente, se puede utilizar la mitad de la traza al cuadrado como indicador de la excentricidad al cuadrado, como se hizo anteriormente; estas clasificaciones (pero no los valores exactos de excentricidad, ya que los valores elevados al cuadrado y absolutos son diferentes) concuerdan para trazas reales pero no para trazas complejas. La misma terminología se utiliza para la clasificación de elementos de SL(2, R ) (la cubierta doble), y se utilizan clasificaciones análogas en otros lugares. Las transformaciones loxodrómicas son un fenómeno esencialmente complejo y corresponden a excentricidades complejas.

Interpretación geométrica de la constante característica.

La siguiente imagen muestra (después de una transformación estereográfica de la esfera al plano) los dos puntos fijos de una transformación de Möbius en el caso no parabólico:

La constante característica se puede expresar en términos de su logaritmo :

$${\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k.}$$

ργ ₁γ ₂αγ ₁γ ₂

Transformaciones elípticas

Si ρ = ​​0 , entonces los puntos fijos no son atractivos ni repulsivos sino indiferentes, y se dice que la transformación es elíptica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en círculos alrededor de los dos puntos fijos. Si uno de los puntos fijos está en el infinito, esto equivale a realizar una rotación afín alrededor de un punto.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación elíptica de Möbius, obtenemos una transformación continua, tal que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una familia de círculos anidados entre los dos puntos fijos de la esfera de Riemann. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos.

Esto tiene una interpretación física importante. Imagine que un observador gira con velocidad angular constante alrededor de algún eje. Entonces podemos tomar los dos puntos fijos como los polos norte y sur de la esfera celeste. La apariencia del cielo nocturno ahora se transforma continuamente exactamente de la manera descrita por el subgrupo de transformaciones elípticas de un parámetro que comparten los puntos fijos 0, ∞, y con el número α correspondiente a la velocidad angular constante de nuestro observador.

Aquí hay algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación elíptica de Möbius en la esfera de Riemann (después de una proyección estereográfica al plano):

Estas imágenes ilustran el efecto de una sola transformación de Möbius. El subgrupo de un parámetro que genera mueve continuamente puntos a lo largo de la familia de arcos circulares sugeridos por las imágenes.

Transformaciones hiperbólicas

Si α es cero (o múltiplo de 2 π ), entonces se dice que la transformación es hiperbólica . Estas transformaciones tienden a mover puntos a lo largo de trayectorias circulares desde un punto fijo hacia el otro.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación hiperbólica de Möbius, obtenemos una transformación continua, tal que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una determinada familia de arcos circulares desde el primer punto fijo y hacia el segundo punto fijo. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos cualesquiera de la esfera de Riemann.

Esto también tiene una interpretación física importante. Imagine que un observador acelera (con magnitud de aceleración constante) en dirección al polo norte en su esfera celeste. Luego, la apariencia del cielo nocturno se transforma exactamente de la manera descrita por el subgrupo de transformaciones hiperbólicas de un parámetro que comparten los puntos fijos 0, ∞, con el número real ρ correspondiente a la magnitud de su vector de aceleración. Las estrellas parecen moverse a lo largo de longitudes, alejándose del polo Sur hacia el polo Norte. (Las longitudes aparecen como arcos circulares bajo proyección estereográfica desde la esfera al plano).

Aquí hay algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación hiperbólica de Möbius en la esfera de Riemann (después de una proyección estereográfica al plano):

Estas imágenes se parecen a las líneas de campo de una carga eléctrica positiva y negativa ubicadas en los puntos fijos, porque las líneas de flujo circular subtienden un ángulo constante entre los dos puntos fijos.

Transformaciones loxodrómicas

Si tanto ρ como α son distintos de cero, entonces se dice que la transformación es loxodrómica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en trayectorias en forma de S de un punto fijo a otro.

