Una transformación lineal conforme , también llamada transformación de similitud homogénea o similitud homogénea , es una transformación de similitud de un espacio vectorial euclidiano o pseudoeuclidiano que fija el origen . Puede escribirse como la composición de una transformación ortogonal (una transformación rígida que preserva el origen ) con una escala uniforme (dilatación). Todas las transformaciones de similitud (que preservan globalmente la forma pero no necesariamente el tamaño de las figuras geométricas) también son conformes (conservan la forma localmente). Las transformaciones de similitud que fijan el origen también preservan la multiplicación de vectores escalares y la suma de vectores , convirtiéndolas en transformaciones lineales .
Cada reflexión o dilatación que fija el origen es una transformación lineal conforme, al igual que cualquier composición de estas transformaciones básicas, incluidas las rotaciones y las rotaciones impropias y, en general, las transformaciones de similitud. Sin embargo, las transformaciones de corte y el escalamiento no uniforme no lo son. Las transformaciones lineales conformes son de dos tipos: las transformaciones adecuadas preservan la orientación del espacio mientras que las transformaciones impropias la invierten.
Al igual que las transformaciones lineales, las transformaciones lineales conformes son representables mediante matrices una vez que se le ha dado una base al espacio vectorial , componiéndose entre sí y transformando vectores mediante multiplicación de matrices . El grupo de Lie de estas transformaciones ha sido llamado grupo ortogonal conforme , grupo de transformación lineal conforme o grupo de similitud homogénea .
Alternativamente, cualquier transformación lineal conforme se puede representar como un versor ( producto geométrico de vectores); [1] cada versor y su negativo representan la misma transformación, por lo que el grupo de versores (también llamado grupo de Lipschitz ) es una doble cobertura del grupo ortogonal conforme.
Las transformaciones lineales conformes son un tipo especial de transformaciones de Möbius (transformaciones conformes que asignan círculos a círculos); el grupo ortogonal conforme es un subgrupo del grupo conforme .
En todas las dimensiones , una transformación lineal conforme tiene las siguientes propiedades:
En el plano vectorial euclidiano, una transformación lineal conforme impropia es una reflexión a través de una línea que pasa por el origen compuesta con una dilatación positiva. Dada una base ortonormal, se puede representar mediante una matriz de la forma
Una transformación lineal conforme adecuada es una rotación alrededor del origen compuesta con una dilatación positiva. Se puede representar mediante una matriz de la forma
Alternativamente, una transformación lineal conforme adecuada se puede representar mediante un número complejo de la forma
Al componer múltiples transformaciones lineales , es posible crear un corte/inclinación componiendo una transformación principal con una escala no uniforme y una transformación secundaria con una rotación. Por lo tanto, en situaciones donde no se permite el corte/desviación, las matrices de transformación también deben tener una escala uniforme para evitar que aparezca un corte/desviación como resultado de la composición. Esto implica que se requieren transformaciones lineales conformes para evitar cortes o sesgos al componer múltiples transformaciones.
En las simulaciones de física , una esfera (o círculo, hiperesfera , etc.) suele estar definida por un punto y un radio. Por lo tanto, se puede comprobar si un punto se superpone a la esfera mediante una comprobación de distancia al centro. Con una rotación o giro/reflexión, la esfera es simétrica e invariante , por lo tanto, funciona la misma verificación. Con una escala uniforme, sólo es necesario cambiar el radio. Sin embargo, con una escala no uniforme o corte/inclinación, la esfera se "distorsiona" hasta convertirse en un elipsoide , por lo tanto, el algoritmo de verificación de distancia ya no funciona correctamente.
