Homotecia

Operación de escala generalizada en geometría

Homotecia: Ejemplo con Para uno se obtiene la identidad (no se mueve ningún punto), para una ampliación para una reducción ${\displaystyle k>0}$
${\displaystyle k=1}$
${\displaystyle k>1}$
${\displaystyle k<1}$

Ejemplo con Para uno se obtiene una reflexión puntual en el punto ${\displaystyle k<0}$
${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle S}$

Homotecia de una pirámide

En matemáticas , una homotecia (u homotecia , o dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número distinto de cero llamado su razón , que envía un punto a un punto por la regla ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$para un numero fijo . ${\displaystyle k\neq 0}$

Usando vectores de posición:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$.

En caso de (Origen): ${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$,

que es una escala uniforme y muestra el significado de opciones especiales para : ${\displaystyle k}$

porque uno obtiene el mapeo de identidad , ${\displaystyle k=1}$

porque uno obtiene el reflejo en el centro, ${\displaystyle k=-1}$

Para uno se obtiene la función inversa definida por . ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle k}$

En geometría euclidiana las homotecias son las semejanzas que fijan un punto y que preservan (si ) o invierten (si ) la dirección de todos los vectores. Junto con las traslaciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de las dilataciones u homotecias-traslaciones . Éstas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de toda recta g es una recta paralela a g . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k<0}$

En geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de similitud (es decir, fija una involución elíptica dada) que deja la línea en el infinito invariante puntualmente . ^[2]

En geometría euclidiana, una homotecia de razón multiplica las distancias entre puntos por , las áreas por y los volúmenes por . Aquí está la razón de aumento o factor de dilatación o factor de escala o razón de similitud . Tal transformación puede llamarse ampliación si el factor de escala excede 1. El punto fijo S mencionado anteriormente se llama centro de homotecia o centro de similitud o centro de similitud . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |k|}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle |k|^{3}}$ ${\displaystyle k}$

El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , se deriva de dos elementos griegos: el prefijo homo- ( όμο ), que significa "similar", y thesis ( Θέσις ), que significa "posición". Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.

Las homotecias se utilizan para escalar el contenido de las pantallas de computadoras; por ejemplo, teléfonos inteligentes, notebooks y laptops.

Propiedades

Las siguientes propiedades se cumplen en cualquier dimensión.

Mapeo de líneas, segmentos de líneas y ángulos

Una homotecia tiene las siguientes propiedades:

• Se proyecta una línea sobre una línea paralela. Por lo tanto, los ángulos permanecen invariables.
• Se conserva la relación entre dos segmentos de línea .

Ambas propiedades muestran:

• Una homotecia es una semejanza .

Derivación de las propiedades: Para facilitar los cálculos se supone que el centro es el origen: . Se traza una línea con representación paramétrica sobre el conjunto de puntos con ecuación , que es una línea paralela a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g}$

La distancia entre dos puntos es y la distancia entre sus imágenes. Por lo tanto, la razón (cociente) de dos segmentos de línea permanece invariable. ${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$ ${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

En el caso del cálculo es análogo pero un poco extenso. ${\displaystyle S\neq O}$

Consecuencias: Un triángulo se proyecta sobre otro semejante . La imagen homotética de un círculo es un círculo. La imagen de una elipse es semejante, es decir, la relación entre los dos ejes no varía.

Con teorema de intersección

Construcciones gráficas

utilizando el teorema de intersección

Si para una homotecia con centro se da la imagen de un punto (ver diagrama), entonces la imagen de un segundo punto , que no se encuentra sobre la recta, se puede construir gráficamente utilizando el teorema de intersección: es el punto común de las dos rectas y . La imagen de un punto colineal con se puede determinar utilizando . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle SP_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

Pantógrafo

Fondo geométrico

Representación 3D del pantógrafo

utilizando un pantógrafo

Antes de que las computadoras se volvieran omnipresentes, las escalas de los dibujos se hacían utilizando un pantógrafo , una herramienta similar a una brújula .

Construcción y antecedentes geométricos:

1. Tome 4 varillas y ensamble un paralelogramo móvil con vértices tales que las dos varillas que se encuentran en se prolonguen en el otro extremo como se muestra en el diagrama. Elija la razón . ${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$ ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. En las barras prolongadas se marcan los dos puntos tales que y . Este es el caso si (En lugar de se puede prescribir la ubicación del centro . En este caso la razón es .) ${\displaystyle S,Q}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$ ${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. Fije las varillas móviles giratorias en el punto . ${\displaystyle S}$
4. Varíe la ubicación del punto y marque en cada punto de tiempo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Debido a (ver diagrama) se obtiene del teorema de intersección que los puntos son colineales (están en una línea) y la ecuación se cumple. Esto demuestra: la aplicación es una homotecia con centro y razón . ${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$ ${\displaystyle S,P,Q}$ ${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Composición

La composición de dos homotecias con centros y razones es nuevamente una homotecia con su centro en línea con la razón . ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1}=2,k_{2}=0{.}3}$ ${\displaystyle P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k\cdot l=0{.}6}$

• La composición de dos homotecias con el mismo centro es a su vez una homotecia con centro . Las homotecias con centro forman un grupo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• La composición de dos homotecias con centros diferentes y sus proporciones es ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

en caso de homotecia con centro en la recta y razón o ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

En caso de traslación en dirección . Especialmente, si ( reflexiones puntuales ) . ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

Derivación:

Para la composición de las dos homotecias con centros con ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

Se obtiene por cálculo para la imagen del punto : ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$.

Por lo tanto, la composición es

en caso de una traslación en dirección por el vector . ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

En caso de punto ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

es un punto fijo (no se mueve) y la composición

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$.

es una homotecia con centro y razón . se encuentra en la línea . ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

Composición con traducción

• La composición de una homotecia y una traducción es una homotecia.

Derivación:

La composición de la homotecia

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$y la traducción

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$es

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

que es una homotecia con centro y razón . ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ ${\displaystyle k}$

En coordenadas homogéneas

La homotecia con centro se puede escribir como la composición de una homotecia con centro y una traslación: ${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle S=(u,v)}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$.

Por lo tanto se puede representar en coordenadas homogéneas mediante la matriz: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Una transformación lineal de homotecia pura también es conforme porque se compone de traslación y escala uniforme.

Véase también

• Escala (geometría) una noción similar en espacios vectoriales
• Centro homotético , el centro de una transformación homotética que lleva una de un par de formas a la otra.
• La conjetura de Hadwiger sobre el número de copias homotéticas estrictamente más pequeñas de un cuerpo convexo que pueden ser necesarias para cubrirlo
• Función homotética (economía) , función de la forma f ( U ( y )) en la que U es una función homogénea y f es una función monótonamente creciente .

Notas

1. Hadamard, pág. 145)
2. Tuller (1967, pág. 119)

Referencias

• HSM Coxeter, "Introducción a la geometría", Wiley (1961), pág. 94
• Hadamard, J. , Lecciones de geometría plana
• Meserve, Bruce E. (1955), "Transformaciones homotéticas", Conceptos fundamentales de geometría , Addison-Wesley , págs. 166-169
• Tuller, Annita (1967), Una introducción moderna a las geometrías , Serie universitaria de matemáticas de pregrado, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.

Enlaces externos

• Homotecia, aplicación interactiva de Cut-the-Knot .