La palabra " loxodromo " proviene del griego: "λοξος (loxos), inclinado + δρόμος (dromos), rumbo ". Cuando navega con un rumbo constante , si mantiene un rumbo de (digamos) noreste, eventualmente terminará navegando alrededor del polo norte en una espiral logarítmica . En la proyección de Mercator, tal curso es una línea recta, ya que los polos norte y sur se proyectan hacia el infinito. El ángulo que subtiende el loxódromo con respecto a las líneas de longitud (es decir, su pendiente, la "estrechez" de la espiral) es el argumento de k . Por supuesto, las transformaciones de Möbius pueden tener sus dos puntos fijos en cualquier lugar, no sólo en los polos norte y sur. Pero cualquier transformación loxodrómica se conjugará con una transformación que mueva todos los puntos a lo largo de dichos loxódromos.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación loxodrómica de Möbius, obtenemos una transformación continua, tal que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una determinada familia de curvas, alejándose del primer punto fijo y hacia el segundo punto fijo. A diferencia del caso hiperbólico, estas curvas no son arcos circulares, sino ciertas curvas que bajo proyección estereográfica de la esfera al plano aparecen como curvas espirales que giran en sentido antihorario infinitamente a menudo alrededor de un punto fijo y giran en el sentido de las agujas del reloj infinitamente a menudo alrededor del otro punto fijo. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos cualesquiera de la esfera de Riemann.

Probablemente puedas adivinar la interpretación física en el caso en que los dos puntos fijos sean 0, ∞: un observador que gira (con velocidad angular constante) alrededor de algún eje y se mueve a lo largo del mismo eje, verá la apariencia del cielo nocturno. transforme de acuerdo con el subgrupo de transformaciones loxodrómicas de un parámetro con puntos fijos 0, ∞ y con ρ , α determinados respectivamente por la magnitud de las velocidades lineales y angulares reales.

Proyección estereográfica

Estas imágenes muestran transformaciones de Möbius proyectadas estereográficamente sobre la esfera de Riemann . Tenga en cuenta en particular que cuando se proyecta sobre una esfera, el caso especial de un punto fijo en el infinito no parece diferente de tener los puntos fijos en una ubicación arbitraria.

Iterando una transformación

Si una transformación tiene puntos fijos γ ₁ , γ ₂ y una constante característica k , entonces tendrá . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}'=\gamma _{1},\gamma _{2}'=\gamma _{2},k'=k^{n}}$

Esto se puede utilizar para iterar una transformación o para animar una dividiéndola en pasos.

Estas imágenes muestran tres puntos (rojo, azul y negro) que se repiten continuamente bajo transformaciones con varias constantes características.

Y estas imágenes demuestran lo que sucede cuando transformas un círculo mediante transformaciones hiperbólicas, elípticas y loxodrómicas. En las imágenes elípticas y loxodrómicas, el valor de α es 1/10.

Dimensiones superiores

En dimensiones superiores, una transformación de Möbius es un homeomorfismo de , la compactación de un punto de , que es una composición finita de inversiones en esferas y reflexiones en hiperplanos . ^[7] El teorema de Liouville en geometría conforme establece que en dimensión al menos tres, todas las transformaciones conformes son transformaciones de Möbius. Cada transformación de Möbius se puede poner en la forma ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(x-a)}{|x-a|^{\varepsilon }}},}$$

matriz ortogonalgrupo de Möbius^[8] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Las transformaciones de Möbius que preservan la orientación forman el componente conectado de la identidad en el grupo de Möbius. En dimensión n = 2 , las transformaciones de Möbius que preservan la orientación son exactamente los mapas de la esfera de Riemann cubiertos aquí. Los que invierten la orientación se obtienen a partir de estos mediante conjugación compleja. ^[9]

El dominio de las transformaciones de Möbius, es decir , es homeomorfo a la esfera n -dimensional . El isomorfismo canónico entre estos dos espacios es la transformada de Cayley , que es en sí misma una transformación de Möbius . Esta identificación significa que las transformaciones de Möbius también pueden considerarse isomorfismos conformes de . La n -esfera, junto con la acción del grupo de Möbius, es una estructura geométrica (en el sentido del programa de Erlangen de Klein ) llamada geometría de Möbius . ^[10] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n+1}}}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Aplicaciones

Transformación de Lorentz

Varios autores observaron un isomorfismo del grupo de Möbius con el grupo de Lorentz : Basado en trabajos anteriores de Felix Klein (1893, 1897) ^[11] sobre funciones automórficas relacionadas con la geometría hiperbólica y la geometría de Möbius, Gustav Herglotz (1909) ^[12] demostró que los movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) que transforman la esfera unitaria en sí misma corresponden a transformaciones de Lorentz, mediante las cuales Herglotz pudo clasificar las transformaciones de Lorentz de un parámetro en grupos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Otros autores incluyen a Emil Artin (1957), ^[13] HSM Coxeter (1965), ^[14] y Roger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), ^[15] Tristan Needham (1997) ^[16] y WM Olivia (2002). ^[17]

El espacio de Minkowski consiste en el espacio de coordenadas reales de cuatro dimensiones R ⁴ que consiste en el espacio de cuádruples ordenados ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) de números reales, junto con una forma cuadrática

$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

Tomando prestada la terminología de la relatividad especial , los puntos con Q > 0 se consideran temporales ; Además, si x ₀ > 0 , entonces el punto se llama apuntando al futuro . Los puntos con Q < 0 se llaman espaciales . El cono nulo S consta de aquellos puntos donde Q = 0 ; el futuro cono nulo N ⁺ son aquellos puntos en el cono nulo con x ₀ > 0 . La esfera celeste se identifica entonces con el conjunto de rayos en N ⁺ cuyo punto inicial es el origen de R ⁴ . La colección de transformaciones lineales en R ^{4 con} determinante positivo preservando la forma cuadrática Q y preservando la dirección del tiempo forma el grupo restringido de Lorentz SO ⁺ (1, 3) .

En relación con la geometría de la esfera celeste, el grupo de transformaciones SO ⁺ (1, 3) se identifica con el grupo PSL(2, C ) de las transformaciones de Möbius de la esfera. A cada ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴ asociar la matriz hermitiana

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

El determinante de la matriz X es igual a Q ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) . El grupo lineal especial actúa sobre el espacio de tales matrices a través de

para cada A ∈ SL(2, C ) , y esta acción de SL(2, C ) preserva el determinante de X porque det A = 1 . Dado que el determinante de X se identifica con la forma cuadrática Q , SL(2, C ) actúa mediante transformaciones de Lorentz. Por motivos dimensionales, SL(2, C ) cubre una vecindad de la identidad de SO(1, 3) . Dado que SL(2, C ) es conexo, cubre todo el grupo restringido de Lorentz SO ⁺ (1, 3) . Además, dado que el núcleo de la acción ( 1 ) es el subgrupo {± I }, pasar al grupo cociente da el isomorfismo del grupo

Centrándonos ahora en el caso en el que ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) es nulo, la matriz X tiene determinante cero y, por lo tanto, se divide como el producto externo de un complejo de dos vectores ξ con su conjugado complejo:

SL (2, C ) actúa sobre el vector de dos componentes ξ de una manera compatible con ( 1 ). Ahora está claro que el núcleo de la representación de SL(2, C ) en matrices hermitianas es {± I }.

La acción de PSL(2, C ) sobre la esfera celeste también se puede describir geométricamente mediante proyección estereográfica . Consideremos primero el hiperplano en R ⁴ dado por x ₀  = 1. La esfera celeste puede identificarse con la esfera S ⁺ de intersección del hiperplano con el futuro cono nulo N ⁺ . La proyección estereográfica desde el polo norte (1, 0, 0, 1) de esta esfera sobre el plano x ₃ = 0 toma un punto con coordenadas (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) con

$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$

$${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

Introduciendo la coordenada compleja

$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$

( x ₁ , x ₂ , x ₃ )S ⁺

La acción de SO ⁺ (1, 3) sobre los puntos de N ⁺ no preserva el hiperplano S ⁺ , pero actuando sobre puntos en S ⁺ y luego reescalando para que el resultado esté nuevamente en S ⁺ da una acción de SO ⁺ ( 1, 3) sobre la esfera que pasa a una acción sobre la variable compleja ζ . De hecho, esta acción es mediante transformaciones lineales fraccionarias, aunque esto no se ve fácilmente en esta representación de la esfera celeste. Por el contrario, para cualquier transformación lineal fraccionaria de ζ , la variable pasa a una transformación de Lorentz única en N ⁺ , posiblemente después de un reescalamiento adecuado (determinado de forma única).

Una descripción más invariante de la proyección estereográfica que permite ver más claramente la acción es considerar la variable ζ = z : w como una relación de un par de coordenadas homogéneas para la línea proyectiva compleja CP ¹ . La proyección estereográfica pasa a una transformación de C ² − {0} a N ⁺ que es homogénea de grado dos respecto a los escalamientos reales

que concuerda con ( 4 ) al restringirse a escalas en las que los componentes de ( 5 ) son precisamente los obtenidos del producto exterior ${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

En resumen, la acción del grupo restringido de Lorentz SO ⁺ (1,3) concuerda con la del grupo de Möbius PSL(2, C ) . Esto motiva la siguiente definición. En dimensión n ≥ 2 , el grupo de Möbius Möb( n ) es el grupo de todas las isometrías conformes que conservan la orientación de la esfera redonda S ⁿ consigo misma. Al considerar la esfera conforme como el espacio de rayos del cono nulo que apuntan al futuro en el espacio de Minkowski R ^1,n+1 , existe un isomorfismo de Möb( n ) con el grupo restringido de Lorentz SO ⁺ (1, n +1 ) de transformaciones de Lorentz con determinante positivo, preservando la dirección del tiempo.

Coxeter comenzó en cambio con la forma cuadrática equivalente . ${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$

Identificó el grupo de Lorentz con transformaciones para las cuales { x | Q( x ) = −1} es estable . Luego interpretó las x como coordenadas homogéneas y { x | Q( x ) = 0}, el cono nulo , como absoluto de Cayley para un espacio hiperbólico de puntos { x | Q( x ) < 0}. A continuación, Coxeter introdujo las variables

$${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$

Felix Klein(0, 0, 1) ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$ ${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$

Espacio hiperbólico

Como se vio arriba, el grupo de Möbius PSL(2, C ) actúa en el espacio de Minkowski como el grupo de aquellas isometrías que preservan el origen, la orientación del espacio y la dirección del tiempo. Restringiéndonos a los puntos donde Q = 1 en el cono de luz positivo, que forman un modelo de espacio tridimensional hiperbólico H ³ , vemos que el grupo de Möbius actúa sobre H ³ como un grupo de isometrías que preservan la orientación. De hecho, el grupo de Möbius es igual al grupo de isometrías del espacio tridimensional hiperbólico que conservan la orientación. Si utilizamos el modelo de bola de Poincaré , identificando la bola unidad en R ³ con H ³ , entonces podemos pensar en la esfera de Riemann como el "límite conforme" de H ³ . Cada isometría de H ³ que conserva la orientación da lugar a una transformación de Möbius en la esfera de Riemann y viceversa.

Ver también

• transformada bilineal
• Geometría conforme
• grupo fucsia
• círculo generalizado
• Geometría hiperbólica
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.
• Transformación de inversión
• grupo kleiniano
• Geometría de esfera de mentira
• Transformación fraccionaria lineal
• Teorema de Liouville (asignaciones conformes)
• grupo lorentz
• grupo modular
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Geometría proyectiva
• Línea proyectiva sobre un anillo.
• Teoría de la representación del grupo de Lorentz.
• grupo schottky
• carta de smith

Notas

1. Geométricamente, este mapa es la proyección estereográfica de una rotación de 90 ° alrededor de ± i con período 4, que toma ${\displaystyle 0\mapsto 1\mapsto \infty \mapsto -1\mapsto 0.}$

Referencias

Específico

1. Arnold y Rogness 2008, Teorema 1.
2. Needham, Tristán (2021). Geometría Diferencial y Formas; Un drama matemático en cinco actos. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 77, nota a pie de página 16. ISBN 9780691203690.
3. Olsen, John, La geometría de las transformaciones de Mobius (PDF)
4. Weisstein, Eric W. "Puntos simétricos". MundoMatemático .
5. Tóth 2002, Sección 1.2, Rotaciones y transformaciones de Möbius, p. 22.
6. Tóth 2002, Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, p. 66.
7. Iwaniec, Tadeusz y Martin, Gaven, El teorema de Liouville, Análisis y topología, 339–361, World Sci. Publicado, River Edge, Nueva Jersey, 1998
8. JB Wilker (1981) "Geometría inversiva", SEÑOR 0661793
9. Berger, Marcel (1987), Geometría II , Springer (Universitext), pág. 18.10
10. Akivis, Maks; Goldberg, Vladislav (1992), Geometría diferencial conforme y sus generalizaciones , Wiley-Interscience
11. Felix Klein (1893), Nicht-Euklidische Geometrie, Autogr. Vorl., Gotinga;
    Robert Fricke y Felix Klein (1897), Autormorphe Funktionen I., Teubner, Leipzig
12. Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Sobre los cuerpos que deben designarse como 'rígidos' desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik (en alemán ), 336 (2): 393–415, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
13. Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , página 204
14. HSM Coxeter (1967) "El grupo de Lorentz y el grupo de homografías", en LG Kovacs y BH Neumann (editores) Actas de la Conferencia Internacional sobre Teoría de Grupos celebrada en la Universidad Nacional de Australia, Canberra, del 10 al 20 de agosto de 1965 , Editores Gordon y Breach Science
15. Penrose y Rindler 1984, págs. 8–31.
16. Needham, Tristán (1997). Análisis visual complejo (PDF) . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 122-124.
17. Olivia, Waldyr Muñiz (2002). "Apéndice B: transformaciones de Möbius y el grupo de Lorentz". Mecánica Geométrica . Saltador. págs. 195-221. ISBN 3-540-44242-1. SEÑOR  1990795.

General

• Arnold, Douglas N.; Rogness, Jonathan (2008), "Transformaciones de Möbius reveladas" (PDF) , Avisos de la AMS , 55 (10): 1226–1231
• Beardon, Alan F. (1995), La geometría de grupos discretos , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90788-8
• Hall, GS (2004), Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general , Singapur: World Scientific, ISBN 978-981-02-1051-9 (Consulte el Capítulo 6 para conocer la clasificación, hasta la conjugación, de las subálgebras de Lie del álgebra de Lie del grupo de Lorentz).
• Katok, Svetlana (1992), Grupos fucsianos , Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2 Consulte el Capítulo 2 .
• Klein, Felix (1913) [1ª ed. alemana. 1884], Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado, traducidas por Morrice, George Gavin (2ª ed.), Londres: Kegan Paul, Trench, Trübner, & Co.traducido de Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (en alemán), Teubner, 1884
• Knopp, Konrad (1952), Elementos de la teoría de funciones , Nueva York: Dover, ISBN 978-0-486-60154-0 (Consulte los capítulos 3 a 5 de este libro clásico para obtener una hermosa introducción a la esfera de Riemann, la proyección estereográfica y las transformaciones de Möbius).
• Mumford, David ; Serie, Carolina; Wright, David (2002), Las perlas de Indra: la visión de Felix Klein , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6 (Dirigido a no matemáticos, proporciona una excelente exposición de la teoría y los resultados, ricamente ilustrada con diagramas).
• Needham, Tristan (1997), Análisis complejo visual , Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4 (Consulte el Capítulo 3 para obtener una introducción bellamente ilustrada a las transformaciones de Möbius, incluida su clasificación hasta la conjugación).
• Penrose, Roger ; Rindler, Wolfgang (1984), Spinors and space-time, Volumen 1: Cálculo de dos espinores y campos relativistas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24527-2
• Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometría de números complejos , Dover, ISBN 978-0-486-63830-0 (Consulte el Capítulo 2 para obtener una introducción a las transformaciones de Möbius).
• Tóth, Gábor (2002), Grupos finitos de Möbius, inmersiones mínimas de esferas y módulos.

Otras lecturas

• Lawson, MV (1998). "El monoide inverso de Möbius". Revista de Álgebra . 200 (2): 428. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

enlaces externos

• "Mapeo cuasi conforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Galería de mapas conformes
• Weisstein, Eric W. "Transformación fraccionaria lineal". MundoMatemático .